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1、第五章 数列第 1 课时 数列的概念及其简单表示法（对应学生用书（文）、（理）8384 页）理解数列的概念，认识数列是反映自然规律 的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简 单表示法（列表、图象、通项公式）；了解 数列是一种特殊的函数；发现数列规律，写 出其通项公式.1 了解数列的概念和几种简单的表示方法 （列表、图象、通项公式）.2 了解数列是自变量为正整数的一类函数. 会利用数列的前 n 项和求通项公式.1. 下面结论正确的是 .（填序号） 0，0，0，0，不能构成一个数列； 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列； 所有数列的第 n 项都能使用公式表达； 根据数列的前几项归纳出的数列的通项
2、公式可能不止一个； 如果数列an的前 n 项和为 Sn，那么对nN*，都有 an1Sn1Sn.答案：解析：0，0，0，0，能构成一个数列，所以不正确；有的数列既不是递增数列，也 不是递减数列，如数列（1）n，所以不正确；有的数列不能用公式表示，所以不正 确；正确；正确.2. （必修 5P34习题 2 改编）数列 ，的一个通项公式是 .234156358631099答案：an（1）n12n（2n1）（2n1）解析：这个数列的奇数项为正，偶数项为负，故通项公式必含有因式（1）n1，观察 各项，易知它是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 13，35，57，79，911，每一项都是两个相
3、邻奇数的乘积.故所求数列的一个通项公式为 an（1）n1.2n（2n1）（2n1）3. （必修 5P34习题 6 改编）已知数列an满足 a11，an1Error!则其前 5 项之和为 .答案：19解析：a22a12，a3a213，a42a36，a5a417，所以前 5 项和 S51236719.4. （必修 5P34习题 9 改编）在数列an中，an2n219n3，则此数列最大项的值 是 .答案：48解析： an2223， n5 时，an最大.a5252195348.(n194)192165. （必修 5P48习题 9 改编）已知数列an的前 n 项和 Snn22n2，则数列an的通 项公式
4、为 .答案：anError!解析：当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn12n3，由于 n1 时 a1的值 不适合 n2 的解析式，故通项公式为 anError!1. 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位 的数称为这个数列的第 1 项，通常也叫做首项.2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列.项数无限的数列叫做无穷数列.3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数或其子集为定义域的函数 anf（n），当自变 量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.反过来，对于函数 yf（x），如果 f（i）（i1，2，
5、3，）有意义，那么可以得到一个数列f（n）. 4. 数列的通项公式如果数列an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式 anf（n） （n1，2，3，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式可以看成数 列的函数解析式.5. 数列an的前 n 项和 Sn与通项 an的关系是 anError!.题型题型 1 由数列的前几项求数列的通项例例 1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1） 1，7，13，19，；（2） 1，0， ，0， ，0， ，0，；131517（3） 1 ，2 ，3，4，.12459101617解：（1） 偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含
6、有因式（1）n，观察各项的绝 对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an（1）n（6n5）.（2） 将数列改写为 ， ， ， ， ， ， ， ，则 an.1102130415061708sinn2n（3） 经观察不难发现 1 1 1，2 2 2，333121212121454522221910910，则 ann.32321n2n21变式训练（1） 数列，的一个通项公式 an ；11 212 313 414 5（2） 该数列 ，的一个通项公式为 .4591016172526答案：（1） （1）n1n（n1）（2） an（n1）2（n1）21解析：（1） 这个数列
