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1、课时训练 第一章 集合与常用逻辑用语 第 1 课时 集合的概念 一、 填空题 1. 已知集合 A1，2，3，B1，m，若 3mA，则非零实数 m_ 答案：2 解析：若 3m2，则 m1，此时集合 B 不符合元素的互异性，则 m1；若 3m1，则 m2，符合题意；若 3m3，则 m0，不符合题意所以答案为 2. 2. 已知集合 A1，3，2m1，集合 B3，m2，若 BA，则实数 m_答案：1 解析： BA， m22m1，即(m1)20. m1，当 m1 时，A1，3，1，B3，1，满足 BA. 3. 已知集合 A1，2，3，4，5，6，7，8，Bx|xA，A，则 B 中的元素x的个数为_ 答案
2、：2 解析：因为 A1，2，3，4，5，6，7，8，Bx|xA，A，所以xB1，4，则 B 中的元素的个数为 2.4. 将集合表示成列举法为_（x，y）|xy5， 2xy1) 答案：(2，3)解析：解方程组得所以答案为(2，3)xy5， 2xy1，) x2， y3.)5. 已知集合 A1，0，a，B0，若 BA，则实数 a 的值为_a答案：1解析： BA， A， a，解得 a1 或 a0(舍去)aa6. 设非空数集 M1，2，3，且 M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合 M 共 有_个 答案：6解析：集合1，2，3的所有子集共有 238(个)，不含奇数元素的集合有2， 共 2 个，故满足要
3、求的集合 M 共有 826(个)7. 已知集合 A1，2，3，BxR|x2ax10，aA，当 BA 时， a_ 答案：1 或 2解析：验证当 a1 时，B满足条件；验证当 a2 时，B1也满足条件；验证当 a3 时，B，不满足条件3 52，3 528. 已知集合 Aa，Bx|x25x40，Bx|x24xa0，aR(1) 若存在 xB，使得 AB，求 a 的取值范围； (2) 若 ABB，求 a 的取值范围解：(1) 由题意得 B，故 164a0，解得 a4 . 令 f(x)x24xa(x2)2a4，其对称轴为直线 x2. AB，又 A(，1)(3，)， f(3)0，解得 a3 . 由得 a 的
4、取值范围是(，3)(2) ABB， BA. 当 164a0，即 a4 时，B 是空集，这时满足 ABB； 当 164a0 时，a4 . 令 f(x)x24xa，其对称轴为直线 x2. A(，1)(3，)， f(1)0，解得 a5 . 由得 a5. 综上，a 的取值范围是(，5)(4，) 第 3 课时 简单的逻辑联结词、量词 一、 填空题1. 命题“x(1，)，log2xx1”的否定是_答案：x(1，)，log2xx1解析：全称命题的否定为特称命题，所以“x(1，)，log2xx1”的否定是 “x(1，)，log2xx1” 2. 下列四个结论中正确的个数是_ “x2x20”是“x1”的充分不必要
5、条件； 命题：“xR，sinx1”的否定是“xR，sinx1” ； “若 x，则 tanx1”的逆命题为真命题； 4 若 f(x)是 R 上的奇函数，则 f(log32)f(log23)0. 答案：1 解析：对于，由 x2x20，解得 x2 或 x1，故“x2x20”是“x1”的必要不充分条件，故错误；对于，命题：“xR，sinx1”的否定是“xR，sinx1” ，故正确；对于， “若 x ，则 tanx1”的逆命题为“若 tan 4x1，则 x ” ，为假命题，故错误；对于，若 f(x)是 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)40， log32log32， log32 与 log23 不互为
6、相反数，故错误1log23 3. 已知 p，q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，那么 r 是 q 的 _条件 答案：充要解析：由题意得 qsrq，所以 r 是 q 的充要条件4. 若“x0，tanxm”是真命题，则实数 m 的最小值为_ 4 答案：1解析：由题意可知，只需 mtanx 的最大值 当 x时，ytanx 为增函数，0，4当 x 时，ytanx 取最大值 1. m1.4 5. 设 a，b，c，d 是非零实数，则“adbc”是“a，b，c，d 成等比数列”的 _条件 答案：必要不充分解析：当 a4，b1，c1，d 时，a，b，c，d 不成等比数列，
