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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第学习必备欢迎下载讲7 授课题目（章、节）1 解析函数的概念1、懂得复变函数导数、微分和解析函数的概念 教 学 2、把握连续、可导、可微、解析之间的关系目 3、娴熟应用求导法就的 4、能够利用定义来判别一些函数的解析性与 要 求1、导数、微分、解析的定义2、可导、连续、可微、解析之间的关系3、复变函数的求导法就4、函数解析性的判别主 要 知 识 点重点为复变函数微分、解析的定义重 难点是函数解析性的判别点 和 难 点名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载
2、教 学 内 容解析函数是复变函数主要的争论对象；一个函数假如是解析函数,它就具有特别好的性质,在理论中也有广泛的应用；解析函数是复变函数的重要部分,也是以后学习的 基础； 1. 解析函数的概念 一复变函数的导数和微分1. 导数的定义定义：设函数 w=fz 定义于区域 D, 0z 为 D中的一点,点 0z z不出 D的范畴；如果极限 lim z 0 f z 0 z z f z 0 存在,那么就说 fz 在 z 可导；这个极限值称为 fz 在 0z的导数,记作fz 0d wz z 0lim z 0f z 0z f z 0（2.1.1 ）zd z0,相应地有一个 0, 使得当也就是说,对于任意给定的
3、0|z|时,有f z 0fz 0 |；|f z 0z z（备注：将定义用数学语言表达出来,0,0,当0 |z|时,有|f z 0z f z0fz 0 |）z0z 的方z注： 定义中,0zz0z 的方式是任意的；极限值存在的要求与0z式无关,这比一元实变函数的类似限制要严格得多；假如 fz 在 D内到处可导,我们就说fz 在 D内可导；例 1 求f z 2 z 的导数（分析 ：目前对于导数只讲了定义,因此利用定义判别）解：由定义,f lim z0f zzf z lim z0zz 22 zlim2 z 0zz 2 .zzzz故z22zz 沿着不同的路径趋例 2. 问f z x2yi 是否可导？（分
4、析 ：要判定一个函数可导,仍是利用定义判别；假如向于 z 时,极限值不同,就该函数不行导；此题就是利用了这个思想,找了两个特殊的名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载路径,平行于 x 轴和平行于 y 轴；对定义的注1,此题是一个很好的例子； ）所以解：lim z0flim z0f zz f z lim z0xx2yzy iyix2yi2lim z0x2yizzxyi设 zz 沿着平行与 x 轴的直线趋向于 z,就有lim z0x2lim x 0x1；xyix设 zz沿着平行与 y 轴的直线趋向于 z,就
5、有lim z0x2yilim y0yi2；xyiyif x2yi 的导数不存在；2. 可导与连续定理 ：函数 fz 在z 处可导就在0z 处肯定连续,但函数 fz 在0z 处连续不肯定在0z处可导；（分析 ：先证可导肯定连续,只需证明出lim z 0f z 0z f z 0即可；从可导的定义入手；对于定理的后一部分,举个反例；）时,有证：依据在0z 可导的定义：0,0 ,使得当 0|z|f z 0z f z 0fz 0,z z , z令z f z 0z f z 0fz 0z就lim z 0z 0,由于f z 0z f z 0fz 0z所以lim z 0f z 0z f z0证毕 2,却到处不行
6、导；即f z 在0z 连续；反例： 函数f z x2yi ,简单发觉此函数到处连续,但由例1、求导法就 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一样 ,并且复变函数中的极限运算法就也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法就都可以不加更换地推广到复变函数中来 , 且证明方法也是相同的；求导公式与法就：名师归纳总结 1 0,其中 为复常数. . 第 3 页,共 7 页2n zn nz1,其中 为正整数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3f z g z f g z .学习必备欢迎下载4ff z g zff f z g .0, 且w0