7、前 4 项的绝对值都等于项数与项数加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an（1）n.1n（n1）（2） 各项的分子为 22，32，42，52，分母比分子大 1，因此该数列的一个通项公式为 an.（n1）2（n1）21备选变式（教师专享）（1） 在数列 1，2，中，2是这个数列的第 项.7101319（2） 数列 1，3，6，10，的通项公式是 .答案：（1） 26 （2） an（1）n1n（n1）2解析：（1）数列 1，2，即数列，7101313 113 21，该数列的通项公式为3 313 41an，2， n26，故 2是这个数列的第 263（n1）13n23
8、n2197619项.（2） 观察数列 1，3，6，10，可以发现 11，312，6123，101234，第 n 项为 123n.n（n1）2而数列 1，3，6，10，就是上面的数列偶数项乘以（1），所以通项公式为 an（1）n1.n（n1）2题型题型 2 由 an与 Sn的关系求 an例例 2 （1） 已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn3nb，求数列an的通项公式；（2） 设 Sn是正项数列an的前 n 项和，且 an和 Sn满足：4Sn（an1）2（n1，2，3，），求数列an的通项公式.解：（1） a1S13b，当 n2 时，anSnSn1（3nb）（3n1b）23n1.当 b1
9、时，a1适合此等式.当 b1 时，a1不适合此等式. 当 b1 时，an23n1；当 b1 时，anError!（2） 由题意，可知 Sn，(an212)2当 n1 时，a11.当 n2 时，anSnSn1(an212)2(an1212)2，(an2an121) (an2an12)(an2an12)整理，得，anan12.故当 n2 时，an2n1.因为当 n1 时，满anan12足 an2n1.故数列an的通项公式为 an2n1.变式训练（1） （2018江苏大联考）已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2n23n，则当n2 时， ；ana1n1（2） 已知数列an的前 n 项和为 S
10、n，若 Sn2an4，nN*，则 an .答案：（1） 4 （2） 2n1解析：（1） （解法 1） 由题意，知当 n1 时，a1S15；当 n2 时，anSnSn12n23n2（n1）23（n1）4n1，由于当n1 时，a15 也满足 an4n1，所以 an4n1（nN*）；故当 n2 时，ana1n14.4n15n1（解法 2）因为数列an的前 n 项和 Sn2n23n，所以由等差数列的性质可知数列an 是一个等差数列，设其公差为 d.因为 a1S15，a1a2S214.所以 a29.从而可得 da2a1954.故当 n2 时，d4.ana1n1（n1）dn1（2） 因为 Sn2an4，所
11、以 n2 时，有 Sn12an14，两式相减可得SnSn12an2an1，即 an2an2an1，整理得 an2an1，即2（n2）.因为anan1S1a12a14，所以 a14，所以 an2n1.题型题型 3 由数列的递推关系求数列的通项公式例例 3 （1） 设数列an中，a12，an1ann1，则通项公式 an ；（2） 在数列an中，a11，anan1（n2，nN），则通项公式 an 1n（n1）；（3） 在数列an中，a11，前 n 项和 Snan，则an的通项公式为 an .n23答案：（1） 1 （2） 2 （nN） （3） n（n1）21nn（n1）2解析：（1） 由题意得，当
12、n2 时，ana1（a2a1）（a3a2） （anan1）2（23n）21.（n1）（2n）2n（n1）2又 a112，符合上式，1 （11）2因此 an1.n（n1）2（2） 由 anan1（n2），得 anan1 （n2）.则1n（n1）1n11na2a11 ，a3a2 ，anan1 .将上述（n1）个式子累加，得1212131n11nan2 .当 n1 时，a11 也满足，故 an2 （nN）.1n1n（3） 由题设知，a11.当 n2 时，anSnSn1anan1，n23n13 ， anan1n1n1 ， ， ，3.anan1n1n1a4a353a3a242a2a1以上 n1 个式子的
13、等号两端分别相乘，得到. a11， an.ana1n（n1）2n（n1）2 a11 满足 an，n（n1）2an的通项公式为 an.n（n1）2备选变式（教师专享）（1） 已知数列an满足 a11，an3n1an1（n2），则 an .（2） 已知数列an满足 a11，anan1（n2），则 an .n1n答案：（1） an （2） 3n121n解析：（1） 由 a11，anan13n1（n2），得 a11，a2a131，a3a232，an1an23n2，anan13n1，以上等式两边分别相加得 an13323n1.当 n1 时，a11 也适合， an.3n123n12（2） anan1 （n
14、2），an1an2，a2 a1.以上（n1）个式子n1nn2n112相乘得 ana1 .当 n1 时也满足此等式， an .1223n1na1n1n1n题型题型 4 数列的周期性例例 4 （1） 在一个数列中，如果nN*，都有 anan1an2k（k 为常数），那么这 个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且 a11，a22， 公积为 8，则 a1a2a3a20 ；（2） 在数列an中，a11，an1（1）n（an1），记 Sn为an的前 n 项和，则 S2 020 .答案：（1） 45 （2） 1 010解析：（1） 依题意得数列an是周期为 3 的数列，且 a
