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1、第二章第二章 二次函数二次函数3.3.确定二次函数的表达式确定二次函数的表达式第第1 1课时课时 府谷二中府谷二中 郭彩云郭彩云复习提问：复习提问：1.二次函数表达式的一般形式是什么二次函数表达式的一般形式是什么? 2.二次函数表达式的顶点式是什么二次函数表达式的顶点式是什么? y=ax+bx+c (a,b,c为常数为常数,a 0)y=a(x-h)2+k (a 0) 一名学生推铅球时，铅球行进高度一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离与水平距离x(m)之间的关系如图所示，你能之间的关系如图所示，你能求出求出y与与x之间的关系式吗？之间的关系式吗？情境导入1423290 xy思考探究思
2、考探究 确定二次函数的表达式需要几个条确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流件？与同伴进行交流.例例1 已知二次函数已知二次函数y=ax2+c的图象经过点的图象经过点(2,3)和和(-1,-3),求出这个二次函数的表达式求出这个二次函数的表达式. 解：将点解：将点(2,3)和和(-1,-3)分别代入二次函数分别代入二次函数y=ax2+c中中,得得343acac 解这个方程组，得解这个方程组，得25ac所求二次函数表达式为：所求二次函数表达式为：y=2x2-5 已知二次函数的图象与已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为，轴交点的纵坐标为，且经过点且经过点(2,5),和和(-2,13),
3、求这个二次函数的表达式求这个二次函数的表达式.解：由题意知，该函数图象经过三点：解：由题意知，该函数图象经过三点： (0 ,1) (2 , 5) 和和 (-2 ,13)设二次函数表达式为设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,将以上三点坐标分别代入，得将以上三点坐标分别代入，得1=c5=4a+2b+c13=4a-2b+c解这个方程组，得解这个方程组，得 a=2 ,b=-2 , c=1所以，二次函数的表达式为所以，二次函数的表达式为y=2x2-2x+1 在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就 可以确定它的表达式？可以确定它的表达式？ 二次函数二次
4、函数y=ax2+bx+c可化成：可化成：y=a(x-h)2+k , 顶顶点是点是(h , k)。如果已知顶点坐标，那么再知道图象上。如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.1.已知二次函数的图象顶点是已知二次函数的图象顶点是(-1,1),且经过点且经过点(1,-3), 求这个二次函数的表达式。求这个二次函数的表达式。2. (1)已知二
5、次函数已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过的图象经过(1,1)与与 (2,3) 两点，求这个二次函数的表达式；两点，求这个二次函数的表达式； (2)请更换第请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数一个求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求表达式的题目，使所求得的二次函数与第得的二次函数与第 (1)题相同题相同例例1 1 若二次函数图象过若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)C(-1,2)三点求此函数的解析式。三点求此函数的解析式。解解：设二次函数表达式为设二次函数表达式为y=ax+
6、bx+c 图象过图象过B(0,2) c=2 y=ax2+bx+2 图象过图象过A(2,-4),C(-1,2)两点两点 -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得解得 a=-1,b=-1 函数的解析式为：函数的解析式为： y=-x2-x+2解法解法2：（利用顶点式）（利用顶点式） 图象过图象过B(0,2), C(-1,2)两点，两点，可知其对称轴为可知其对称轴为x=可设解析式为可设解析式为y=a(x+ )2+k A(2,-4),B(0,2)在图象上，在图象上， -4=a(2+ )2+k 2=a(0+ )2 +k a=-1,k= y=-(x+ )2+即即 y=-x2-x+21-2121212129
7、494 例例2 已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当，并且当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这，试确定这个二次函数的解析式个二次函数的解析式.解：解：（利用顶点式）（利用顶点式） 当当x=3时，有最大值时，有最大值4 顶点坐标为顶点坐标为(3,4) 设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4 函数图象过点（函数图象过点（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为： y= -7(x-3)2+4 例例3 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象过点的图象过点A(0,5),B