7、所以不是充分条件；14 当 a，b，c，d 成等比数列时，则 adbc，所以是必要条件综上所述， “adbc”是 “a，b，c，d 成等比数列”的必要不充分条件6. 若命题“xR，使得 x2mx2m30”为假命题，则实数 m 的取值范围是 _ 答案：2，6 解析：由题意知不等式 x2mx2m30 对一切 xR 恒成立，所以 m24(2m3)0，解得 2m6，所以实数 m 的取值范围是2，67. 已知条件 p：|x1|2，条件 q：xa，且p 是q 的充分不必要条件，则 a 的取值 范围是_ 答案：1，)解析：p 是q 的充分不必要条件的等价命题为 q 是 p 的充分不必要条件，即qp，而 pq
8、，条件 p 化简为 x1 或 x3，所以当 a1 时，qp. 8. 在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，则“ab”是 “sinAsinB”的_条件 答案：充要解析：由正弦定理，得，故 absinAsinB.asinAbsinB9. 已知命题 p：xR，(m1)(x21)0，命题 q：xR，x2mx10 恒成 立若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围是_ 答案：(，2(1，)解析：由命题 p：xR，(m1)(x21)0 可得 m1.由命题q：xR，x2mx10 恒成立，可得2m2，若命题 p，q 均为真命题，则此时 2m1.因为 pq 为假命题，所以命题 p，q 中至
9、少有一个为假命题，所以 m2 或 m1. 二、 解答题10. 已知命题 p：“x1，2，x2a0” ，命题q：“xR，x22ax2a0” 若“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围 解：由“p 且 q”是真命题，知 p 为真命题，q 也为真命题 若 p 为真命题，则 ax2恒成立， x1，2， a1. 若 q 为真命题，即 x22ax2a0 有实根，4a24(2a)0，即 a1 或 a2. 综上，实数 a 的取值范围是a|a2 或 a1 11. 设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公 共根的充要条件是 A90. 证明：必要性：设方程 x
10、22axb20 与 x22cxb20 有公共根 x0， 则 x 2ax0b20，x 2cx0b20，2 02 0两式相减可得 x0，将此式代入 x 2ax0b20，可得 b2c2a2，故 A90.b2ca2 0 充分性： A90， b2c2a2，b2a2c2 . 将代入方程 x22axb20， 可得 x22axa2c20， 即(xac)(xac)0. 将代入方程 x22cxb20， 可得 x22cxc2a20， 即(xca)(xca)0. 故两方程有公共根 x(ac) 方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是 A90. 12. 设 p：实数 x 满足 x24ax3a2
11、0，其中 a0；q：实数 x 满足 x2x60 或 x22x80，且非 p 是非 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 解：设 Ax|px|x24ax3a20，a0x|3axa，a0， Bx|qx|x2x60 或 x22x80x|x2x60x|x22x80 x|2x3x|x4 或 x2x|x4 或 x2 非 p 是非 q 的必要不充分条件，而x|非 qRBx|4x2， x|非 pRAx|x3a 或 xa，a0， x|4x2x|x3a 或 xa，a0，则或即3a 2， a0) a 4， a0，)或a 23， a 0， 0，x0， 1，x 1 的解集为x1（1 x 0.令函数 f(x)x1
12、x3 g(x)h(x) (1) 求函数 f(x)的解析式，并求其定义域；(2) 当 a 时，求函数 f(x)的值域14解：(1) f(x)，x0，a(a0)x1x3(2) 当 a 时，函数 f(x)的定义域为.140，14令1t，则 x(t1)2，t，x1，32则 f(x)F(t).tt22t41t4t2当 t 时，t2，又当 t时，t 单调递减， F(t)单调递增，F(t)4t1，321，324t，即函数 f(x)的值域为.13，61313，613 11. 已知函数 f(x).1x1x(1) 求函数 f(x)的定义域和值域；(2) 设 F(x) (f2(x)2)f(x)(其中 a 为参数)，
