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1、第三章第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形三角函数、三角恒等变换及解三角形第第 1 课时课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数一、 填空题1. 下列命题： 第二象限角为钝角； 锐角是第一象限角； 若 是第二象 限角，则 180是第四象限角； 角 与 终边在一条直线上其中正确的 是_(填序号)答案：解析：不正确；正确；将角 终 边绕原点逆时针方向旋转 180可得 180 ，由此可知也正确2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 角 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为 ，则 cos _45答案：35解析：因为点 A 的纵坐标 yA ，且45点 A 在
2、第二象限又圆 O 为单位圆，所以点 A 的横坐标 xA .由三角函数的定义35可得 cos .353. 若 是第三象限角，则 y|sin2|sin2的值为_|cos 2|cos2答案：0解析：由于 是第三象限角， 是2第二象限角或第四象限角，当 是第二象限2角时，y110；当 是sin2sin2cos2cos22第四象限角时，y110.sin2sin2cos2cos24. 设 是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且 cos x，则 tan 15_ 答案：43解析：因为 是第二象限角，所以 cos x0，即 x0.又 cos ，15xx216所以 x，解得 x3，所以 tan 15xx2
3、16 .4x435. 函数 y的定义域为2sin x1_答案：(kZ)2k6，2k56解析： 2sin x10， sin x .由三角函数线画出 x 满足12条件的终边范围(如图阴影部分所示) x(kZ)2k6，2k566. 若角 的终边经过点 P( ， )，3545则 sintan 的值是_答案：1615解析： OP r1， 点 P 在单位圆上，(35)2(45)2sin ，tan ，得4543sintan.(45) (43)16157. 点 P 从(1，0)出发，沿单位圆x2y21 按逆时针方向运动弧长到达23 点 Q，则点 Q 的坐标为_答案：( ，)1232解析：由弧长公式l|r，l，
4、r1 得点 P 按逆时针方向23转过的角度为 ，所以点 Q 的坐标为23，即( ，)(cos23，sin23)12328. 已知角 的终边经过点 P(4a，3a) (a0)，则 25sin7tan2 的值为 _答案：39解析： 角 的终边经过点 P(4a，3a) (a0)， x4a，y3a，r5a， sin（4a）2（3a）23a5a，tan ， tan2353a4a342tan1tan2a， 25sin7tan2252 341(34)2247739.(35)2479. 已知扇形的面积为 2，扇形的圆3心角的弧度数是，则扇形的周长为3_答案：423解析：设扇形的弧长为 l，半径为 R，由题意可
5、得 lR2， ，解得 l2123lR3，R2，则扇形的周长为 l2R423.310. 已知角 x 的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角 x 的最小正值为5656_答案：53解析： sin ，cos 5612， 角 x 的终边经过点( ，)，56321232角 x 是第四象限角，tan x， 32123x2k，kZ， 角 x 的最小正值53为.(也可用同角基本关系式 tan x53得出)sin xcos x11. 已知 x，y 为非零实数，(， 4)，且同时满足： ， 2ysinxcos，则 cos 的值等于10x2y23xy_答案：1010解析：由，得ysinxcostan，又，即yx
6、sincos10x2y23xy3x23y210xy，所以 ，则xyyx103tan，即1tan1033tan210tan30，解得 tan3 或tan .又 ，所以 tan1，所13(4，2)以 tan3，所以 cos.1010二、 解答题12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作角 和 ，(0，)， 2(，)，其终边分别交单位圆于 2A，B 两点若 A，B 两点的横坐标分别是，.35210(1) 求 tan，tan 的值；(2) 求AOB 的值解：(1) A，B 两点分别是角 ， 的终边与单位圆的交点， A，B 两点的坐标 A(cos，sin)，B(cos，sin) A
7、，B 两点的横坐标分别是 ，35，且 ，210(0，2)(2，) cos ，cos，解得35210sin ，sin，457 210 tan ，tan7.43(2) tanAOBtan()1，tantan1tantan7431（7） 43又 0 ， ， 220， ，即AOB .4413. 已知扇形的圆心角为 ，所在圆的 半径为 r.(1) 若 120，r6，求扇形的弧长；(2) 若扇形的周长为 24，当 为多少 弧度时，该扇形面积 S 最大？并求出最大 面积解：(1) 120120，r6， 18023lr64.23(2) 设扇形的弧长为 l，则 l2r24， 即 l242r(0r12)，扇形的面
