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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 西 安 交 通 大 学 考 试 题 成果课程复变函数与积分变换 A 卷答案2006 年1 月日系别考 试 日 期专业班号姓 名 学 号 期中 期末一、解答以下各题（每道题 5 分,共 60 分）1、解：由 C-R 方程 u x v y,u y v x 得到 y 2 by,x 2 ax；解出 a 1,b 1；2 22、解：Ln 1 i ln | 1 i | i Arg 1 i ln 2 i 2 k （k Z）；4其主值为 ln 1 i ln 2 i；43、解：因被积函数 f z z 3e z sin z 在复平面解析,由 Cauchy-Gours
2、at定理,3 zz e sin z dz 0 . C4、解：因fz z e5在复平面解析,由高阶导数公式,.4Cz e5dzf40 ez| z01,2i5 z所以Cz e5dz2ii. ）, 4 页第 1 页5 z.412i in 5、解：cos in e e2所以 cosin 无界；又因iinen2en（ n|cos in|en2en（ n）,n2n2级数的一般项不收敛于0,所以发散；共名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、解：记cn5 n5,就5 n5552（ n）,n 2所以级数15 n5|c n1| nn 2
3、5 152nc n1n 215 nn 25 zn的收敛半径为 2. n7、解：g z ze 1 的零点为 2 k i（k Z）,明显它们都是孤立零点；而g 2 k i e 2 k i 1 0,全部这些点都是 g z 的 1 级零点；故1f z ze 1的全部孤立奇点是 2 k i（k Z）,且都是 1 级极点 . 8、解：z 0 是 f 的 2 级极点,故zRe s f z , 0 .1 1lim z 0 dz d z 2 ez 2 2 lim z 0 e z1 . 9、解：f z sin z 在复平面上有两个奇点 i ,i ,且都包含在曲线 C 内；2z 1由留数定理,sin2 z dz 2
4、 i Re s sin2 z , i Re s sin2 z , i C z 1 z 1 z 12 i sin i sin i 2 sin i e 1 i . 2 i 2 i e10、解：由分式线性映射的保圆性,以及 w z 1 在 C 上无奇点,z知映射 w z 1 将 C 变成圆周 . z由 w z 1 ,得 z 1,而 C |: z | 1,z w 1故象曲线为 | w 1 | 1；或2 2 u 1 v 1 . 共 4 页 第 2 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11、解： t =1,0 e|t|=e| t
5、| ejtdtt eejtdtetejtdt011ej1 t011ej1 tt01111122；jtjjj所以名师归纳总结 - - - - - - -ft= e|t| + t =1221. 12、解： Lsin2t=s224,由 Laplace 变换的微分性质L tsin2 t=d2s24,所以dsL tsin2 t=ds2242 s4s2；ds4二、解：在圆环域0|z1|1上的 Laurent 级数为fz z11 111 z11z11n0z1 n；zz在圆环域1|z1|上的 Laurent 级数为fz z 11z11z11z111111z11z1zz11z11n0z1 1nn2z1 1n.三
6、、解：明显满意1z10,1z0 1,1z 1的分式线性映射z 1z1z1可把z|:z|,1Imz0 变成角形域z 1:0argz 12；而z 22 z 1可将该角形域变成上半平面z 2:Imz 20；而wz 2i可将z 2:Imz 20 变成单位圆盘z 2iw|:w|1；故它们的复合映射wz1 11 12iz12iz12即为满意要z z2iz12iz12求的一个映射 . z共 4 页第 3 页第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、解：有理函数 f z 12 的分母次数 =分子次数 +2,且该函数在在实轴1 z上无奇点,而在上半平面仅有一个奇点 i ,故cosxdx=1e ix2dx2iRes 1e iz,i2ie1e. 11；12 xx2 z2 i五、x3x4xet1,x0 0,x01；11 s；解：设 L x t=Xs ,方程两边求 Laplace 变换,得到2 sXssx 0x 03 sXs x04Xs s1将x00,x01代入,得s23 s4Xs s1111；s11解出Xss1111 s41s1 29s141s12s10051 25s14s求 Laplace 逆变换,得到xt29e4 t1tet1et1 4. 第 4 页100525共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页