13、求 F(x)的最大值 g(a)a2解：(1) 由得1x1， 函数 f(x)的定义域为1，11x 0， 1x 0，) 又 f2(x)222，4，由 f(x)0，得值域为，21x22(2) F(x) (f2(x)2)f(x)a，a21x21x1x令 tf(x)，则 t21，1x1x1x212 F(x)m(t)at at2ta，t，2，(12t21)122由题意知 g(a)即为函数 m(t) at2ta，t，2的最大值122注意到直线 t 是抛物线 m(t) at2ta 的对称轴，1a12 当 a0 时，m(t)t， g(a)2；当 a0 时，m(t) at2ta，t，2单调递增， g(a)m(2)
14、a2；122 当 a0 时， 若 t (0，即 a，则 g(a)m()；1a22222 若 t (，2，即a ，则 g(a)ma；1a22212(1a)12a 若 t (2，即 a0，则 g(a)m(2)a2.1a12综上，有 g(a)a2，a 12，a12a，22a 12，2，a 22.)12. 已知二次函数 f(x)ax2bx(a，b 是常数，且 a0)满足条件：f(2)0，且方程 f(x) x 有等根(1) 求 f(x)的解析式； (2) 是否存在实数 m，n(m0，x0)1a1x (1) 求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2) 若 f(x)在 ，2上的值域是 ，2，求实数 a
15、 的值1212 (1) 证明：设 x2x10，则 x2x10，x1x20. f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)， f(x)在(1a1x2) (1a1x1)1x11x2x2x1x1x2 (0，)上是单调递增函数(2) 解： f(x)在上的值域是，12，212，2又 f(x)在上单调递增，12，2 f ，f(2)2，解得 a .(12)122512. 已知 f(x)(xa)xxa (1) 若 a2，求证：f(x)在(，2)上单调递增； (2) 若 a0 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围(1) 证明：任设 x1x22，则 f(x1)f(x2).x1x12x2x222（
16、x1x2）（x12）（x22） (x12)(x22)0，x1x20， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， f(x)在(，2)上单调递增(2) 解：任设 1x1x2，则 f(x1)f(x2).x1x1ax2x2aa（x2x1）（x1a）（x2a） a0，x2x10，要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 在(1，)上恒成 立， a1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1 13. 已知函数 f(x)对任意的 m，nR，都有 f(mn)f(m)f(n)1，并且当 x0 时， 恒有 f(x)1. (1) 求证：f(x)在 R 上是增函数； (2) 若 f(3)4，解不
17、等式 f(a2a5)0 时，f(x)1，y1，且 2logxy2logyx30，求 Tx24y2的最小值解：因为 x1，y1，所以 logxy0.令 tlogxy，则 logyx .所以原式可化为1t2t 30，解得 t 或 t2(舍去)，即 logxy ，所以 y，所以2t1212x Tx24y2x24x(x2)24.由于 x1，所以当 x2，y时，T 取最小值，最小值2为4.13. 设 logaC，logbC 是方程 x23x10 的两根，求 log C 的值ab解：依题意，得logaClogbC3， logaC logbC1，)从而即1logCa1logCb3， 1logCa1logCb