8、积S lr (242r)rr212r(r6)1212236，当且仅当 r6 时，S 有最大值36，此时 l242612， 2.lr126第第 2 课时课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、 填空题1. 若角 的终边落在直线 ykx(k0) 上，则_sin1sin21cos2cos答案：0解析：原式，由题意知sin|cos|sin|cos角 的终边在第二、四象限，sin 与cos 的符号相反， 原式0.2. 若 (，)，sin ， 2 235则 cos()的值为_答案：45解析：因为 ，sin (2，2) ，所以 cos ，即 cos() .3545453
9、. 已知 sin2cos0，则2sincoscos2 的值是_答案：1解析：由已知可得 sin2cos， 即 tan2，2sincoscos21.2sincoscos2sin2cos22tan1tan2141414. 已知 sin ，(，)，13 2 2则 sin()sin()的值为_32答案：2 29解析： ， cos(2，2)， sin()sin1sin21192 23sincos .(32)132 232 295. 已知 tan2，则_sin（2）cos（）sin（2）sin（）答案：2解析：sin(2)cos（）sin(2)sin（）cos（cos）cossin2coscossin21
10、tan2.2126. 已知 是第三象限角，且 sin 2cos ，则 sin cos 25_答案：3125解析：由 sin 2cos ，sin2cos21， 是第三象25限角，得 sin ，cos ，则2425725sin cos .31257. 已知 sin()log8，且 (14，0)，则 tan(2)的值为_ 2答案：2 55解析：sin()sin log8 .1423又 ，得 cos (2，0)，tan(2)tan()1sin253tan .sin cos 2 558. 已知 sin 2cos ，则sin2sin cos 2cos2_答案：45解析：由 sin 2cos ，得 tan
11、2.sin2sin cos 2cos2sin2sin cos 2cos2sin2cos2tan2tan 2tan21 .2222221459. 已知 sincos ，且18，则 cossin 的值是 4 2_答案：32解析：12sincos(cossin)2 ，34 ，则 cossin.42 cossin.3210. 已知 cos()，则 633cos()sin2()_56 6答案：2 33解析：由题意可知cossin2( )coscos2(56)6(6)1 .(6)3323二、 解答题11. (1) 化简：(kZ)；sin（k）cos（k1）sin（k1）cos（k）(2) 已知 是第三象限
12、角，且 f().tan（）cos（2）sin（32）cos（）tan（） 化简 f()； 若 cos() ，求 f()的值3215解：(1) 当 k2n(nZ)时，原式sin（2n）cos（2n1）sin（2n1）cos（2n）sin（）cos（）sin（）cos1；sin（cos）sincos当 k2n1(nZ)时，原式sin（2n1）cos（2n11）sin（2n11）cos（2n1）1.sin（）cossincos（）sincossin（cos）综上，原式1.(2) f()tan（）cos（2）sin(32)cos（）tan（）cos.tancos（cos）cos（tan） cos ，
13、(32)15sin ， sin .1515又 是第三象限角， cos.2 65 f()cos.2 6512. 已知 tan2.(1) 求 tan()的值； 4(2) 求的值sin2sin2sincoscos21解：(1) tan(4)tantan41tantan43.tan11tan2112(2) sin2sin2sincoscos212sincossin2sincos（2cos21）12sincossin2sincos2cos22tantan2tan21.2 2222213. (1) 若 sinxcosx ，求65的值；sin2x 1sinxcosx(2) 求函数 y(sinx1)(cosx
14、1)(xR)的最大值，并求 y 取得最大值时的 x 值的集合解：(1) 由 sinxcosx 及65sin2xcos2x1，得到 2sinxcosx(sinxcosx)21，1125 sin2x1sinxcosx2sinxcosx1sinxcosx .112516515(2) 令 tsinxcosx，xR，则 tsin，2(x4)22sinxcosx，t212 y(sinx1)(cosx1)sinxcosx(sinxcosx)1t1.t212（t1）22 t，22 当 t时，y 取得最大值，最大2值为 ，322此时sin，即2(x4)2sin1，(x4) x 2k ，kZ， 42x2k ，kZ
15、.4 x 值的集合为.x|x2k4，k Z)第第 3 课时课时 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质一、 填空题1. 函数 y的定义域为sinxcosx_答案：x|2k4 x )2k54，k Z解析：要使函数有意义，必须使 sinxcosx0.(解法 1)利用图象，在同一坐标系中画 出0，2上 ysinx 和 ycosx 的图象， 如图所示在0，2内，满足 sinxcosx的 x 的值为 ， ，再结合正弦、余弦函数454的周期是 2，所以原函数的定义域为x2k，kZ|2k4 x )54(解法 2)sinxcosxsin0，2(x4)将 x 视为一个整体，由正弦函数 ysinx4的图象和性质