15、11，a22，a34，因此 a1a2a3a206（a1a2a3）a19a206（124）a1a2421245.（2） 因为数列an满足 a11，an1（1）n（an1），所以 a2（11） 2，a3211，a4（11）0，a5011，a6（11） 2，a7211，所以an是以 4 为周期的周期数列，因为 2 0205054，所以 S2 020505（1210）1 010.备选变式（教师专享）（1） 在数列an中，若对任意的 nN*均有 anan1an2为定值，且 a12，a93，a984，则数列an的前 100 项的和 S100 .（2） 数列an满足 a12，an1（nN*），则 a2 02
16、0 .11an答案：（1） 299 （2） 2解析：（1）因为对任意的 nN*均有 anan1an2为定值，所以 anan1an2an1an2an3，所以 an3an，所以数列an是周期数列，且周期为 3. 故 a2a984，a3a93，a100a12，所以 S10033（a1a2a3）a100299.（2） 数列an满足 a12，an1（nN*）， 11ana21，a3 ，a42，可知此数列有周期性，周期 T3，11211（1）121112即 an3an，则 a2 020a67331a12.1. （2018镇江模拟）已知数列an满足 a11，an1an2n（nN*），则 a10 .答案：32
17、解析： an1an2n， an2an12n1，两式相除得2.又 a1a22，a11， an2ana22.则24，即 a102532.a10a8a8a6a6a4a4a22. （2018南通第一中学测试）已知数列an对任意的 p，qN*，满足 apqapaq且 a26，则 a10 .答案：30解析：a4a2a212，a6a4a218，a10a6a430.3. （2018全国卷）记 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an1，则 S6 .答案：63解析：根据 Sn2an1，可得 Sn12an11，两式相减得 an12an12an，即 an12an，当 n1 时，S1a12a11，解得 a11，所
18、以数列an是以1 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以 S663.（126）124. 对于数列an，定义数列bn满足：bnan1an（nN），且 bn1bn1（nN），a31，a41，则 a1 .答案：8解析：b3a4a3112，由 b3b21，得 b23，而 b2a3a23，则 a24.又 b2b11，则 b14，而 b1a2a14a14，则 a18.5. （2018黄冈质检改编）已知数列xn满足 xn2|xn1xn|（nN*）.若 x11，x2a（a1，a0），且 xn3xn对于任意的正整数 n 均成立，则数列xn的前 2 020 项和 S2 020 .答案：1 347解析： x11，x
19、2a（a1，a0）， x3|x2x1|a1|1a， x1x2x31a（1a）2.又 xn3xn对于任意的正整数 n 均成立， 数列xn的周 期为 3，所以数列xn的前 2 020 项和 S2 020S67331673211 347.1. 若 ann2n3（其中 为实数），nN，且数列an为单调递增数列，则实数 的取值范围是 .答案：（3，）解析：（解法 1：函数观点）因为an为单调递增数列， 所以 an1an，即（n1）2（n1）3n2n3，化简为 2n1 对一切 nN*都成立，所以 3.故实数 的取值范围是（3，）.（解法 2：数形结合法）因为an为单调递增数列，所以 a13，故实数 的取值
20、范围是（3，）.2. 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，an1 Sn，求 a2，a3，a4的值及数列an13的通项公式.解：由已知得 a2 ，a3 ，a4.由 a11，an1 Sn，得 an Sn1，n2，134916271313故 an1an Sn Sn1 an，n2，131313得 an1 an，n2.43又 a11，a2 ，故该数列从第二项开始为等比数列，故 anError!133. 在数列an中，a11，anan1an1（1）n（n2，nN*），则的值是 .a3a5答案：34解析：由已知得 a21（1）22， 2a32（1）3，a3 ， 12a4 （1）4，a43， 3a
21、53（1）5， a5 ， .121223a3a51232344. 已知数列，欲使它的前 n 项的乘积大于 36，则 n 的最小值为 .n2n答案：8解析：由数列的前 n 项的乘积 36，得n2n314253n2n（n1）（n2）2n23n700，解得 n7.因为 nN*，所以 n 的最小值为 8.5. 在数列an中，a11，an1ansin，记 Sn为数列an的前 n 项和，则 S2 （n1）2019 .答案：1 010解析：由 a11 及 an1ansin，得 an1ansin，所以 a2a1sin （n1）2（n1）21，a3a2sin0，a4a3sin0，a5a4sin1，a6a5sin