18、1.)logCalogCb3， logCa logCb1.) 所以(logCalogCb)2(logCalogCb)24logCalogCb3245，所以 logCalogCb.又 log C，所以 log C 的值为.5ab1logCab1logCalogCb55ab55 点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算 能力、应用能力的综合考查如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立 联系是解决本题的关键第 6 课时 指 数 函 数 一、 填空题1. 函数 y的定义域是_1（12）x答案：0，)解析：由函数 y可得，10，即，解得 x0，故函数 y1(
19、12)x(12)x(12)x(12)0的定义域是0，)1(12)x2. 函数 yax21(a0，a1)，不论 a 为何值时，其图象恒过的定点为_ 答案：(2，2) 解析：令 x2，得 ya012，所以函数 y1ax2的图象恒过的定点坐标是 (2，2)3. 函数 y( )x21 的值域是_13 答案：(0，3解析：令 tx21，t1，)，即 y.函数 y在区间1，)上是减(13)t(13)t函数，故 y3，故函数 y的值域是(0，3(13)1(13)x214. 函数 y( )的单调递增区间是_12x2x2答案：12，2解析：令 t，x2x2（x2）（x1）(x12)294 y，0t .又1x2，
20、故 t 的单调递减区间为， 函数 y 的单调递(12)t3212，2增区间为.12，2 5. 要使 g(x)3x1t 的图象不经过第二象限，则实数 t 的取值范围是_ 答案：(，3 解析：要使 g(x)3x1t 的图象不经过第二象限，只要 g(0)31t0，即 t3. 6. 若方程|3x1|k 有两个不同的解，则实数 k 的取值范围是_ 答案：(0，1) 解析：作函数 y|3x1|的图象如图所示，结合图象可知，实数 k 的取值范围是(0，1)7. 若关于 x 的方程( )x有负根，则实数 a 的取值范围是_343a25a答案：(34，5)解析：函数 y的定义域为 R，由于方程有负根，所以应有1
21、，(34)x(34)x3a25a3a25a解得 a5.34 8. 已知函数 ya2x2ax1(a0 且 a1)在区间1，1上的最大值是 14，则 a_答案：3 或13 解析：设 tax，t(0，)，则 yt22t1(t1)22f(t)，对称轴为 t1.当 0a1 时， 1x1， at ，此时，y 关于 t 单调递增， ymaxf1a(1a) 114，即 150， a 或 a (舍去)；1a22a1a22a1315当 a1 时， 1x1， ta，此时，y 关于 t 单调递增， ymaxf(a)1a a22a114，即 a22a150， a3 或 a5(舍去)综上，a3 或 a .13 9. 设函
22、数 f(x)2x，对于任意的 x1，x2(x1x2)，有下列命题： f(x1x2)f(x1)f(x2)； f(x1x2)f(x1)f(x2)； 0；f（x1）f（x2）x1x2 f()； x1x22f（x1）f（x2）2 曲线 g(x)x2与曲线 f(x)2x有三个公共点 其中正确的命题是_(填序号)答案： 解析：函数 f(x)2x，对于任意的 x1，x2(x1x2)， f(x1x2)2x1x22x12x2f(x1)f(x2)，所以正确； f(x1x2)2x1x2，f(x1)f(x2)2x12x2，显然不正确； 因为函数 f(x)2x是单调递增函数，满足0，所以正确；f（x1）f（x2）x1x
23、2 因为函数 f(x)2x是凹函数，所以 f，所以正确；(x1x22)f（x1）f（x2）2 曲线 g(x)x2与曲线 f(x)2x的图象如图所示，可知当 x0 时，有 x2 和 x4 两个交点；当 x0 时，有一个交点，所以两个函数有三个公共点，所以正确二、 解答题 10. 求函数 y3x22x3 的定义域、值域和单调区间 解：根据题意，函数的定义域显然为(，) 令 uf(x)32xx24(x1)24， y3u是 u 的增函数 当 x1 时，umaxf(1)4， u(，4， 03u34，即值域为(0，81 当 x1 时，uf(x)为增函数，y3u是 u 的增函数， y 是 x 的增函数， 即
