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1、江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（203） （无答案）江西省上饶县中学江西省上饶县中学 2017-20182017-2018 学年高中数学奥林匹克竞赛训练题学年高中数学奥林匹克竞赛训练题 （203203）（无答案）（无答案）第一试一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1.平面上 m 个点无三点共线，其凸包为 n 边形,适当连线可得一个由三角形组成的网格区域，记其中不重叠的三角形个数为f (m,n),则f (2016,30) 。x y 12.任取平面区域D：2x y 1,内一点A(x, y)，定点B(a,b)满足OA OB 1，则a b的最大值x2y 1为 .3.设抛物线 C：y2
2、 2px(p 0)的焦点为 F，其准线与x轴的交点为 Q，过点 F 作直线与抛物线C 交于 A、B 两点，且QBF 900。则AF BF .4.如图 1，在正方体ABCD ABC D中，点 E、F、G 分别为线段BB、AB、AC上的动点，给出以下四个命题：对任意点 E，存在点 F,使得D F CE;对任意点 F，存在点 E,使得CE D F对任意点 E，存在点 G，使得DG CE对任意点 G，存在点 E，使得CE DG,从中任选两个命题，其中恰有一真一假的概率P=。5.任取、0，均有234cos22coscos4cos23cos3cosk 0,则k的最小值为。6.不等式x 3x 5x 3x 2
3、x 1 0的解集为。7.实数x、y、z满足x y z 1,且x y z 3。则xyz的取值范围是。8。在平面区域M (x, y)222654320 y 2 x,内任取k个点，均能将这个k个点分成 A、B 两组，使得A 组所0 x 2有的横坐标之和不大于 6，而 B 组所有点的纵坐标之和不大于6，则正整数k的最大值为。- 1 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（203） （无答案）二、解答题（共 56 分）9. （ 16分 ） 求M的 最 小 值 , 使 得 函 数f (x) x22x1对 区 间0,4的 任 一 分 割0 x0 x1 xn1 xn 4均满足f (xi) f (xi1)
4、 M。i1nx2y21的左、右顶点分别为A、B，在椭圆 C 上任取异于 A、B 的点 P，直10。 （20 分）如图 2,椭圆C :43线 PA、PB 分别与直线x 3交于点 M、N，直线 MB 与椭圆 C 交于点 Q.(1)求FM FN的值；(2）证明:A、Q 三点共线。11。 （20 分）设a1Z，且a118，定义数列an：an1求集合M = annZ中元素个数的最大值。- 2 -2an,an18;(n 1,2,)。2an36,an18江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（203） （无答案）加试一、 （40 分）如图 3，过O外一点 P 作切线 PA、PB 以及割线 PCD,过点
5、C 作 PA 的平行线分别与 AB、AD 交于点 E、F。证明：EC=EF。- 3 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（203） （无答案）47286500100二、(40 分)证明:2 ?5 ?2003 (21)(31)(19781).三、(50 分)设S 1,2,， 2016，对任意非空有限实数集A、B,求f AS BS CS的最小值，其中XY a X aY- 4 - aY a X称为集合X与Y的对称差，且C a b a A,bB江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（203） （无答案）四、 （50 分）设整数n 3，对置于n个点A1,A2,An及点O处的卡片如下操作:操作 A：若某个点Ai处的卡片数不少于 3，则可从中取出三张，在三点Ai1、Ai1、O处各放一张(A0 An,An1 A1)；操作 B：若点 O 处的卡片数不少于n，则可从中取出n张，在n个点A1,A2,An处各放一张。证明：只要放置于这n1个点处的卡片总数不少于n 3n1，则总能通过若干次操作，使得每个点的卡片数均不少于n12- 5 -