16、可知2kx 2k，kZ，解得42k x2k，kZ.所以定义域454为.x|2k4 x )2k54，k Z2. 设点 P 是函数 f(x)sinx(0)图 象 C 上的一个对称中心，若点 P 到图象 C的对称轴的距离的最小值是，则 f(x)的最 4小正周期是_答案：解析：由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的 ，14故 f(x)的最小正周期为 T4 .43. 函数 f(x)sin(2x)(|)向左 2平移个单位长度后是奇函数，则函数 f(x) 6在0，上的最小值为_ 2答案：32解析：函数 f(x)sin(2x)向(|2)左平移 个单位长度后得到函数6fsin2(x6)(
17、x6)sin， 此时函数为奇函数，(2x3) k(kZ)， k 33(kZ) | ， 当 k0 时，2， f(x)sin.当 0x 时，3(2x3)2 2x ，即当 2x 时，函332333数 f(x)sin有最小值为(2x3)sin.(3)324. 函数 ycos2x2sin x 的最大值与 最小值分别是_答案：2，2解析：ycos2x2sin x1sin2x2sin x(sin x1)22.由 1sin x1 知，当 sin x1 时，y 取 最大值 2；当 sin x1 时，y 取最小值2.5. 已知函数 f(x)3sin(x)(0) 6和 g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相
18、同，若 x0，则 f(x)的取值范围 2是_答案：32，3解析：由两三角函数图象的对称中心 完全相同，可知两函数的周期相同，故2， f(x)3sin，那么当 x(2x6)时， 2x ， sin0，26656121，故 f(x).(2x6)32，36. 已知函数 f(x)2sin(x)，若 2 5对任意的实数 x，总有 f(x1)f(x)f(x2)， 则|x1x2|的最小值是_答案：2解析：由 f(x1)f(x)f(x2)可知，x1为 函数 f(x)最小值点，x2为函数 f(x)最大值点，函数 f(x)的最小正周期为 T4， 22|x1x2|的最小值为 2.T27. 函数 f(x)Asin(x)
19、 (A0，0，|)的部分图象如图 所示，则函数 f(x)的解析式为 _答案：f(x)sin2(2x3)解析：由图可知 A，2(解法 1) ， T，故T4712342，因此 f(x)sin(2x)，又对2(3，0)应五点法作图中的第三个点，因此2 ， ，故 f(x)sin332.(2x3)(解法 2)以为第二个“零点” ，(3，0)为最小值点，列方程组(712， 2)解得故 f(x)sin3，71232，)2，3.)2.(2x3)8. 若 f(x)2sin x(00，0)的部分图象与 y 轴交于 2点(0，)，最小正周期是 .3(1) 求 ， 的值；(2) 已知点 A(，0)，点 P 是该函数
20、2图象上一点，点 Q(x0，y0)是 PA 的中点，当 y0，x0，时，求 x0的值32 2解：(1) 将点(0，)代入3y2cos(x)，得 cos .32 0 ， .26 最小正周期 T，且 0， 2.2T(2) 由(1)知 y2cos.(2x6) A，Q(x0，y0)是 PA 的中点，(2，0)y0，32 P.(2x02， 3) 点 P 在 y2cos的图象上，(2x6) 2cos，(4x06)3 cos.(4x056)32 x0，2， 4x0，5676，196 4x0或 4x0，5611656136 x0或 x0.2334第第 4 课时课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的
21、正弦、余弦和正切公式一、 填空题1. 计算：_cos85sin25cos30 cos25答案：12解析：cos85sin25cos30cos25cos（6025）sin25cos30cos25 .12cos2532sin2532sin25cos25122. 计算：cos 42cos 18cos 48sin 18_答案：12解析：原式sin 48cos 18cos 48sin 18sin(4818)sin 30 .123. 已知 sin，sin()55， 均为锐角，则角 等于1010_答案：4解析： ， 均为锐角， .又 sin()， 221010cos().又 sin， cos3 101055
22、， sinsin()2 55sincos()cossin()55()， .3 10102 5510102244. 在ABC 中， tanAtanBtanAtanB，则33C_答案：3解析：由已知得 tanAtanB(tanAtanB1)， 3tan(AB).又tanAtanB1tanAtanB30AB， AB ， C .2335. 已知 ，(，)，若 sin( 356) ，cos()，则 sin() 64556513_答案：1665解析：由题意可得 ，6(2，)，所以56(2，0)cos ，sin()，所以(6)35561213sin()sin( )() 65645.513(35) (1213