24、原函数的单调增区间为(，1 当 x1 时，uf(x)为减函数，y3u是 u 的增函数， y 是 x 的减函数， 即原函数的单调减区间为(1，) 11. 已知函数 yax(a0 且 a1)在1，2上的最大值与最小值之和为 20，记 f(x).axax2 (1) 求 a 的值； (2) 求证：f(x)f(1x)1；(3) 求 f()f()f()f()的值12 01922 01932 0192 0182 019 (1) 解：由题意知，函数 yax(a0 且 a1)在1，2上的最大值与最小值之和为 20， 而函数 yax(a0 且 a1)在1，2上单调递增或单调递减， aa220，得 a4 或 a5(
25、舍去)， a4.(2) 证明： f(x)，4x4x2 f(x)f(1x)4x4x241x41x24x4x244x44x24x4x242 4x44x4x21.24x2 (3) 解：由(2)知，ff1，ff1，ff1，(12 019)(2 0182 019)(22 019)(2 0172 019)(1 0092 019)(1 0102 019) ffff(12 019)(22 019)(32 019)(2 0182 019)fff(12 019)f(2 0182 019) f(22 019)f(2 0172 019)(1 0092 019)(1 0102 019) 11111 009.12. 已知
26、函数 f(x)3x.13|x|(1) 若 f(x)0，求 x 的取值范围； (2) 若当 t1，3时，不等式 3tf(2t)mf(t)0 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1) 当 x0 时，f(x)3x3x0 恒成立；当 x0 时，f(x)3x0，解得 x0.13x 综上所述，x 的取值范围是x|x0(2) t1，3， f(t)3t 0.13t 3tf(2t)mf(t)0 恒成立可化为3tm0 恒成立，(32t132t)(3t13t)即 3tm0，即 m32t1 恒成立(3t13t) 令 g(t)32t1，则 g(t)在1，3上单调递减， g(x)maxg(1)10. 实数 m 的取值范
27、围是10，) 13. 已知函数 f(x)2x(xR)，且 f(x)g(x)h(x)，其中 g(x)为奇函数，h(x)为偶函 数 (1) 求 g(x)，h(x)的解析式； (2) 若不等式 2ag(x)h(2x)0 对任意 x1，2恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1) 由f（x）g（x）h（x）2x， f（x）g（x）h（x）2x，)得g（x）h（x）2x， g（x）h（x）2x，)所以 g(x) (2x2x)，h(x) (2x2x)1212(2) 由 2ag(x)h(2x)0，得 a(2x2x) (22x22x)0 对任意 x1，2恒成立令12t2x2x.由于 t 在 x1，2上单调递增，
28、所以 t2x2x.因为32，15422x22x(2x2x)22t22，所以 a在 t上恒成立设t222t12(t2t)32，154(t)，t，由 (t)0，知 (t)在 t上为单调12(t2t)32，15412(12t2)2t22t232，154减函数，所以 (t)max，所以 a，所以实数 a 的取值范围是.第(32)171217121712，) 7 课时 对 数 函 数 一、 填空题 1. 在下列四个图象中，能够表示函数 yax与 ylogax(a0，a1)在同一坐标系中 的图象的是_(填序号)答案：解析：将 ylogax(a0，a1)首先改为 ylog x(a0，a1)，结合函数的定义域
29、1a首先排除；当 a1 时，0 1，函数 yax单调递增，ylog x 单调递减，中图象正1a1a确，中图象错误；当 0a1 时， 1，函数 yax单调递减，ylog x 单调递增，中1a1a 图象错误 2. 函数 f(x)的定义域为_12log6x答案：(0，6解析：由 12log6x0，得 log6x ，即 0x，故所求的定义域为(0，1266 3. 函数 f(x)log2(x22)的值域为_2答案：(，32解析：由x222，得 f(x)log22 ，故函数 f(x)的值域为.22232(，324. 函数 f(x)log (x22x3)的单调递减区间是_12 答案：(3，) 解析：要使函数
30、有意义，则 x22x30，解得 x1 或 x3.设 tx22x3，则函数 tx22x3 在(，1上单调递减，在1，)上单调递增因为函数 log t 在定12 义域上为减函数，所以由复合函数的单调性可知，此函数的单调递减区间是(3，) 5. 已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图所示，则 a，c 的 取值范围分别是_答案：a|01 时两函数图象有两个交点，01.6. 函数 f(x)(x3)31 的图象的对称中心是_ 答案：(3，1) 解析：易知函数 g(x)x3为奇函数，即函数关于原点对称，f(x)g(x3)1 ，即将 g(x)的图象向右平移 3 个单位长度，
