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1、阶段复习检测(二)导数及其应用教师用书独具时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Px|x22x0，Qx|10，且a1，则“函数f(x)ax在R上是增函数”是“函数g(x)xa在R上是增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选D由函数f(x)ax在R上是增函数知，a1；当a时，g(x)的定义域为(0，)，不能满足g(x)xa在R上是增函数；而当a时，g(x)x在R上是增函数，此时f(x)x在R上是减函数，故选D4(2018贵阳月考)已知函数f(x)的
2、导函数为f (x)，且满足f(x)x，则f (1)()A1BCD1解析：选C由f(x)x，得f (x)1，故f (1)f (1)1，即f (1).5(2016日照模拟)设曲线ysin x上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数yx2g(x)的部分图像可以为()解析：选C曲线ysin x上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，g(x)cos x，则函数yx2g(x)x2cos x，设f(x)x2cos x，则f(x)f(x)，cos(x)cos x，yf(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，排除A、B令x0，得f(0)0.排除D故选C6若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k
3、的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)解析：选D由条件知f(x)k0在(1，)上恒成立，即k在(1，)上恒成立，x1，01，则不等式exf(x)ex1的解集为()Ax|x0Bx|x0Cx|x1Dx|x1或0xexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数，又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.11(2018长沙调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)e，f(0)e2(其中e为自然对数的底数)，则不等式exf(x)ex12的解集为()A(，0)B(，e2)C(，0)(e2，)D(0，)解析：选A设g(x)exf(x)ex12(
4、xR)，则g(x)exf(x)exf(x)ex1exf(x)f(x)e，f(x)f(x)e，f(x)f(x)e0，g(x)0，yg(x)在定义域上单调递减，f(0)e2，g(0)e0f(0)e2e2e20，g(x)g(0)，x0，不等式的解集为(，0)，故选A12已知函数f(x)aln x在(0，)上有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为()A(，0B(，0CD解析：选B函数f(x)aln x在(0，)上有且仅有1个零点，即ya和g(x)ln x在(0，)只有1个交点，g(x)ln x，令g(x)0，解得：xe2，令g(x)0，解得：0xe2，故g(x)在(0，e2)单调递减，在(e2，)单调
5、递增，故g(x)ming(e2)，在(0，e2)时，g(x)0，在x1时，g(x)0，故a即a时，1个交点，a0即a0时，1个交点，故选B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13(2018桂林检测)如图，函数g(x)f(x)x2的图像在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f (5)_.解析：由图像可得P点坐标为(5,3)，得g(5)3，故f(5)g(5)522，g(5)1且g(x)f (x)x，则f (5)g(5)53，故f(5)f (5)2(3)5.答案：514(2018汕头一模)已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_解
6、析：f(x)mx20对一切x0恒成立，m2.令g(x)2，则当1时，函数g(x)取最大值1.故m1.答案：1，)15某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p30或p130(舍去)则p，y，y变化关系如下表： p(20,30)30(30，)y0
7、y极大值故当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元答案：3023 00016(2018临沂模拟)对于函数f(x)，如果f(x)可导，且f(x)f(x)有实数根x，则称x是函数f(x)的驻点若函数g(x)x2(x0)，h(x)ln x，(x)sin x(0x)的驻点分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_(用“”连接)解析：由题意对于函数f(x)，如果f(x)可导，且f(x)f(x)有实数根x，则称x是函数f (x)的驻点可知函数g(x)x2
8、(x0)，可得2xx2，解得x12，h(x)lnx，可得lnx，如图：x2(1,2)，(x)sin x(0x)，可得cos xsin x，解得x31，所以x3x2x1.答案：x3x2x1三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求f(1)和f(1)的值；(2)求f(x)在1,1上的解析式解：(1)f(x)是周期为2的奇函数，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0.(2)由题意知，f(0)0.当x(1,0)时，x(0,1)由f(x)是奇函数，f(x)f(x)，综上，在1,