22、1，a7a6s32425262in0，a8a7sin0，可见数列an为周期数列，周期 T4，所以 S2 7282019504（a1a2a3a4）a1a2a31 010.1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和集合中元素的异同， 数列可以看成是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意 函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.2. 根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分 母的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此 进行归纳、联想.3. 通项 an与其前 n 项和 Sn的关系是
23、一个十分重要的考点，运用时不要忘记讨论 anError!第 2 课时 等 差 数 列（对应学生用书（文）、（理）8586 页）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，能在具体的问题情境中用等差数列的有关 知识解决相应的问题. 理解等差数列的概念. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 理解等差中项的概念，掌握等差数列的性质.1. （必修 5P44习题 5 改编）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S36，a14，则 公差 d 等于 .答案：2解析：（解法 1）由已知得 S33a13d，即 343d6，所以 d2.（解法 2）由 S36，且 a14，得 a30
24、，则 d2.3（a1a3）2a3a1312. （必修 5P41习题 11 改编）若 lg2，lg（2x1），lg（2x3）成等差数列，则 x 的值 等于 .答案：log25解析：lg2lg（2x3）2lg（2x1），2（2x3）（2x1）2，（2x）242x50，2x5，xlog25.3. （必修 5P48习题 7 改编）设an是等差数列，若 a4a5a621，则 S9 .答案：63解析：因为an是等差数列，且 a4a5a621，所以 3a521，即 a57，故 S99a563.9（a1a9）24. （必修 5P43例 1 改编）已知数列an中，a11，anan1 （n2），则数列an12的前
25、 9 项和等于 .答案：27解析：由题意知数列an是以 1 为首项，以 为公差的等差数列， 12S991 91827.9 82125. （必修 5P43例 3 改编）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则 a7a8a9 .答案：45解析：由an是等差数列，得 S3，S6S3，S9S6为等差数列，即 2（S6S3） S3（S9S6），则 a7a8a9S9S62S63S345.1. 等差数列的定义（1） 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同 一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.（2） 符号语言：an1and（nN）.2. 等差数列的通项公
26、式若等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则其通项公式为 ana1（n1）d.推广：anam（nm）d.3. 等差中项如果三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫 a 和 b 的等差中项，且有 A.ab24. 等差数列的前 n 项和公式（1） Snna1d；n（n1）2（2） Sn.n（a1an）25. 等差数列的性质（1） 等差数列an中，对任意的 m，n，p，qN，若 mnpq，则 amanapaq.特殊的，若 mn2p，则 aman2ap.（2） 等差数列an中，依次每 m 项的和仍成等差数列，即 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列.6. 当项数为 2n（nN），则 S偶S
27、奇nd，；S偶S奇an1an当项数为 2n1（nN），则 S奇S偶an，.S偶S奇n1n备课札记题型题型 1 等差数列中的基本量计算例例 1 （1） 已知an是等差数列，Sn是其前 n 项和.若 a1a 3，S510，则 a9的2 2值是 ；（2） （2018常州一模） 设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a34，S9S627， 则 S10 .答案：（1） 20 （2） 65解析：（1） （解法 1）设等差数列an的公差为 d，由 S510，知S55a1d10，得 a12d2，即 a122d， a2a1d2d，代入5 42a1a 3，化简得 d26d90， d3，a14.故 a9a18d
28、42420.2 2（解法 2）设等差数列an的公差为 d，由 S510，知5a310， a32.5（a1a5）2由 a1a32a2，得 a12a22，代入 a1a 3，化简得 a 2a210， a21.2 22 2公差 da3a2213，故 a9a36d21820.（2） Sn为等差数列an的前 n 项和，a34，S9S627， Error!解得Error! S10102165.10 92变式训练（1） 已知an是公差不为 0 的等差数列，Sn是其前 n 项和，若 a2a3a4a5，S91， 则 a1的值是 ；（2） 设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a27，S77，则 a7的值为 .
29、答案：（1） （2） 13527解析：（1） 设等差数列an的公差为 d（d0）. a2a3a4a5，S91， Error!解得 a1.527（2） 设等差数列an的公差为 d. a27，S77， Error!解得Error! a7a16d116413.备选变式（教师专享）（1） （2018苏州一模）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a27，S77，则 a7 的值为 ；（2） （2018淮安期中）设等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 a35，且 S1，S5，S7成 等差数列，则数列an的通项公式 an .答案：（1） 13 （2） 2n1解析：（1） 设等差数列an的公差为 d，
30、a27，S77， Error!解方程组可得Error! a7a16d116413.（2） 设等差数列an的公差为 d，因为 S1，S5，S7成等差数列，所以 S1S72S5， 则 a17a121d2（5a110d），解得 d2a1.因为 a35，所以 a11，d2，所以 an2n1.题型 2 判断或证明一个数列是否是等差数列例例 2 （1） 若，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列；1bc1ca1ab（2） （2018苏州调研改编）已知数列an中，a21，前 n 项和为 Sn，且 Sn.证明数列an为等差数列，并写出其通项公式.n（ana1）2证明：（1） ，是等差数列，1bc1ca1
31、ab .1bc1ab2ca （ab）（ca）（bc）（ca）2（ab）（bc）， （ca）（ac2b）2（ab）（bc）， 2ac2ab2bca2c22ab2ac2bc2b2， a2c22b2， a2，b2，c2成等差数列.（2） 令 n1，则 a1S10.a1a12由 Sn，即 Sn ，n（ana1）2nan2得 Sn1 .（n1）an12，得（n1）an1nan ，于是，nan2（n1）an1 .，得 nan2nan2nan1，即 an2an2an1.又 a10，a21，a2a11，所以数列an是以 0 为首项，1 为公差的等差数列，所以 ann1.变式训练（1） 已知数列an中，a11
32、且 （nN*），则 a10 ；1an11an13（2） （2018苏州期中调研改编）已知数列an，bn满足 a1 ，anbn1，bn112（nN*），则 b1b2b2 019 .1an1答案：（1） （2） 1412 020解析：（1） ， ， 是以1 为首项， 为公差1an11an131an11an131an1a113的等差数列， 1（101） 134，故 a10 .1a101314（2） 由 anbn1，得 an1bn11，即 bn11an1，把 bn11an1代入bn1，化简可得1，所以是首项为 2，公差为 1 的等差数列，故数列1an11an11an1anan的通项公式为 an，所以数
33、列bn的通项公式为 bn，所以 b1b2b2 1n1nn1019.12 020备选变式（教师专享）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足：an2SnSn10（n2，nN*），a1 ，判12断与an是否为等差数列，并说明你的理由.1Sn解：因为 anSnSn1（n2），又 an2SnSn10，所以 SnSn12SnSn10（n2），所以2（n2）.1Sn1Sn1因为 S1a1 ，12所以是以 2 为首项，2 为公差的等差数列.1Sn所以2（n1）22n，故 Sn.1Sn12n所以当 n2 时，anSnSn1，12n12（n1）12n（n1）所以 an1，而 an1an12n（n1）12n（n
34、1）12n（n1）.12n(1n11n1)1n（n1）（n1）所以当 n2 时，an1an的值不是一个与 n 无关的常数，故数列an不是一个等差数列.综上可知，是等差数列，an不是等差数列.1Sn题型题型 3 等差数列的性质例例 3 （1） （2018南通模拟）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2a4a6a8120，且，则 S9 ；1a4a6a81a2a6a81a2a4a81a2a4a6760（2） 设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 S1016，S100S9024，则 S100 ；（3） 设等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 Sk18，Sk0，Sk110，则正整数 k .
