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1、【配套新教材】（3）简单几何体的表面积与体积-高考数学一轮复习空间向量与立体几何能力进阶加时练1.已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )A.120B.150C.180D.2402.衡水内画是河北省衡水市民间传统美术，是国家级非物质文化遗产之一，它是一种在物体内壁绘画的技艺，是中国独有的民间工艺.如图是一个衡水内画空心水晶笔筒.其外壁是底面边长为3cm，高为15cm正八棱柱，则该水晶笔筒的体积为( )A.B.C.D.3.2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感源自威尔弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进.开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形
2、围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形）.已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体的表面积是( )A.B.C.D.4.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )A.B.C.D.5.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为( )A.B.C.D.6.已知正三棱台的高为1，上下底边长分别为和，
3、其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A.100B.128C.144D.1927.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为，设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则( )A.2B.C.1D.8. (多选)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则形成的几何体的表面积可以为( )A.B.C.D.9. (多选)九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平
4、面ABC，且.若鳖臑外接球的体积为，则当该鳖臑的体积最大时，下列说法正确的是( )A.B.C.该鳖臑体积的最大值为D.该鳖臑的表面积为10. (多选)如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，记三棱锥，的体积分别为，则( )A.B.C.D.11.某品牌化妆品包装瓶由大小两个圆柱组成，如图2所示，该产品包装升级后，下面的圆柱变成圆台，如图1所示，根据图中所给数据，该包装的容积增加_ml.()12.如图1的多面体石凳是由图2的正方体石块截去八个完全相同的四面体得到，若正方体石块的棱长是40cm，则该石凳的体积为_.13.如图所示，已知三棱柱的 所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为_.1
5、4.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为_.15.已知圆柱的底面圆O的半径为4，矩形为圆柱的轴截面，C为圆O上一点，圆柱的表面积为，则三棱锥的体积与其外接球的体积之比为_.答案以及解析1.答案：C解析：设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，知，圆锥的底面圆周长.将圆锥的侧面展开成扇形后，设扇形的圆心角为n，则扇形的弧长，即侧面展开后扇形的圆心角为180.2.答案：A解析：水晶笔筒的体积.故选A.3.答案：C解析：边长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为.因为每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形，该多面体有24个顶点，所以该多面
6、体中正方形有（个），正六边形有（个），所以该多面体的表面积为，故选C.4.答案：B解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱的底面半径分别为a，R，r，则，由题意，知，所以，所以，显然.5.答案：C解析：如图，由已知得该棱台的高为（m），所以该棱台的体积.故选C.6.答案：A解析：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为，.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，连接，则，其外接球的球心O在直线上.设球O的半径为R，当球心O在线段上时，解得（舍去）；当球心O不在线段上时，解得，所以，所以该球的表面积为.7.答案：A解析：由球的半径为R，知酒杯下部分（半球）的表面积为，由酒杯内壁表面积为，得圆
7、柱侧面积为，设酒杯上部分（圆柱）的高为h，则，解得，酒杯下部分（半球）的体积，酒杯上部分（圆柱）的体积，所以.故选A.8.答案：AB解析：如果绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长为，所以所形成的几何体的表面积.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径长等于直角三角形斜边上的高，为，两个圆锥的母线长都等于直角三角形的直角边长，所以形成的几何体的表面积.综上可知，形成几何体的表面积是或.故选AB.9.答案：ABD解析：在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等，所以点O是鳖臑外接球的球心，由外接球的体积为，得外接球半径，所以.设，则，得，所以
8、，当且仅当时，取得最大值.此时，所以鳖臑的表面积.故选ABD.10.答案：CD解析：如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF.设，.因为平面ABCD，所以平面ABCD，所以，.因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，且，平面BDEF，所以平面BDEF.因为平面BDEF，所以，.易知，所以，所以，又，平面ACE，所以平面ACE，所以，所以，所以选项A，B不正确，选项C，D正确，故选CD.11.答案：96解析：由图可得圆柱体积，圆台体积，所以该包装容积增加，即增加96ml.12.答案：解析：正方体石块的棱长是40cm，截去的每个四面体的体积为石凳的体积为.13.答案：解析：因为三棱柱的所有棱 长均为1，所以底面为正三角形，所以，又因为底面，所以三棱柱的体积为，因为三棱锥、三棱锥与三棱柱等底等高，所以，由此可得三棱锥的体积.14.答案：解析：如图，在四棱台中，过作，垂足为F，在中，故，所以，故四棱台的侧面积，所以.15.答案：解析：如图所示，由题意知圆柱的表面积，故.在中，所以，所以，所以，.由题意知平面，所以，结合，得平面，所以.取的中点，则由与为直角三角形知，为三棱锥外接球的球心，球的半径，所以外接球的体积，所以.学科网（北京）股份有限公司