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1、2.3 幂函数 我们先看几个具体问题我们先看几个具体问题: :1.1.如果回收旧报纸每公斤元，某班每年卖旧报如果回收旧报纸每公斤元，某班每年卖旧报纸公斤，所得价钱是关于的函数；纸公斤，所得价钱是关于的函数； 2.2.如果正方形的边长为，面积为如果正方形的边长为，面积为, ,这里是这里是关于的函数关于的函数; ;y=xy=xy=xy=x2 23.3.如果正方体的棱长为如果正方体的棱长为, , 正方体的体积为正方体的体积为, ,这里是关于的函数这里是关于的函数; ;4.4.如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为, , 这个正方这个正方形的边长为，这里是关于的函数形的边长为，这里是关于
2、的函数; ;5.5.如果某人秒内骑车行驶了如果某人秒内骑车行驶了, ,他骑车的他骑车的平均速度是，这里是关于的函数平均速度是，这里是关于的函数. . 3yx12yx-1yx思考思考：以上各题目的函数关系分别是什么？有以上各题目的函数关系分别是什么？有什么共同的特征？什么共同的特征？让我们进入本节的学习！让我们进入本节的学习！1.1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用；简单的应用；( (重点）重点） 2.2.能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质；程
3、与方法，来研究幂函数的图象和性质；3.3.通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图能力；进一步体会数形结合的思想图能力；进一步体会数形结合的思想. .（难点）（难点）思考思考：以上各题目的函数关系分别是什么？有什么以上各题目的函数关系分别是什么？有什么共同的特征？共同的特征？yx (1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)12yx2yx1yx3yxyx（1 1）都是以自变量）都是以自变量x x为底数；为底数；（2 2）指数为常数；）指数为常数；（3 3）自变量）自变量x x前的系数为前的系数为1;1;（4 4）只有一项。）只有
4、一项。 探究探究1 1：幂函数的定义：幂函数的定义一般地一般地, ,函数函数 叫做叫做幂函数幂函数，其中，其中x是自变是自变量，量， 是常数是常数. .yx中中 前面的系数是前面的系数是1 1，后面没有其他项，后面没有其他项. .yxx例例1.1.下列函数中，哪几个函数是幂函数？下列函数中，哪几个函数是幂函数？22x231(1)y (2)y2xx(3)y2 (4)yx1 (5)yx 答案答案: :(1)(1)223f(x)1 xmmmm幂幂数数已已知知是是函函, , 求求 的的值值. .f(x):因因是是解解析析函函，为为幂幂数数211mm :21.mm 解之得或21mm 或【变式练习变式练习
5、】23112,yx yxyxyxyx探究探究2 2：常见幂函数的图象：常见幂函数的图象在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：在同一坐标系中分别作出如下函数的图象： 观察图象，说一说它们有什么共同特征？观察图象，说一说它们有什么共同特征？xy在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象23112,yx yxyxyxyxOxy在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象23112,yx yxyxyxyxO在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象. .23112,yx yxyxyxyxxOyxy在同一
6、平面直角坐标系内作出幂函数的图象在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象23112,yx yxyxyxyxOxy在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象. .23112,yx yxyxyxyxOxyO（2 2）在第一象限内，）在第一象限内，当当00时，图象随时，图象随x x的增大而的增大而_当当00时，图象随时，图象随x x的增大而的增大而_（1 1，1 1）（1 1）图象都经过点图象都经过点_（1 1，1 1）上升上升下降下降常见的幂函数的性质常见的幂函数的性质 函数函数性质性质y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性
7、单调性单调性过定点过定点12yx1yxR RR R0,+)0,+)x|xR,x|xR,且且x0 x0R RR R0,+)0,+)R R0,+)0,+)y|yR,y|yR,且且y0y0奇奇偶偶奇奇奇奇非奇非偶非奇非偶增增x0,+)x0,+)时，增时，增x(-,0 x(-,0时，减时，减增增增增x(0,+)x(0,+)时，减时，减x(-,0)x(-,0)时，减时，减(1,1),(1,1),(0,0)(0,0)(1,1),(1,1),(0,0)(0,0)(1,1),(1,1),(0,0)(0,0)(1,1),(1,1),(0,0)(0,0)(1,1)(1,1)特征特征【提升总结提升总结】常见幂函数的
8、特征常见幂函数的特征123121.yx,yx ,yx ,yxyx 函函数数和和的的图图象象都都通通过过点点(1,1).(1,1).312yx,yx ,yxyx 2 2. .函函数数是是奇奇函函数数，函函数数是是偶偶函函数数. .12321yx,yx ,yxyxyx 3.3.在在第第一一象象限限内内，函函数数和和是是增增函函数数，函函数数是是减减函函数数. .1yxyx 4 4. .在在第第一一象象限限内内，函函数数的的图图象象向向上上与与 轴轴无无限限接接近近，向向右右与与 轴轴无无限限接接近近. .例例2.2.证明幂函数证明幂函数 在在 上是增函数上是增函数. .f(x)x0,证明：证明：任
9、取任取1212x ,x0,xx ,，且则则1212121212( xx )( xx )f(x )f(x )xxxx1212xxxx因为因为1212xx0,xx0所以所以12f(x )f(x )即幂函数即幂函数 在在 上是增函数上是增函数. .f(x)x0,注意注意: :掌握证明函数单调性的方法和基本模式掌握证明函数单调性的方法和基本模式. .1.1.比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小. . 1122(1)11.5 1.7，的大小关系为333555(2)(2) (3) (5)，的大小关系为；.11221 1.51.7333555(2)(3)(5) 2.2.已知幂函数已知幂函数y=f(x)y
10、=f(x)的图象过点的图象过点 (2, ),(2, ),则则f(9)=_.f(9)=_.【解析解析】设设f(x)=xf(x)=x, ,由题设知由题设知 =2=2,= .,= .即即f(x)= ,f(9)= =3.f(x)= ,f(9)= =3.221212x1293 33.3.如果函数如果函数 是幂函数，是幂函数，且在区间（且在区间（0 0，+）内是减函数，则）内是减函数，则m m的值为的值为 . .22m2m 3f(x)(mm 1)x2 24.4.若若 ，求实数，求实数 的取值范围的取值范围. . 1320aa 112211132aa1122132aaa解：解： 23.32a解得解得 1122132aa3.3.利用函数的单调性比较几个利用函数的单调性比较几个“同指数不同同指数不同底数底数”的幂的大小的幂的大小. .1.1.学习了幂函数的概念；学习了幂函数的概念；2.2.掌握了幂函数在第一象限内的图象特征，掌握了幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象；能根据奇偶性完成整个函数的图象；