35、答案：（1） （2） 200 （3） 9632解析：（1） 由题意得，1a4a6a81a2a6a81a2a4a81a2a4a6a2120a4120a6120a8120760则 2（a2a8）14，即 a2a87，所以 S9 （a2a8）.9（a1a9）292632（2） 依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数 列的公差为 d.又 S1016，S100S9024，因此 S100S902416（101）d169d，解得 d ，89因此 S10010S10d1016 200.10 9210 9289（3） 由等差数列的性质得为等差数列，Snn所以，（k，
36、0），三点共线，(k1，8k1)(k1，10k1)从而有，解得 k9.8k1110k11变式训练（1） （2018徐州一模）已知等差数列an满足 a1a3a5a7a910，a a 36，则 a11 ；2 82 2（2） 设 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S55，S927，则 S7 .答案：（1） 11 （2） 14解析：（1） 设等差数列an的公差为 d， a1a3a5a7a910， 5a510，即 a52. a a 36， 6d（a8a2）36，即 2a5d6， d ，则2 82 232a11a56d26 11.32（2） 14 解析：由 S5（a1a5） 2a3 5a35，得 a
37、31.由 S9（a1a9）5252 2a5 9a527，得 a592923.从而 S7（a1a7） （a3a5） 4 14.727272备选变式（教师专享）（1） 在等差数列an中，a12 020，其前 n 项和为 Sn，若2，则 S2 S2 0192 019S2 0212 021020 ；（2） 设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有SnTn，则的值为 .2n34n3a9b5b7a3b8b4答案：（1） 2 020 （2） 1941解析：（1） 设等差数列an的公差为 d， a1 （n1）d，Snn12 数列也是等差数列，Snn由2，S2 0192 0
38、19S2 0212 021即2 知数列的公差为1，S2 0212 021S2 0192 019Snn （2 0201）（1）1，因此，S2 0202 020.S2 0202 020S11（2） an，bn为等差数列， .a9b5b7a3b8b4a92b6a32b6a9a32b6a6b6 ，S11T11a1a11b1b112a62b62 1134 1131941 .a6b61941题型题型 4 等差数列中的最值问题例例 4 （1） 若等差数列an满足 a7a8a90，a7a100a7a6时 n 的最大值.（3） 在等差数列an中，a10，公差 d0.又 a7a10S7，S8S9，故数列an的前
39、8 项和最大.（2） 0，a70，S126（a6a7）0 的 n 的最大值11（a1a11）212（a1a12）2为 11.（3） 在等差数列an中，a10，公差 d0，12（a6a7）2因此 Sn取到最小正数时 n 的值为 12.4. （2017南京、盐城二模）已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn，cn满足（n1）bnan1，（n2）cn，其中 nN.Snnan1an22Snn（1） 若数列an是公差为 2 的等差数列，求数列cn的通项公式；（2） 若存在实数 ，使得对一切 nN，有 bncn，求证：数列an是等差数列.（1） 解： 数列an是公差为 2 的等差数列， ana12（n
40、1），a1n1.Snn （n2）cn（a1n1）n2，解得 cn1.a12na12（n1）2（2） 证明：由（n1）bnan1，可得 n（n1）bnnan1Sn，（n1）Snn（n2）bn1（n1）an2Sn1，两式相减可得 an2an1（n2）bn1nbn，可得（n2）cnan1（n1）bnan1an22Snnan1an22（n1）bn（n1）bn（bnbn1），an2an12（n2）bn1nbn2n22因此 cn （bnbn1）.12 bncn， cn （bnbn1），12故 bn，cn. （n1）an1，（n2） （an1an2），Snn12Snn相减可得 （an2an1），即 an2a
41、n12（n2）.12又 2a2a2a1，则 an1an2（n1），S11 数列an是等差数列.1. 等差数列问题，首先应抓住 a1和 d，通过列方程组来解，其他也就迎刃而解了.但若 恰当地运用性质，可以减少运算量.2. 等差数列的判定方法有以下几种： 定义法：an1and（d 为常数）； 等差 中项法：2an1anan2； 通项公式法：anpnq（p，q 为常数）； 前 n 项和公式 法：SnAn2Bn（A，B 为常数）.3. 注意设元，利用对称性，减少运算量.4. 解答某些数列问题，有时不必（有时也不可能）求出某些具体量的结果，可采用整 体代换的思想.备课札记第 3 课时 等 比 数 列（对应学生用书（文）、（理）8788 页）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公 式与前 n 项和公式，并能用有关知识解决相应 的问题.1 理解等比数列的概念.2 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公 式.3 理解等比中项的概念，掌握等比数列的 性质.1. （必修 5P57练习 4 改编）在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前 n 项和.若 Sn126，则 n .答案：6解析：由 an12an知，数列an是以 a12 为首项，公比 q2 的等比数列.由 Sn126，解得 n6.2（12n