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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学课题 ：第一节 解析函数的洛朗展式教学目的 ：1、明白双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分把握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、明白解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点 ：把握洛朗级数的绽开方法教学难点 ：把握洛朗级数的绽开方法教学方法 ：启示式、争论式教学手段 ：多媒体与板书相结合教材分析 ：洛朗级数是推广了的幂级数, 它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数绽开,也可以作为工具争论解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质；教学过程 ：1、双边幂级数在本节中,我们叙述解析函数的另
2、一种重要的级数展式,即在圆环内解析函数的一种级数展式；第一考虑级数n 20 1 z z 0 2 z z 0 n. n z z 0 .其中 z 0 , 0 , 1 ,., n ,. 是复常数； 此级数可以看成变量 1 的幂级数； 设这幂级z z 0数的收敛半径是 R；假如 o R,那么不难看出,此级数在 | z z 0 | 1内绝R对收敛并且内闭一样收敛, 在 | z z 0 | 1内发散； 同样,假如 R,那么此级R数在 | z 0z | 0 内肯定收敛并且内闭一样收敛；假如 R=0,那么此级数在每一点发散；在上列情形下,此级数在 z 0z 没有意义；于是依据定理 2.3,依据不怜悯形,此级数
3、分别在|zz 0|1R 1 0R及|zz 0|0内收敛于一个解析函数；R2、解析函数的洛朗展式 :更一般地,考虑级数名师归纳总结 nnzz0n,第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这里z 0 ,n n,0,1学习必备欢迎下载2 ,. 是复常数；当级数n0nzz 0n及nzz 0n,n1都收敛时,我们说原级数nzz 0n收敛,并且它的和等于上式中两个级数的n和函数相加；设上式中第一个级数在 | z z 0| R 2 内肯定收敛并且内闭一样收敛,其次个级数在 | z z 0| R 1 内肯定收敛并且内闭一样收敛； 于是两级数的和函数分别
4、 | z z 0| R 2 及 | z z 0| R 1 在内解析；又设 R 1 R 2,那么这两个级数都在圆环nD : R 1 | z z 0 | R 2 内肯定收敛并且内闭一样收敛, 于是我们说级数 n z z 0 在n这个圆环内肯定收敛并且内闭一样收敛；明显它的和函数是一个解析函数；我们称级数 n z z 0 n为洛朗级数 ；因此,洛朗级数的和函数是圆环 D 内的解析n函数,我们也有定理 5.1 （洛朗级数） 设函数 fz在圆环：D:R 1|zz 0|R 20R 1R 2内解析,那么在 D 内fz nnzz 0n ,其中,名师归纳总结 n1ifn1d,n0,12 ,.1z 0|R 2,使
5、得第 2 页,共 5 页2z 0是圆|z0z|,是一个满意R 1R 2的任何数；证明： 设 z 是圆环 D 内任一点,在 D 内作圆环D:R 1|z|z|R 2；zD,这里R 1R 1R 2R 2；用 1及分别表示圆|zz 0|R 及z 02由于f在闭圆环D 上解析,依据柯西定理,有fz1i 2fd1i 1fd,2z2z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中积分分别是沿 1及学习必备欢迎下载关于它们所围成圆盘的正向取的；2当 2时,级数fz有展1111zz 0zz 0z 01zz 0z 0zz 0nn0z 0n1一样收敛；而当 1时,级数11z 0nz
6、zz 01zz 0n0zz 0n1z 0一样收敛；把这两个式子代入前面的式子,然后逐项积分,我们就看到式fz nzz 0n ,n 其中,n1i 2f0n1d,n0 ,1,2,.n1i 1f0n1d,n,12,.2z2z由柯西定理,上面两式中的积分可以换成沿圆的积分,于是定理的结论成立；注解 1、由于函数 fz的解析区域不是单连通区域,所以公式n1if1dz,n0 ,12 ,.不能写成：nnfnz0.z 0n为其主要部2z 0nn .注解 2、我们称0nz 0n为 fz的解析部分, 而称1nzn分；名师归纳总结 注解 3、我们称nzz0n,为 fz的洛朗展式 ；R 2第 3 页,共 5 页n定理
7、 5.2 设洛朗级数nzz0n在圆环nD:R 1|zz 0|R 20R 1中内闭一样收敛于和函数gz,那么此展式就是gz在 D 内的洛朗展式：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - g学习必备欢迎下载z 0n.z nzn证明：现在把系数用 gz运算出来； 在 D 内任取一圆 :| z z 0 | R 1 R 2 ,用乘 1 z z 0 k 1 以定理中展式的两边,然后沿 求积分；由于所争论的级数在2 i上一样收敛,在求积分时,对有关级数可以逐项积分,于是我们有1gz k1dzk1izz 0nk1dzk2izz 02这里由于上式中求和记号k0 ,12 ,.后各
8、项只有在n=k 时不为零,因此定理的结论成立；注解：此定理说明, 洛朗级数的系数可以用它的和函数来运算,同时,这也说明,gz在 D 内不行能有其他形式的洛朗展式,的唯独性定理：因此我们有下面的解析函数洛朗展式推论 5.1 在定理 5.1 的假设下, fz在 D 的洛朗展式式唯独的；例1、求函数z1z|2分别在圆环 1|z|2 及2|z|内的洛朗级数展式；1 解：假如 1|z|2,那么z|,11|,1利用当|1时的幂级数展式2z1112.n.我们得名师归纳总结 111|21|11zn1n11 n z;n22n11.第 4 页,共 5 页zz 11n0n 21z1 z2z2z12z|2 z假如2|
9、z|,那么|,11 z,1同样,我们有111|z 1112nn1zn2z11n1n z1znz1 z2z2z1zzsinz 及sinz在例2、0z|内的洛朗级数展式是：2 zz- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sinz1学习必备欢迎下载1n2 zn1.zz3.2 zz.35 .2 n1 .2 4 n 2 nsin z z z 1 z1 . .z .3 .5 2 n 1 .1例3、e z 在 0 | z | 内的洛朗级数展式是：1e z 1 1 1 12 . 1 1n .；z 2 . z n . z例4、求函数 2 1 在圆环 1|z|3 内的洛朗级数展式； z 1 z 3 解：由于 1|z|3,那么 | 1 | |,1 z | ,1 利用当 | | 1 时的幂级数展式z 31 1 2. n.1我们得而z21z33 1z13zn3 1;1z13z12 z31,01;1 8z282 zz13 111zn1z2 1111z 3303n2 z1z2n2 znz2所以,有名师归纳总结 2 z1z31n0n z1n0z11n0z32.第 5 页,共 5 页183n2n2n- - - - - - -