8、(5,0)两点，两点，它的对称轴为直线它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。，求这个二次函数的解析式。解解: 二次函数的对称轴为直线二次函数的对称轴为直线x=3 设二次函数表达式为设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点图象过点A(0,5),B(5,0)两点两点 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得：解得：a= 1 ， k=-4 二次函数的二次函数的表达式表达式: y= (x-3)2-4 即即 y =x2-6x+5小结小结: 已知顶点坐标已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程或对称轴方程x=h 时时 优先选用优先选用顶点式顶点式。解法二：解法二：（一般式一般式
9、） 设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax+bx+c 二次函数图象过点二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 解得：解得： a= -1 b=2 c=3 函数的解析式为：函数的解析式为：y= -x2+2x+3归纳：归纳： 在确定二次函数表达式时在确定二次函数表达式时（1）若已知图象上三个非特殊点，常设一般）若已知图象上三个非特殊点，常设一般式式 ；（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式设顶点式 较为简便；较为简便； 通过上述问题的解决通过上述问题的解决,您能体会到求二次函您能体
10、会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么数表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）（待定系数法）1.1.设抛物线的表达式设抛物线的表达式; ;2.2.写出相关点的坐标写出相关点的坐标; ;3.3.列方程列方程( (或方程组或方程组););4.4.解方程或方程组解方程或方程组, ,求待定系数求待定系数; ;5.5.写出函数的表达式写出函数的表达式; ;课堂小结课堂小结 什么情况下，一个二次函数只知道其中的两什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？点就可以确定它的表达式？课后作业课后作业课本课本 习题习题2.6 12.6 1、2 2 解：（解：（交点式交点式）二次函数图象经
11、过点二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)设二次函数表达式为设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) 函数图象过点函数图象过点(1,4) 4 =a (1-3)(1+1) 得得 a= -1 函数的表达式为：函数的表达式为： y= -(x-3)(x+1) = -x2+2x+3例例 已知二次函数图象经过点已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和和(3,0)三点，三点，求二次函数的表达式。求二次函数的表达式。知道抛物线与知道抛物线与x轴的两个交点的坐轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便。标，选用交点式比较简便。（顶点式）（顶点式） 解：解： 抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交
12、两点(-1,0)和和(3,0) ， (-1+3)/2 = 1 点点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为：可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 抛物线过点抛物线过点(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得得 a= -1 函数的解析式为：函数的解析式为： y= -(x-1)2+4 =-x2+2x+31.请选择最优解法，求下列二次函数表达式。请选择最优解法，求下列二次函数表达式。(1)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经轴，且经过点过点 （-2，2），求此抛物线的表达式？），求此抛物线的表达式？(2)已知抛物线的顶点在已知抛
13、物线的顶点在y轴上轴上,且经过（且经过（-1，-3）和）和（2，6),求此抛物线的表达式？求此抛物线的表达式？运用新知运用新知顶点式顶点式21y =x2顶点式顶点式y=3x2-6(3)已知抛物线的顶点在已知抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线轴上，对称轴是直线x=1，且，且经过（经过（2，3），求此抛物线的表达式？），求此抛物线的表达式？(4)已知一个二次函数的图象经过原点，且过（已知一个二次函数的图象经过原点，且过（2，6），），（-1，3）求这个二次函数的表达式？）求这个二次函数的表达式？一般式，交点式一般式，交点式顶点式顶点式y=3(x-1)2y=2x2-x 2.如图，某建筑的屋顶设计成横
14、截面为抛物线如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲（曲 线线AOB）的薄壳屋顶它的拱宽）的薄壳屋顶它的拱宽AB为为6m，拱高，拱高CO为为 0.9m试建立适当的直角坐标系试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对并写出这段抛物线所对应的二次函数表达式应的二次函数表达式? 解解:以线段以线段AB的中垂线为的中垂线为y轴轴,以过点以过点o且且与与y轴垂直的直线为轴垂直的直线为x轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系222ABAB = 6CB = 3,OC = 0.92B(3,-0.9)y = ax,-0.9 = a3a = -0.1y = -0.1x (-3x3) 代代入入中中因因此此这这段段抛抛物物线线对对应应的的二二次次函函数数表表示示式式为为设它的函数表达式为设它的函数表达式为: y=ax (a0)