23、)16656. 已知 ， 均为锐角，且 tan，则 _cossin cossin答案：4解析： tan， cossincossintantan. ， 均为1tan1tan(4)锐角， ，即 .447. 已知 tan() ，tan()25 4 ，则的值为_14cossincossin答案：322解析：因为cossincossin1tan1tantan，tan4tan1tan4tan(4)且 tantan(4)（）(4)，将 tan() ，tan（）tan(4)1tan（）tan(4)25tan 代入可得(4)14cossincossin.2514125143228. 若 tan3，(0，)，则
24、2cos()_ 4答案：2 55解析： sin2cos21， tan21， cos2. 1cos21tan21，tan3， cos2(0，2)1321，解得 cos，于是 sin1101010， cos1cos21（1010）23 1010(cossin).(4)222 559. 若 tan3tan(0)， 2则 的最大值为_答案：6解析： tan3tan， tan0，(0 2) tan().tantan1tantan2tan13tan221tan3tan tan0， 3tan21tan2.1tan 3tan3 0tan().又 ytanx 在33上单调递增，当且仅当 3tan21，(0，2)
25、即 tan时取等号，此时33 ，tan3tan，即 tan，此63时 ，则 的最大值为 .336610. 设直线 2xy40 的倾斜角为，则 tan()的值为_ 4答案：3解析：由题得 tan2，所以 tan3.(4)tan11tan2112二、 解答题11. 在ABC 中，已知 sin(AB) 2sin(AB)(1) 若 B，求角 A 的大小； 6(2) 若 tan A2，求 tan B 的值解：(1) 由条件，得sin2sin(A )，(A6)6 sin A cos A2(sin A cos 32123212A)化简，得 sin Acos A， tan A3.3又 A(0，)， A .3(
26、2) sin(AB)2sin(AB)， sin Acos Bcos Asin B2(sin Acos Bcos Asin B)化简，得 3cos Asin Bsin Acos B.又 cos Acos B0， tan A3tan B.又 tan A2， tan B .2312. 已知 (，)，且 sin cos 22.262(1) 求 cos 的值；(2) 若 sin() ，(，)，35 2求 cos 的值解：(1) 已知 sin cos ，两边同2262时平方，得 12sin cos ，则 sin .223212又 ，所以 cos 2.1sin232(2) 因为 ， ，所以22 .22又 s
27、in() ，所以 cos() .3545则 cos cos ()cos cos()sin sin() .324512(35)4 331013. 已知函数 f(x)2cos2sinx1(0)在一个周期x23内的图象如图所示，A 为图象的最高点， B，C 为图象与 x 轴的交点，且ABC 为 等腰直角三角形(1) 求 f(x)的解析式；(2) 将函数 yf(x)的图象向右平移 2 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数12yg(x)的图象，求 g(x)在1，2上的值域；(3) 若 f(x0) ，且 x0( ，)，求6543103f(x01)的值解：(1) f(x
28、)2cos2sinx1x23sinxcosx2sin(0)，3(x6)由题设得 BC4， f(x)的周期为8， ，284 f(x)2sin.(4x6)(2) 由题设得 g(x)f(2x2)2sin (2x2) 2sin，46(2x3)x1，2时， x ，62323 sin1，12sin2，12(2x3)(2x3) g(x)在1，2上的值域为1，2(3) f(x0) ， sin .65(4x06)35 x0， x0 ，(43，103)246 cos ，(4x06)45 f(x01)2sin4（x01）62sin(4x06)42sin(4x06)cos(4x06).25第第 5 课时课时 二倍角的
29、正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式一、 填空题1. 已知 sin ，且 是第三象限35角，则 tan2 的值为_答案：247解析：由题意得，根据三角函数的平方关系 cos ，所以1sin245tan ，tan2.sincos342tan1tan22472. 已知 sin2 ，则 cos2()13 4_答案：23解析：cos2(4)1cos(22)2 .1sin221132233. 若，则 sin cos 2sin（74）22cos _ 答案：12解析：由已知得cos2sin222（sin cos ），整理得 sin cos .22124. 已知 sin(45)，且 021090，
30、则 cos 2 的值为_答案：725解析：由 sin (45)，展开得210sin cos .又 sin2cos21，15得 sin ，cos ，则 cos 35452cos2sin2.7255. 已知 sincos ，则13sin2()_ 4答案：1718解析：由 sincos 两边平方得131sin2 ，解得 sin2 ， sin21989(4)1cos(22)21sin221892.17186. 若 sin() ，则 cos(2) 61323_答案：79解析：(解法 1)coscos(232)coscos233(32)(32) .2(6)12sin2(6)79(解法 2) ， sin(3
