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1、课时作业提升(四十八)椭圆及其性质A组夯实基础1(2018深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x28y224有相同焦点的椭圆方程为()A1B1C1 D1解析：选C椭圆3x28y224的焦点为(，0)，可得c，设所求椭圆的方程为1，可得1，又a2b25，得b210，a215，所以所求的椭圆方程为1.故选C2(2018佛山模拟)若椭圆mx2ny21的离心率为，则()A BC或 D或解析：选D若焦点在x轴上，则方程化为1，依题意得，所以；若焦点在y轴上，则方程化为1，同理可得.所以所求值为或3(2018杭州模拟)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B
2、C2 D2解析：选D设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知， 2cb1bc1,2a222，当且仅当bc1时，等号成立故选D4(2018西安模拟)设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2的面积为()A4 B6C2 D4解析：选B由题意知，|PF1|PF2|7且|PF1|PF2|43，得|PF1|4，|PF2|3，又|F1F2|2 5，显然，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2为直角三角形，故PF1F2的面积为3465(2018临汾模拟)若直线yx与椭圆C：1(ab0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过
3、椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A BC1 D 42解析：选C设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，由题意可得|OF2|OA|OB|OF1|c由yx得AOF2，AOF1，|AF2|c，|AF1|c由椭圆的定义知，|AF1|AF2|2a，cc2a，e16(2018石家庄模拟)如果方程x2ky22表示焦点在x轴上，且焦距为的椭圆，则椭圆的短轴长为_解析：方程x2ky22可化为1，则22，短轴长为2答案：7(2018长沙模拟)已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_解析：由题意知|
4、AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e答案：8(2018潍坊模拟)已知椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_解析：如图，设椭圆的右焦点为E由椭圆的定义得，FAB的周长为|AB|AF|BF|AB| (2a|AE|)(2a|BE|)4a|AB|AE|BE|AE|BE|AB|，|AB|AE|BE|0，|AB|AF|BF|4a|AB|AE|BE|4a当直线AB过点E时取等号，此时直线xmc1，把x1代入椭圆1得y，|AB|3当FAB的周长最大时，
5、FAB的面积是3|EF|323答案：39已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c,0)，由条件知，得c又，所以a2，b2a2c21故E的方程为y21(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120当16(4k23)0，即k2时，x1,2从而|PQ|x1x2|又点O到直线l的距离d 所以OPQ的面积SOPQd|PQ|设t，则t0，SOPQ因
6、为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0所以，当OPQ的面积最大时，k，l的方程为yx2或yx2B组能力提升1(2018贵阳模拟)已知B(c,0)，C(c,0)，若，A，D都在以B，C为焦点的椭圆上，当A点的横坐标为，且5时，椭圆的离心率e的取值范围为()A BC D解析：选B设A，D(x1，y1)，则，(cx1，y1)，由得x1，y1，设椭圆的方程为1(ab0)，则，由于5，所以5e2(2016江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是()A BC D解析：选C由题意可得B，C，F(c，0)，则
7、由BFC90得c2a2b20，化简得ca，则离心率e3(2018宜春模拟)已知椭圆的焦点分别为F1(0，)，F2(0，)，离心率e，若点P在椭圆上，且，则F1PF2的大小为()A BC D解析：选D由题意可设椭圆的标准方程为1(ab0)，且c，离心率e，a2b2c2，得a2，b1.椭圆的标准方程为x21设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，mncos F1PF2，又(2c)2(2)2m2n22mncos F1PF2，12422mn2，解得mncos F1PF2，cos F1PF2，F1PF2.故选D4(2017镇江期末)已知椭圆1(m，n为常数，mn0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭
8、圆短轴为直径的圆上任意一点，则_解析：由题知F1(c,0)，F2(c,0)，设P(x0，y0)，则xyb2，(cx0，y0)(cx0，y0)xyc2b2c2n(mn)2nm答案：2nm5(2018广西检测)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F1(1,0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，设直线AB的斜率为k，若0k，则e的取值范围为_解析：设A(m，n)，则B(m，n)，M，N，所以，故由题设可得0，即m2n21，将其与1联立可得b2m2(1m2)a2a2b2，故m2a2a2b21b4，n2b4由题设0k可得n23
9、m2，即b43(1b4)，则b2，则a21故e2，即e242，所以e1，所以1e1答案：1e16(2018西安模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为， C为椭圆上位于第一象限内的一点(1)若点C的坐标为，求a，b的值；(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线AB的斜率解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e，则，由点C在椭圆上，将代入椭圆方程1，解得a29，b25，a3，b(2)方法一由(1)可知，则椭圆方程5x29y25a2，设直线OC的方程为xmy(m0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，消去x整理得5m2y29y25a2，y2，由y20，则y2，由，则ABOC，设直线AB的方程为xmya，则整理得(5m29)y210amy0，由y0，或y1，由，则(x1a，y1)，则y22y1，则2，(m0)，解得m，则直线AB的斜率方法二由(1)可知椭圆方程5x29y25a2，则A(a,0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，由，则(x1a，y1)，则y22y1，由B，C在椭圆上，解得则直线AB的斜率k