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1、江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（201） （无答案）江西省上饶县中学江西省上饶县中学 2017-20182017-2018 学年高中数学奥林匹克竞赛训练题学年高中数学奥林匹克竞赛训练题 （201201） ( (无答案）无答案）第一试一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1。设x、yR，集合Ax, yx23xy4y27，B (x, y) kx y 2(k 0)。当AB只有2一个元素时，k= .2。设a、b、c为ABC的三边长，且bc cos7AA8,(bc)sin15.则a= .223。设 s 为方程x 1的非实数根，则s(s1)(s2s1)(s2s1)= .4.定义异面棱长相等
2、的四面体为等腰四面体.设等腰四面体 DBMN 的外接球半径为 R，BMN的外接圆半径为 r，已知DB MN a,DM BN b,DN BM c，则10r的取值范围是。R10ai2ai25.设aiR(i 1,2,10)且2的取值范围是。1，则2a 1a 1i1ii1i6.已知抛物线y 4x上两点Ax1, y1与Bx2,y2切线互相垂直，则切线交点的轨迹方程为 .7.设正整数数列an单调递增，满足an23an1an,a6 280，则a7=。8。对集合1,2,242的k元子集T，满足T的任意两个元素（可以相同）之和均不为3 的整数次幂，则k的最大值为。二、解答题（共 56 分）9。 （16 分）证明
3、:1 n(n2 1)(nZ)k0nkn1x2y2m2n22mnOAOB,其中，m n 0。10。 （20 分） 设 A、 B、 P 为椭圆221上三点， 满足OP 2222abm nm n(1）求线段 AB 中点的轨迹 C 的方程- 1 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（201） （无答案）x2y2（2）过曲线 C 上任一点 Q 作曲线 C 的切线，与椭圆221交于 E、F 两点，证明：QE=QF。ab11. （20 分）设有m个互异的正偶数与n个互异的正奇数之和为 2015，求20m 15n的最大值.加试一、 (40 分） 如图 1,设 D 为ABC的边 BC 上任意一点， EF
4、 为ACD的内切圆外 公 切 线 ， EF 与 AD 交 于 点 K ，ABC的 内 切 圆明:MKN+P与ABD的内切圆Q的I与AC切于点M， 与 AB 切 于 点 N ， 证1BAC 18002- 2 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（201） （无答案）二、 （40 分)设xk 3(k 1,2,n),证明:n23x (k 1)x 2k 1kkkk1k1k1n2n2三、 （50 分）设a、b、c、d、x、y、z、w为互不相等的正整数,满足下列三式：a+b+c+d=x+y+z+w,a2+b2+c2+d2=x2+y2+z2+w2,证明：满足题设条件的方程有无穷多组正整数解。a3+b3+c3+d3=x3+y3+z3+w3,四、 （50 分）设n为正整数，记平面点集S (x, y) x、y0,1,n,x y 0。问：平面内最少要有多- 3 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（201） （无答案）少条直线，它们的并集才能包含S，但不含点（0，0）？- 4 -