31、) (6)2sincos，(6)2(3)(3) cos ，则(3)13cos2cos21 .(232)(3)797. 设 为锐角，若 cos() ， 645则 sin(2)的值为_ 12答案：17 250解析： 为锐角且 cos ，(6)45 sin . sinsin2(6)35(212) sin2cos cos2(6)4(6)4(6)sin sincos2cos2( )42(6)(6)2261 23545222 (45)2112 225.7 25017 2508. 若 (0，)，cos() 2 42cos2，则 sin2_2答案：1516解析：cos2cos22sin(4)224sincos
32、，即 cos(22)2(4)(4)4sincos.又(4)2(4)(4)， ，所以(0，2)444cos0，于是 4sin1，sin(4)2(4)，所以(4)28sin2cos12sin2.(22)(4)15169. 若 tan22，22，2则_2cos22sin12sin（4）答案：322解析：原式，cossinsincos1tan1tan又 tan22，即2tan1tan22tan2tan0，解得 tan22或 tan. 22， 122.2 tan，故原式1232.112112210. 已知 (0，)，且 sin() 2 4，则 tan 2_210答案：247解析：由 sin，得 sin
33、(4)210cos ， ，平方得15(0，2)2sin cos ，可求得 sin cos 2425， sin ，cos ， tan 754535 ，tan 2.432tan 1tan 224711. 计算：sin2sin2cos2cos2 cos2cos212_ 答案：12解析：(解法 1：从“角”入手，复角 化单角)原式sin2sin2cos2cos2 (2cos2121)(2cos21)sin2sin2cos2cos2 (4cos2cos1222cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos2 1 .12
34、1212(解法 2：从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos2 cos2cos212cos2sin2(cos2sin2) cos2cos212cos2cos2(sin212cos2) cos2 .1cos221212(解法 3：从“幂”入手，利用降幂公 式先降次)原式1cos221cos221cos22 cos2cos21cos2212 (1cos2cos2cos2cos2)14 (1cos2cos2cos2cos2)14cos2cos2 .12141412(解法 4：从“形”入手，利用配方法， 先对二次项配方)原式(sinsincoscos)22sinsincosc
35、os cos2cos212cos2() sin2sin2 cos2cos21212cos2() cos(22)12cos2() 2cos2()1 .1212二、 解答题12. 已知函数 f(x)sin(2x) 3sin(2x)2cos2x1，xR. 3(1) 求函数 f(x)的最小正周期；(2) 求函数 f(x)在区间，上的 4 4最大值和最小值解：(1) f(x)sin 2xcos cos 32xsin sin 2xcos cos 2xsin cos 3332xsin 2xcos 2xsin，2(2x4) 函数 f(x)的最小正周期 T.22(2) 函数 f(x)在区间上是增4，8函数，在区
36、间上是减函数，8，4又 f1，f，f1，(4)(8)2(4) 函数 f(x)在上的最大值为，4，42最小值为1.13. 在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的 正半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为P，Q.已知点 P 的横坐标为，点 Q 的纵2 77坐标为.3 314(1) 求 cos2 的值；(2) 求 2 的值解：(1) 点 P 的横坐标为，P 在2 77单位圆上， 为锐角， cos，2 77 cos22cos21 .17(3) 点 Q 的纵坐标为，3 314 sin.3 314 为锐角， cos.1314 cos，且 为锐角， 2 77sin，21
37、7 sin22sincos，4 37 sin(2) .4 371314173 31432 为锐角， 02.又 cos20， 02 .2又 为锐角， 2 ，22 2 .3第第 6 课时课时 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换一、 填空题1. 已知 cos4sin4 ，则 cos 234_答案：19解析： cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2 ， cos 2342cos22121 .(23)2192. 已知 asin15cos15，bcos2sin2，c，则 6 6tan301tan230a，b，c 的大小关系是_答案：abc解析：asin15cos15 sin3012，bcos2sin2cos ，c1466312 tan60，由 ，tan301tan2301232141232可知 abc.3. 若 ，则coscos（60）35tan(30)_答案：4