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1、【通用版】（3）空间几何体的表面积与体积-高考数学一轮复习空间向量与立体几何能力进阶加时练1.已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )A.B.C.D.1442.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( )A.80B.240C.320D.6403.如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别是AD，的中点，P，Q分别是线段AB，上的点，且，则三棱锥的体积为( )A.B.C.D.4.足球运动起源于中国，我国古代足球叫“蹴鞠”或“踏鞠”.“蹴”和“踏”都是用脚踢的意思;“鞠”就是球.如果一个鞠体积为，现在要制作一个正方体的盒子用来装这个鞠，则能装下
2、这个鞠的最小的正方体体积约为()( )A.B.C.D.5.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为( )A.B.C.D.6.如图，正四棱锥底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上.若，则球O的体积是( )A.B.C.D.7.鲁班锁（也称孔明锁、难人木）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，
3、十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图.已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为( )A.B.C.D.8.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )A.B.C.D.9.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为，设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体
4、积为，则( )A.2B.C.1D.10.已知四棱锥中，底面是矩形，且，侧棱底面，若四棱锥外接球的表面积为，则该四棱锥的表面积为( )A.B.C.D.11.已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为_.12.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.13.已知A，B是球O的球面上两点，C为该球面上的动点.若三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为_.14.已知圆柱的底面圆O的半径为4，矩形为圆柱的轴截面，C为圆O上一点，圆柱的表面积为，则三棱锥的体积与其外接球的体积之比为_.15
5、.如图，四棱锥中，底面分别为PC，DC的中点，.(1)证明：平面平面EBF.(2)求三棱锥的体积.答案以及解析1.答案：A解析：由题意，知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.2.答案：B解析：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，如图，则由等腰梯形的性质，得斜高所以棱台的侧面积为.故选B.3.答案：A解析：如图，延长QN，DC相交于点T，连接MT，PT.由已知条件易得.过点T作AD的平行线与AB的延长线交于点O，易得的面积为.由点Q到平面ABCD的距离为2，得，故，故选A.4.答案：D解析：由题可知，鞠为正方体的盒子的内切球.设球的半径为r，正方体的棱长为a，则，解得.因为，所以正方体的
6、体积为，故选D.5.答案：C解析：如图，由已知得该棱台的高为（m），所以该棱台的体积.故选C.6.答案：C解析：设球O的半径为R.因为正四棱锥底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面上，所以底面ABCD，正方形ABCD的面积.因为，所以，解得，所以球O的体积.7.答案：A解析：由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选A.8.答案：B解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱的底面半径分别为a，R，r，则，由题意，知，所以，所以，显然.9.答案：A解析：由球的半径
7、为R，知酒杯下部分（半球）的表面积为，由酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，设酒杯上部分（圆柱）的高为h，则，解得，酒杯下部分（半球）的体积，酒杯上部分（圆柱）的体积，所以.故选A.10.答案：D解析：由题可将四棱锥的外接球看作是一个长方体的外接球，是长方体的体对角线，则球心是的中点.设球的半径为R，则，解得，则.如图，连接，由底面，可知.在中，所以.在中，所以，所以.因为底面，所以.又，所以平面.因为平面，所以，同理可证，所以.又，所以，故选D.11.答案：解析：由题意，得该圆锥的母线长，所以该圆锥的侧面积为，底面积为，所以该圆锥的表面积为.12.答案：解析：如图，正四棱锥的底面边长为，侧棱长
8、为，点E，F，G，H分别为线段PA，PB，PC，PD的中点，O为底面中心，故圆柱的高为1.设EG与OP交于点I，则I为正方形EFGH外接圆的圆心，以点O，I为上下底面圆心的圆柱的体积.13.答案：解析：如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点时，三棱锥的体积最大.设球O的半径为R，解得，则球O的表面积.故答案为.14.答案：解析：如图所示，由题意知圆柱的表面积，故.在中，所以，所以，所以，.由题意知平面，所以，结合，得平面，所以.取的中点，则由与为直角三角形知，为三棱锥外接球的球心，球的半径，所以外接球的体积，所以.15.答案：(1)见解析(2)解析：(1)由已知F为CD的中点，且，所以，因为，所以，又因为，所以四边形ABFD为平行四边形，所以，又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，在中，因为E，F分别为PC，CD的中点，所以，因为平面平面PAD，所以平面PAD，因为，所以平面平面EBF.(2)由已知E为PC中点，又因为，所以，因为，所以三棱锥的体积.学科网（北京）股份有限公司