31、再向上平移 1 个单位长度得到 f(x)所以函数 f(x) (x3)31 的图象的对称中心是(3，1) 7. 已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是_答案：(12，1) 解析：先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为 ，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，12k 的取值范围是.(12，1)8. 设函数 f(x)若 f(f(a)2，则实数 a 的取值范围是x2x，x 0 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围 解：(
32、1) 令 F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出 F(x)的图象如图所示从图象看出，当 m0 或 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，即原方程 有一个解； 当 0m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个解(2) 令 f(x)t(t0)，H(t)t2t，因为 H(t) 在区间(0，)上是增函数，(t12)214 所以 H(t)H(0)0.因此要使 t2tm 在区间(0，)上恒成立，应有 m0，即所求 m 的取值范围是(，0 第 10 课时 函数与方程 一、 填空题 1. 方程 2xx2 的解所在的区间是_(填序号) (0，1)； (1，2
33、)； (2，3)； (3，4) 答案： 解析：令 f(x)2xx2，由 f(0)1，f(1)2121 知，f(0)f(1)0，故正确； 由 f(2)4224，f(1)2121 知，f(2)f(1)0，故不正确；由 f(2) 4224，f(3)8329 知，f(2)f(3)0，故不正确；由 f(4) 164218，f(3)8329 知，f(4)f(3)0，故不正确2. 若 f(x)则函数 g(x)f(x)x 的零点为x2x1，x 2或x 1， 1，1x2，)_ 答案：1，12解析：求解函数 g(x)f(x)x 的零点，即求 f(x)x 的根，由或x 2或x 1， x2x1x)解得 x1或 x1.
34、 g(x)的零点为 1，1.1x2， 1x，)223. 函数 f(x)2xx32 在区间(0，1)上的零点个数是_ 答案：1 解析：函数 f(x)2xx32 在区间(0，1)内的零点个数即为函数 y2x和 y2x3在 区间(0，1)内的图象的交点个数，作出图象即可知两个函数图象在区间(0，1)内有 1 个交点， 故原函数在区间(0，1)内的零点个数是 1. 4. 已知函数 yln x62x 的零点一定位于区间(k，k1)(kZ)上，则 k_ 答案：2 解析：令函数 yf(x)ln x62x，则函数在(0，)上是增函数 f(2)ln 220, f(3)ln 30， f(2)f(3)0, 函数 y
35、ln x62x 的零点一定位于区间(2，3) 上，故 k2. 5. 已知 0a1，则函数 f(x)ax|logax|的零点个数为_ 答案：2 解析：函数 f(x)ax|logax|的零点个数等于函数 yax和函数 y|logax|的图象的交点 个数，如图所示：数形结合可得，函数 yax和函数 y|logax|的图象的交点个数为 2，故 0a1 时， 函数 f(x)ax|logax|的零点个数为 2.6. 定义在 R 上的函数 f(x)若关于 x 的方程 f(x)c(c 为常数)恰有三lg|x|，x 0， 1，x0.)个不同的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3_ 答案：0 解析：函数 f
