2022年复变函数复习重点.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一 复数的概念复变函数复习重点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 复数的概念： zxiy , x, y 是实数 ,xRez , yImz .i 21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：一般两个复数不比较大小,但其模（为实数）有大小.2. 复数的表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 模：zx2y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）幅角

2、：在 z0 时,矢量与 x 轴正向的夹角, 记为 Argz （多值函数）.主值 arg z 是位于 , 中的幅角.3） arg z与arctan y 之间的关系如下： x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0,arg zyarctan.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y当 x0,y0,arg z 0,arg zarctan yx.arctan yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4）三角表示 ： zzcosi sin,其中arg z .注：中间肯定是“ +”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

3、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5） 指数表示 ：zz ei,其中arg z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二复数的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 加减法 ：如 z1x1iy1, z2x2iy 2 ,就 z1z2x1x2iy1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 乘除法 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）如 z1x1iy 1, z2x2iy 2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1z2x1x2y1y2ix2 y1x1

4、 y2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1 y2i y1x2y2 x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zxiyxiyxiyx2y2x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 21222222222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）如1122zz ei 1 , zzei 2,就 z zzzei12 . z1z21 e12izz2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资

5、料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -n3. 乘幂与方根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）如zz cosi sinz ei,就 znnzcos ni sin n zein.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）如zz cosi sinz ei,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12k2k可编辑资料 -

6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_zz ncosi sinknn0,1,2 Ln1（有 n 个相异的值）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）复变函数1复变函数： wfz,在几何上可以看作把z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映射 .2复初等函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数函数： ezexcos yisin y,在 z 平面到处可导, 到处解析.且ezez .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： ez 是以 2i 为周期的周期函数.（留意与实函数不同）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数函数：Lnz

7、ln zi arg z2k k0,1,2L （多值函数）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_主值： ln zln ziarg z .（单值函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内到处解析,且注：负复数也有对数存在. （与实函数不同）1lnz.z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1b乘幂与幂函数： abebLnaa0 . zbebLnz z0可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：在除去原点及负实轴的z 平面内到处解析,且zbbz.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角函数：sin zeize iz,cos zeize iz, t gzsinz ,ctgzcos z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2i2cos zsin z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinz,cos z 在 z 平面内解析,且sin zcos z,cos zsin z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：有界性 sin z1, cosz1不再成立.（与实函数不同）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_eze zeze z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双曲函数shz, chz.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_shz奇函数, chz是偶函数.shz,chz 在 z 平面内解析shzchz,chzshz.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

10、第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（四）解析函数的概念1复变函数的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 点可导：fz= limfz0zfz0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0z0z2） 区域可导 ：fz 在区域内点点可导.2解析函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）点解析：fz 在z0 及其z0 的邻域内可导,称fz在 z0 点解析.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2

11、）区域解析：fz在区域内每一点解析,称fz 在区域内解析.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）如f z 在z0 点不解析,称z0 为 fz 的奇点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解析函数的运算法就： 解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数.解析函数的复合函数仍为解析函数.（五）函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件： fzux, yivx, y在 zxiy 可导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ux, y和vx, y在x, y可 微 , 且 在x, y处 满 足 CD 条 件 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

12、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uv ,uv此时,有 fzuiv .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyyxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 函数解析的充要条件 ：fzux,yivx, y 在区域内解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u x, y和vx, y在x, y在 D 内 可 微 , 且 满 足 CD 条 件 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uv ,uv .xyyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 fzuiv .可编辑资料 - -

13、 - 欢迎下载精品_精品资料_xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 如 ux, y, vx,y 在区域 D 具有一阶连续偏导数,就u x, y, vx,y 在区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_域 D 内是可微的.因此在使用充要条件证明时,只要能说明u, v 具有一阶连可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_续偏导且满意 CR 条件时,函数f zuiv 肯定是可导或解析的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页

14、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义,如其次章习题1）2）利用充要条件（函数以 fzux, yivx, y形式给出,如其次章习题2）3）利用可导或解析函数的四就运算定理.（函数 fz 是以 z 的形式给出,如其次章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1复变函数积分的概念：nfz dzlimfkzk , c 是光滑曲线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c

15、nk 1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分.2复变函数积分的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）fz dzc1 fz dz（ cc1 与 c 的方向相反）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）cfzgz dzf z dzcg z dz,c是常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 如曲线 c 由c1 与 c2 连接而成,就fz dzcfzdzc1fz dz .c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3复变函数积分的一般运算法可

16、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）化为线积分：cfz dzudxvdyicvdxudy .（常用于理论证明）c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）参数方法：设曲线c ：zz tt ,其中对应曲线 c 的起点,对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应曲线 c 的终点,就fz dzf ztcz t dt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（七）关于复变函数积分的重要定理与结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1柯西古萨基本定理：设

17、 fz 在单连域 B 内解析, c 为 B 内任一闭曲线,就. fzdz0c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2复合闭路定理 ：设 fz 在多连域 D 内解析, c 为 D 内任意一条简洁闭可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线,c1 , c2 ,Lcn 是 c 内的简洁闭曲线,它们互不包含互不相交,并且以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1, c2 ,Lcn 为边界的区域全含于D 内,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - -

18、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.fzdzcn.fzdz,k 1 ck其中 c 与 ck 均取正向.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. fz dz0 ,其中由c 及 c1 k1,2,Ln 所组成的复合闭路.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3闭路变形原理：一个在区域 D 内的解析函数fz沿闭曲线 c 的积分,不因 c 在 D 内作连续变形而转变它的值,只要在变形过程中c 不经

19、过使 fz不解析的奇点.4解析函数沿非闭曲线的积分： 设 fz在单连域 B 内解析, Gz 为 fz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 B 内的一个原函数,就z2fz dzG z2z1Gz1 z1 , z2B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：解析函数fz 沿非闭曲线的积分与积分路径无关,运算时只要求出原函数即可.5.柯西积分公式： 设 fz在区域 D 内解析, c 为 D 内任一正向简洁闭曲线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 的内部完全属于 D ,z0 为 c 内任意一点,就fz0.c zz dz2ifz0可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品_精品资料_6高阶导数公式： 解析函数 fz的导数仍为解析函数,它的n 阶导数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fz.dzn 12ifnz n1,2L 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0c zz0 n.其中 c 为 fz 的解析区域 D 内环绕 z0 的任何一条正向简洁闭曲线,而且它的内部完全属于 D .7 重要结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.n1c za1 dz2i,0,n0 . （ c 是包含 a 的任意正向简洁闭曲线）n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8复变函数积

21、分的运算方法1） 如 fz 在区域 D 内到处不解析,用一般积分法2）设 fz 在区域 D 内解析,fzdzf z tczt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 是 D 内一条正向简洁闭曲线,就由柯西古萨定理,.c fz dz0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -

22、 - - - - - - - - -c 是 D 内的一条非闭曲线,z1, z2 对应曲线 c 的起点和终点,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z2fz dzfzdzFz2cz13）设 fz 在区域 D 内不解析Fz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 c 内仅有一个奇点：fz.dzc zz02i fz0（ f z 在c 内解析）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fz.dzn 12i f nz0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c zz0 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

23、资料_曲线 c 内有多于一个奇点：. fz dzcn.fz dzk 1 c k（ ci内只有一个奇点zk ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或： . fzdzcn2iResk 1f z, zk （留数基本定理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如被积函数不能表示成fznzzo ,就须改用第五章留数定理来运算.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念： 如二元实函数 x, y 在 D 内有二阶连续偏导数且22满意x2

24、y20 , x, y 为 D 内的调和函数.2解析函数与调和函数的关系解析函数 fzuiv 的实部 u 与虚部 v 都是调和函数,并称虚部v为实部 u 的共轭调和函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个调和函数 u 与 v 构成的函数f zuiv 不肯定是解析函数.但可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是如 u,v 假如满意柯西黎曼方程,就uiv 肯定是解析函数.3已知解析函数fz 的实部或虚部,求解析函数fzuiv 的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）偏微分法 ：如已知实部 uu x, y ,利用 CR 条件,得v ,v .可编辑资料 -

25、 - - 欢迎下载精品_精品资料_对 vu 两边积分,得 vugxdyxy（* ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再对（ * ）式两边对 x 求偏导,得vudygxxxx（ * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

26、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 CR 条件,uv ,得uudygx,可求出gx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx代入（ * ）式,可求得虚部vyxxu dygx.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ） 线 积 分 法 ： 如 已 知 实 部uux, y, 利 用 CR条 件 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vvdvdxdyuudxdy ,故虚部为 vx , yuudxdyc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy

27、yxx0 , y0yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于该积分与路径无关, 可选取简洁路径 （如折线）运算它,其中x0 , y0与 x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是解析区域中的两点.3）不定积分法 ：如已知实部 uux, y,依据解析函数的导数公式和CR 条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件得知,fzuivuiu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxy将此式右端表示成z 的函数 Uz ,由于 fz 仍为解析函数, fzUz dzc注： 如已知虚部 v 也可用类似方法求出实

28、部u .（九）复数项级数1复数列的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） ） 复数列 n anibn （ n1,2L）收敛于复数abi 的充要条件为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim ana,lim bnb（同时成立）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）复数列 n 收敛实数列 an,bn 同时收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2复数项级数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）复数项级数n 0n nanibn

29、收敛的充要条件是级数an 与n 0nbn 同时收敛.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2）级数收敛的必要条件是lim0 .n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（十）幂级数的敛散性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1幂级数的概念 ：表达式2幂级数

30、的敛散性cn zz0 或nn 0nc zn 为幂级数.n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理Abel ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如幂级数c zn 在 zn0n 00 处收敛,那么对满意zz0 的一切 z ,该数肯定收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在z0 处发散,那么对满意zz0的一切 z ,级数必发散.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内,肯定收敛.在圆域外,发散.在收敛圆的圆周上可能收敛.也可能发散

31、.3）收敛半径的求法： 收敛圆的半径称收敛半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比值法假如limncn 1cn0,就收敛半径 R1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n根值法limcn0 ,就收敛半径 R1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如0,就 R.说明在整个复平面上到处收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如,就 R0 .说明仅在zz0 或 z0 点收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：如幂级数有缺项时,

32、不能直接套用公式求收敛半径.（如nc z2 n ）n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3幂级数的性质1）代数性质 ：设a zn ,b zn 的收敛半径分别为R 与 R ,记 RminR , R,nn1212n 0n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 zR 时,abzna znb zn（线性运算）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn 0n 0n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a zn b zn a babLa b zn（乘积运算）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn 0n 1 10 nn 0n 0n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -