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1、江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（214） （无答案）江西省上饶县中学江西省上饶县中学 2017-20182017-2018 学年高中数学奥林匹克竞赛训练题学年高中数学奥林匹克竞赛训练题 （214214）（无答案）（无答案）第一试一、填空题1.已知点 A(3， 1)，B，且ABCD的四个顶点均在函数f (x) log22，的面积为 .2。设集合Aa1,a2,a5(aiR,i 1,2,5)，若集合 A 中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为B 2,3,4,6,9，则集合 A 中的元素和为。3.在ABC中，B 53axb的图像上， 则ABCDx13，点 D 在边 AB 上，BD=1，A
2、C=3,DA=DC，则DCA x2 y21上任意两点 P、4。 椭圆Q， O 为坐标原点， 若OP OQ， 则POQ面积的最小值为 .45。现安排七名同学去参加五个运动项目，要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目，每个项目均有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同方案数为。6.某情报站有 A、B、C、D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码，且每周均是从上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种。 设第一周使用 A 种密码，则第七周也使用 A 种密码的概率为（用最简分数表示）.7。在四面体 ABCD 中，ADB BDC CDA 60，AD=BD=3,CD=2，则四面体 ABCD
3、的外接球的体积为。8.设f (x)为定义在 R 上的奇函数，且当x 0时，f (x) x2，若对任意xa,a2，均有0f (xa) 2 f (x),则实数a的取值范围是。二、解答题nnnx2 x(nZ)，设x1,x2,xn为正实数,且xi1.证明：fn(xi) 09.已知函数fn(x) 2x 1i1i1- 1 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（214） （无答案）10。设抛物线E: y2 2px(p 0)的焦点为 F,过 F 且垂直于x轴的直线l与抛物线 E 交于 S、T 两点，以P(3,0)为圆心的圆过点 S、T，且SPT 900。(1）求抛物线E、 P的方程.（2）设 M11.
4、 记x表 示 不 超 过 实 数x的 最 大 整 数 ， 已 知 数 列an满 足a11,an11P上的点，过点 M 且垂直于 FM 的直线l与抛物线 E 交于 A、B 两点，证明:FA FB。1lnan. 设anSna1a2an,求Sn- 2 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（214） （无答案）加试一、如图1,过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线与圆交于C、D 两点，C 在 P、D 之间，在弦 CD 上取一点 Q，使得DAQ=PBC,证明：QP 平分AQB.二、设m、n为正整数，p为素数。求所有满足C3 pnm4的三元数组(m,n, p）- 3 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（214） （无答案）三、将编号为1，2，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球。设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S,求使 S 达到最小值的放法的概率。- 4 -江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题（214） （无答案）四、已知正实数a1,a2,a2017满足xk12xk xk1akxk 0(1 k 2017)有一组不全为0 的实数解(x0,x1,x2018)且x0 x2018 0.证明：a1a2a201721009- 5 -