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1、江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（200） （无答案）江西省上饶县中学江西省上饶县中学 2017-20182017-2018 学年高中数学奥林匹克竞赛训练题学年高中数学奥林匹克竞赛训练题 （200)200) （无答案）（无答案）第一试一、填空题(每小题 8 分，共 64 分）1.设函数y log2x的定义域为m,n，值域为0,2。则区间m,n长度的最小值为。22.已知向量a、b满足a b a b 2,且(ac) (bc) 0。则2bc的最小值为3。若复数z满足z 2,则z2 z 12z 13i的最大值为。4. 设 函 数f (x) Asin(x)(A 0, 0)。 若f (x)在 区
2、 间,上 具 有 单 调 性 ， 且6 2 2f f23 f，则fx的最小正周期为 .65。已知方程ay b2x2c中的a、b、c3,2,3，且a、b、c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有条。6。已知高为2的四棱锥S ABCD的底面是边长为 1 的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为 1 的同4一球面上。则侧棱 SA 长度的最大值为。7。 设函数f (x) x x1.定义f2(n)(n)记rn为f(x) 0(x)如下：f(1)(x) f (x), f(n)(x) f ( f(n1)(x)。的所有根的算术平均值，则r2015。8。已知数列an:an1二、解答题（共 56
3、分）9。（16 分） 设常数aR， 函数f (x) (ax) x存在反函数f1222n2n11。记Tn a0a1an，则limT=。nn(x).若关于x的不等式f1(x2m) f (x)- 1 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（200） （无答案）对所有的x2,2恒成立，求实数m的取值范围.x2 y21,O为原点，10。 (20分)已知椭圆C :若动点A在椭圆C 上,动点B 在直线y 2上， 且OA OB，2证明：点 O 到直线 AB 的距离为定值。11。 （20 分）已知知数列an:1,1,2,1,2,3,记Sn为数列an的前n项和.求所有的正实数数,1,2,n,，对、，使得-
4、2 -Snlimnn江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（200） （无答案）加试一 、 （ 40 分 ) 用x表 示 不 超 过 实 数x的 最 大 整 数 ， 已 知p、q为 互 素 的 正 大 整 数 . 证pq1明:(1)k0k k p q0, pq为偶数1,pq为奇数二、（40分)在锐角ABC中,已知AD为角平分线， M为边BC的中点,点P、 Q在线段AD上， 且ABP CBQ，证明：当点 P、Q 变化时,PQM的外心在一条定直线上。- 3 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（200） （无答案）三 、（ 50分 ） 给 定 正 整 数 数 组A (a1,a2,ak)
5、, 若 对 任 意 的x1,x2,xkM， 均 有a1x1a2x2akxkM,则集合M(M Z)称为“A好的”。定义f (n, A,B)为最大的正整数h,使得集合S n,n1,h可以分成两个集合S1、S2满足S1B好的。若数组A (a1,a2,ak)，S2 S,S1S2,且S1为 A好的,S2为B (b1,b2,? ,bk)(k 2)满足aibi s,且minai minbi1。i1i11ik1ikkk证明：f (n,A,B) ns n(s1)1- 4 -2江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（200） （无答案）四、 （50分)设x1,x2,xnR,n 2,n明:1 x2iknjxk n1i11xjknn且x2i1i1记kn 22 11n1证- 5 -，