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1、江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（179） （无答案）江西省上饶县中学江西省上饶县中学 2017-20182017-2018 学年高中数学奥林匹克竞赛训练题学年高中数学奥林匹克竞赛训练题 （179179） ( (无答案无答案) )第一试第一试一、一、填空题（每小题填空题（每小题 8 8 分，共分，共 6464 分）分）1. 若函数y f (x1)的反函数为y f1(x1),且f (1) 3999，则满足f (n) n的最小正整数n .2.已知数列an满足a011“” “” ）.,an(1an1)(n 1,2,).则1a20140.32014(填“”322223.设非负实数x、y、z满
2、足x y z 1。则t 9 x 4 y 1 z的最小值为.4. 用一块边长为 2 的正方形纸片（顶点为A、B、C、D，中心为O)折成一个正四棱锥O ABCD。当该四棱锥体积最大时，二面角AOB C的平面角的大小为.5.甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人。一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为.6.给定非零实数a.若函数f :R R R R满足:对任意实数x均有f ( f (x) xf (x)a，则方程f (x) 0有个实根.4327.给定整数a、b、c、d。若关于z的方程z az bz cz d 0的根在复平面上对应四个点A、B、C、D为正方
3、形四个顶很快空，则正方形ABCD的面积的最小值为.8。集合I 1,2,2n1(nZ Z+ +)的k个不同子集A1, A2, Ak满足：对任意的i、j(1 i j k)均有AiAj I.则k的最大值为.- 1 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（179） （无答案）二、解答题（共二、解答题（共 5656 分）分）19.（16 分)设an12n1a2(nZ Z)。求最小的正实数,使得对任意的n 2，均有ank。nk1kx2y210。 （20 分）已知AB为椭圆:221的长轴,CD为椭圆的一条弦，过点C、D的切线交于点P，abAD的延长线与CB的延长线交于点E，AC的延长线与DB的延长线交
4、于点F.若E、P、F三点共线，求EP.PF11. （20 分)自然数a、b使得4a 7b与5a 6b均为 11 的倍数,且a 21b 792。 求T 21a b的最小值.- 2 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（179） （无答案）加加试试一、（40 分）如图1，已知交于B、C两点,A、D分别在M、 N上，且AC与N相切，CD与相切，CB的延长线与ACD的外接圆交于点E。证明:（1）AE CD ED AC；（2）EB BC.M- 3 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（179） （无答案）(x2 z2)y(y2 z2)x(x2 y2)z1二、（40 分） 设x、y、z为非
5、负实数， 且x y z 1。 证明:.x zy zx y2三、(50 分）已知n为正整数，集合I 1,2,n(n 3)的k个三元子集A1, A2, Ak满足：对任何I的其他三元子集B， 均存在整数m和子集Ai(1i k)使得y y x m(modn),1 y n,x Ai B.求k的最小值。- 4 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（179） （无答案）四、（50 分)甲、乙两人轮流吹同一只气球，当且仅当气球的气体体积V（单位:毫升)大于 2014 时,气球会被吹破.先由甲开始吹入 1 毫升气体，约定以后每次吹入的气体体积为上一次体积的2 倍或体体积为整数。（1）若谁先吹破气球谁输,问谁有必胜策略？证明你的结论。（2）若在不吹破气球的前提下， 约定单次吹入的气体体积最大者为赢家 （如果吹入的体积相同,则最先吹出的最大体积者为赢家）.问：谁有必胜策略？证明你的结论.1，且吹入的气2- 5 -