9、1上，f(x)18(12分)(2018佛山模拟)设l为曲线C：y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方(1)解：y，y，l的斜率ky|x11，l的方程为yx1.(2)证明：令f(x)x(x1)ln x，(x0)，曲线C在直线l的下方，即f(x)x(x1)ln x0，则f(x)2x1，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又f(1)0，x(0,1)时，f(x)0，即x1；x(1，)时，f(x)0，即x1，即除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方19(12分)(2018武汉调研)已知函数f(x)ln x(aR)(1)求函数
10、f(x)的单调区间；(2)求证：不等式(x1)ln x2(x1)对x(1,2)恒成立(1)解：定义域为(0，)，f(x).a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数；a0时，f(x)在(a，)上为增函数，在 (0，a) 上为减函数(2)证明：方法一x(1,2)，x10，要证原不等式成立，即证ln x对x(1,2)恒成立，令g(x)ln x，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数，当x(1,2)时，g(x)g(1)ln 10，ln x对x(1,2)恒成立，(x1)ln x2(x1)对x(1,2)恒成立方法二令F(x)(x1)ln x2(x1)，F(x)ln x2ln x.令(x)ln x
11、，由(1)知a1时，(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数x(1,2)，则(x)在(1,2)为增函数，(x)(1)0，即x(1,2)，F(x)0，F(x)在(1,2)上为增函数，F(x)F(1)0，(x1)ln x2(x1)对x(1,2)恒成立20(12分)(2018丹东模拟)已知f(x)ln x，g(x)x22ax1ln x.(1)求函数f(x)的极值；(2)若x0是函数g(x)的极大值点，证明：x0ln x0ax1.(1)解：f(x)定义域是(0，)，f(x)，令f(x)0得x.列表xf(x)0f(x)ln 3当x时，f(x)取极大值ln 3.(2)证明：g(x)定义域是(0，
12、)，g(x)x2a. 若a1，g(x)x2a22a0，g(x)单调递增无极值点，不符合题意；若a1，g(x)0即x22ax10有两个不等的实数根x1和x2(x1x2)，因为x1x21，x1x22a0，所以0x11x2.当0xx1时，g(x)0，当x1xx2时，g(x)0，当xx2时，g(x)0，所以g(x)在(0，x1)单调递增，在(x1，x2)单调递减，在(x2，)单调递增所以x0x1为函数f(x)的极大值点，且0x11.因为g(x1)0，所以a.所以x1ln x1axx1ln x1x1x1ln x1，x1(0,1)令h(x)xxln x，x(0,1)，h(x)f(x).由(1)可知f(x)
13、fln 30，所以h(x)在(0,1)上单调递减，故h(x)h(1)1，原题得证21(12分)(2018山西四校联考)已知函数f(x)aln x(aR)(1)若h(x)f(x)2x，当a3时，求h(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)有唯一的零点，求实数a的取值范围解：(1)h(x)的定义域为(0，)，h(x)aln x2x3ln x2x，h(x)2，令h(x)0，得h(x)的单调递减区间是和(1，)(2)问题等价于aln x有唯一的实根显然a0，则关于x的方程xln x有唯一的实根构造函数(x)xln x，则(x)1ln x.令(x)1ln x0，得xe1.当0xe1时，(x)e1时，(
14、x)0，(x)单调递增所以(x)的极小值为(e1)e1.如图，作出函数(x)的大致图像，则要使方程xln x有唯一的实根，只需直线y与曲线y(x)有唯一的交点，则e1或0，解得ae或a0.故实数a的取值范围是e(0，)22(12分)(2018安顺模拟)已知函数f(x)ln x(1a)x3bx，g(x)xexb(a，bR，e为自然对数的底数)，且f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为yx.(1)求实数a，b的值；(2)求证：f(x)g(x)(1)解：f(x)3(1a)x2b，f(e)3(1a)e2b，且f(e)1(1a)e3be，又f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为yx，切点为(e,1e)，解得ab1；(2)证明：由(1)可知f(x)ln xx，g(x)xex1，且f(x)的定义域为(0，)，令F(x)f(x)g(x)ln xxxex1，则F(x)1exxex(x1)ex(x1)， 令G(x)ex，可知G(x)在(0，)上为减函数，且G20，G(1)1e0，x0，使得G(x0)0，即ex00，当x(0，x0)时，G(x)0，F(x)0，则F(x)为增函数；当x(x0，)时，G(x)0，F(x)0，则F(x)为减函数F(x)F(x0)ln x0x0x0ex01，又ex00，ex0，即ln x0x0，F(x0)0，即F(x)0，f(x)g(x)