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1、学习必备欢迎下载第7 讲授课题目（章、节）1 解析函数的概念教学目的与要求1、理解复变函数导数、微分和解析函数的概念2、掌握连续、可导、可微、解析之间的关系3、熟练应用求导法则4、能够利用定义来判别一些函数的解析性主要知识点1、导数、微分、解析的定义2、可导、连续、可微、解析之间的关系3、复变函数的求导法则4、函数解析性的判别重点和难点重点为复变函数微分、解析的定义难点是函数解析性的判别精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载教 学 内 容解析函数是复变函数主要的研究对象。一个函数如果是解析函数，它就具有非
2、常好的性质，在理论中也有广泛的应用。解析函数是复变函数的重要部分，也是以后学习的基础。1. 解析函数的概念一复变函数的导数和微分1. 导数的定义定义：设函数 w=f(z) 定义于区域 D,0z为 D中的一点，点0zz不出 D的范围。如果极限000()()limzf zzf zz存在，那么就说 f(z) 在0z可导。这个极限值称为 f(z) 在0z的导数，记作00000()()d()limdzz zf zzf zwfzzz（2.1.1 ）也就是说，对于任意给定的0，相应地有一个( )0,使得当0|z时，有000()()|() |f zzf zfzz。（备注：将定义用数学语言叙述出来，000()(
3、)0,0,0 |() |f zzf zzfzz当时，有）注： 定义中，0zz0z的方式是任意的。极限值存在的要求与0zz0z的方式无关，这比一元实变函数的类似限制要严格得多。如果 f(z) 在 D内处处可导，我们就说f(z) 在 D内可导。例 1 求2( )f zz的导数（分析：目前对于导数只讲了定义，因此利用定义判别）解：由定义，0()( )( )limzf zzf zfzz220()limzzzzz0lim(2)zzz2 . z故2()2zz例 2. 问( )2f zxyi是否可导？（分析：要判断一个函数可导，还是利用定义判别。如果zz沿着不同的路径趋向于 z 时，极限值不同，则该函数不可
4、导。本题就是利用了这个思想，找了两个特殊的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载路径，平行于 x 轴和平行于 y 轴。对定义的注1，本题是一个很好的例子。 ）解：00()( )limlimzzff zzf zzz0()2()2limzxxyy ixyiz02limzxyixyi设 zz 沿着平行与 x 轴的直线趋向于 z，则有02limzxyixyi0lim1xxx；设zz沿着平行与 y 轴的直线趋向于 z，则有02limzxyixyi02lim2yyiyi；所以( )2fzxyi的导数不存在。2. 可导
5、与连续定理 ： 函数 f(z) 在0z处可导则在0z处一定连续，但函数 f(z) 在0z处连续不一定在0z处可导。（分析 ：先证可导一定连续，只需证明出000lim()()zf zzf z即可。从可导的定义入手。对于定理的后一部分，举个反例。）证：根据在0z可导的定义：0,0，使得当0|z时，有000()()(),f zzf zfzz000()()()()f zzf zzfzz令则0lim()0,zz00()()因为f zzf z0()(), fzzzz所以000lim()()zf zzf z即( )f z在0z连续。证毕 反例： 函数( )2f zxyi，容易发现此函数处处连续，但由例2，却
6、处处不可导。1、求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的。求导公式与法则：(1)( )0,. cc其中 为复常数1(2)(),. nnznzn其中 为正整数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载(3)( )( )( )( ).f zg zfzg z(4)( ) ( )( ) ( )( )( ).f z g zfz g zf z gz2( )
7、( )( )( )( )(5).( ( )0)( )( )f zfz g zfz g zg zg zgz(6) ( )()( ).( )f g zfw g zwg z其中1(7)( ),( )( ), ()0()fzwfzzwww其中与是两个互为反函数的单值函数且4. 微分的概念定义： 设函数( )wf z在0z可导，则000()()()()wf zzf zfzzzz，式中0lim()0zz，()zz 是z 的高阶无穷小，0()fzz是函数( )wf z的改变量w的线性部分。0()fzz称为函数( )wf z在点0z的微分，记作0()dwfzz函数在如果0z的微分存在，则称函数( )f z在0
8、z可微。特别的，当( )fzz时有0dwdzf (z )zz，所以00d()() dwfzzfzz，即00d()dzzwfzz如果函数( )f z在区域 D 内处处可微，则称( )f z在区域内可微。函数( )wfz在0z可导与在0z可微是等价的。二、解析函数的概念1. 解析函数的定义如果函数( )f z在0z及0z的领域内处处可导，那么称( )f z在0z处解析。如果函数( )f z在区域 D 内每一个点解析，则称( )f z在区域 D 内解析，或者称( )f z是区域 D 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数） 。2. 奇点的定义如果函数( )f z在0z处不解析，那么称0z为( )fz的
9、奇点。说明：根据定义可知：函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念。即函数在一点处可导不一定在该点处解析，函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多。例 3 研究函数2( ),( )2f zzg zxyi和2( )h zz 的解析性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载（分析：由例 1 知，函数2( )f zz在复平面内处处可导，因此此函数在复平面内解析。由例 2 知，g(z)x2yi在复平面内处处不可导，因此此函数在复平面内处处不解析。对函数2( )h
10、 zz ，先计算出hz，然后求极限，判断是否可导。 ）解：由本节例 1 和例 2 知，2( )f zz在复平面内是解析的，( )2g zxyi在复平面内处处不解析。下面讨论2h(z)z 的解析性00()()h zzh zz2200zzzz0000()()+-=zz zzz zz00,zzzzz0(1)0,z000()()lim0.zh zzh zz0(2)0,z0000() , zzyyk xxz令沿直线趋于zzxi yxi y11yixyix11ikik由于 k 的任意性，11zkizki不趋于一个确定的值，所以000()()limzh zzh zz不存在。因此2h(z)z 仅在0z处可导，
11、而在其他点都不可导，根据定义，他在复平面内处处不解析。例 4 研究函数1wz的解析性（分析：对于此函数，可直接求导，但要保证分母不为零。）解： 因为1wz在复平面内除0z处处可导，且2d1dwzz，所以 w 在复平面内除0z外处处解析，0z是它的奇点。定理（1）在区域 D内解析的两个函数( )fz与( )g z的和、差、积、商（除去分母为零的点）在 D 内解析。（2）设函数( )hg z在 z 平面上的区域 D 内解析，函数( )wf h在 h 平面上的区域G 内解析，如果对D 内的每个点z，函数( )g z的对应值h 都属于 G，那么复合函数 ( )wf g z在 D 内解析。精选学习资料
12、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载以上定理的证明，可利用求导法则. 根据定理可知 : （1）所有多项式在复平面内是处处解析的。（2）任何一个有理分式函数( )( )P zQ z在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。（可续页）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载本讲小结本节讲了导数、微分、解析的概念和三者之间的关系。解析函数的概念为本节重点。其中，例 1 和例 2 加深了对导数定义的理解， 且例 2 又能说明可导与连续的关系。例 3 和例 4 可以加深对解析定义的理解。思考题及作业题思考题复变函数( )f z在点0z可导与在0z解析有无区别？作业题： p66页 1（2） ，2（1）(3)，3（2）(3)，4 课后预习要点1柯西黎曼方程2函数在区域 D内解析的充要条件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页