36、(x)的图象如图，方程 f(x)c 有三个根，即 yf(x)与 yc 的图象有三个 交点，易知 c1，且一根为 0.由 lg|x|1 知另两根为10 和 10， x1x2x30.7. 若偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)且 x0，1时，f(x)x，则方程 f(x)log3|x|的根的 个数是_ 答案：4 解析：由题意可得 f(x)的图象如图中的折线，结合函数 ylog3|x|的图象，可得 4 个交 点8. 已知函数 f(x)则关于 x 的方程 f(x24x)6 的不同实根x22x，x 0， ln（1x）4，x 0，) 的个数为_ 答案：4 解析：函数 f(x)的图象如图所示，令 tx24
37、x(x2)24 ，由图象可知，当 4t0 时， f(t)6 无解，当 t0 时， f(t)6 有 2 个解，对应 tx24x，各有 2 个 解，故关于 x 的方程 f(x24x)6 的不同实根的个数为 4.9. 设函数 f(x)的定义域为 R，f(x)且对任意的 xR 都有x，0 x 1，（12）x1，1 x0，) f(x1)f(x1)若在区间1，3上，函数 g(x)f(x)mxm 恰有四个不同的零点，则 实数 m 的取值范围是_答案：(14，12)解析：由题意，f(x2)f(1x)1f(1x)1f(x)，所以 f(x)的周期是 2.令 h(x)mxm，则函数 h(x)恒过点(1，0)，函数
38、f(x)在区间1，3x，0 x 1，(12)x1，1 x0)上的图象如图所示：由 x3 时，f(3)1，可得 13mm，则 m ；由 x1 时，f(1)1，可得141mm，则 m ，所以在区间1，3上函数 g(x)f(x)mxm 恰有四个不同零点时，12实数 m 的取值范围是.(14，12) 二、 解答题 10. 若二次函数 yx2mx1 的图象与两端点为 A(0，3)，B(3，0)的线段 AB 有两 个不同的交点，求 m 的取值范围解：线段 AB 的方程为 xy3(0x3)，由题意得方程组 xy3（0 x 3） yx2mx1)Error!有两组实解，将代入，得 x2(m1)x40(0x3)有
39、两个实根令 f(x) x2(m1)x4，在 x0，3上有两个实根，则解得 3m，故 m 的取值范围是.（m1）2160，0m123，f（0）40， f（3）93（m1）4 0，)103(3，103 11. 已知关于 x 的二次函数 f(x)x2(2t1)x12t. (1) 求证：对于任意 tR，方程 f(x)1 必有实数根；(2) 若 t ，求证：方程 f(x)0 在区间(1，0)及(0， )内各有一个实数根123412 证明：(1) 由 f(1)1 知 f(x)1 必有实数根(2) 当 t 时，因为 f(1)34t40，f(0)12t20，f 1234(34t)(12t)(12)14(2t1
40、)12t t0，所以方程 f(x)0 在区间(1，0)及内各有一个实数根1234(0，12) 12. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x. (1) 求 f(0)及 f(f(1) )的值； (2) 求函数 f(x)在(，0)上的解析式； (3) 若关于 x 的方程 f(x)m0 有四个不同的实数解，求实数 m 的取值范围 解：(1) 根据题意，当 x0 时，f(x)x22x； 则 f(0)0，f(1)121. 又由函数 f(x)为偶函数，则 f(1)f(1)1， 则 f(f(1) )f(1)1. (2) 设 x0，则x0，则有 f(x)(x)22(x)x
41、22x， 又由函数 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)x22x，故当 x0 时，f(x)x22x. (3) 若方程 f(x)m0 有四个不同的实数解，则函数 yf(x)与直线 ym 有 4 个交点，而 yf(x)的图象如图：分析可得1m0，故 m 的取值范围是(1，0) 13. 对于函数 f(x)与 g(x)，若存在 x1xR|f(x)0，x2xR|g(x)0，使得 |x1x2|1，则称函数 f(x)与 g(x)互为“零点密切函数” 已知 f(x)4x2x24，g(x)f(x) f(x)3a2. (1) 求函数 f(x)的零点； (2) 若函数 f(x)与 g(x)互为“零点密切函数” ，求实数 a 的取值范围 解：(1) 由 f(x)0，得 4x2x240， (2x)242x40， (2x2)20， 2x2， x1， 函数 f(x)的零点为 1. (2)