7、5f z z g z f z g z . g z g2 6f g z 1fw g z .其中wg z 是两个互为反函数的单值函数7 ,其中wf 与z w4. 微分的概念定义： 设函数 w f z 在 0z 可导,就 w f z 0 z f z 0 f z 0 z z z,式中 lim z 0 z 0, z z 是 z 的高阶无穷小,f z 0 z 是函数 w f z 的转变量w 的线性部分；f z 0 z 称为函数 w f z 在点 z 的微分,记作 dw f z 0 z函数在假如 0z 的微分存在,就称函数 f z 在 z 可微；特殊的,当 f z时有dw dz f z z z ,所以 d
8、w f z 0 z f z 0 d z ,即 f z 0 d wd z z z 0假如函数 f z 在区域 D 内到处可微,就称 f z 在区域内可微； 函数 w f z 在 0z 可导与在 0z 可微是等价的；二、解析函数的概念1. 解析函数的定义假如函数 f z 在 0z 及 z 的领域内到处可导, 那么称 f z 在 z 处解析；假如函数 f z 在区域 D 内每一个点解析,就称 f z 在区域 D 内解析,或者称 f z 是区域 D 内的一个解析函数（全纯函数或正就函数） ；2. 奇点的定义假如函数f z 在0z 处不解析,那么称z 为f z 的奇点；说明： 依据定义可知：函数在区域内
9、解析与在区域内可导是等价的；但是函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念；即函数在一点处可导不肯定在该点处解析,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多；名师归纳总结 例 3 争论函数f z z2,g z x2yi 和h z 2 z 的解析性；第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （分析 ：由例 1 知,函数f z 学习必备欢迎下载2 z 在复平面内到处可导,因此此函数在复平面内解析；由例 2 知, gz x 2yi 在复平面内到处不行导,因此此函数在复平面内到处不解析；对函数 h z z ,先运算出 2 h,然后求极限,判定
10、是否可导； ）z解： 由本节例 1 和例 2 知,f z z 在复平面内是解析的,2g z x 2 yi 在复平面内到处不解析；下面争论hz2 z 的解析性不h z 0z h z 0z 0z2z 02=z 0+z z 0+z -z z0z 0zz 0z,zzzz1z 00,lim z 0h z 0z h z 00.z2z 00,令z 0z沿直线yy 0k xx0 趋于z 0, zxi y1iy1ikx yzxi y1i1ikx由于 k 的任意性,z1ki不趋于一个确定的值,所以lim z0h z 0z h z0z1kiz存在；因此hz2 z 仅在z0处可导,而在其他点都不行导,依据定义,他在复
11、平面内到处不解析；例 4 争论函数w1的解析性）,所以 w 在复平面内除z（分析 ：对于此函数,可直接求导,但要保证分母不为零；解： 由于w1在复平面内除z0到处可导,且d w1zd z2 zz0外到处解析,z0是它的奇点；定理（1）在区域 D内解析的两个函数f z 与g z 的和、差、积、商（除去分母为零的点）在 D 内解析；名师归纳总结 （2）设函数hg z 在 z 平面上的区域 D 内解析,函数wf h 在 h 平面上的区域第 5 页,共 7 页G 内解析,假如对D 内的每个点z,函数g z 的对应值h 都属于 G,那么复合函数wf g z 在 D 内解析；- - - - - - -精选
12、学习资料 - - - - - - - - - 以上定理的证明,可利用求导法就. 学习必备欢迎下载依据定理可知 : （1）全部多项式在复平面内是到处解析的；（2）任何一个有理分式函数P z 在不含分母为零的点的区域内是解析的,使分母Q z 为零的点是它的奇点；（可续页）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载本节讲了导数、微分、解析的概念和三者之间的关系；解析函数的概念为本节重点；其中,例 1 和例 2 加深了对导数定义的懂得, 且例 2 又能说明可导与连续的关本 系；例 3 和例 4 可以加深对解析定义的懂得；讲 小 结摸索题复变函数 f z 在点 0z 可导与在 0z 解析有无区分？思 作业题： p66 页 1（2）,2（1）3,3（2）3,4 考 题 及 作 业 题1柯西黎曼方程2函数在区域 D内解析的充要条件；课 后 预 习 要 点名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页