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1、小题专练14一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:集合,)设集合A=x|1x2,B=x|x2-2x-30,则AB=( ).A.x|2x3B.x|-1x2C.x|1x3D.x|-1x32.(考点:充分、必要条件,)已知a,bR,i是虚数单位,则“a=0”是“复数a+bi为纯虚数”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(考点:直线和圆的综合,)圆x2+y2-6x-8y=0的圆心到直线x+y=1的距离为( ).A.22B.2C.22D.324.(考点:函数的基本性质,)已知函
2、数f(x)=loga|x|在(0,+)上单调递减,则( ).A.f(5)f(-3)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-4)f(2)f(3)D.f(3)f(-2)0)在x=a处取得最大值,则实数a的值( ).A.1B.2C.3D.47.(考点:古典概型,)在1,2,3,4,5,6,7,8中随机抽取3个数,其中1个数为另外2个数的和的概率为( ).A.17B.314C.27D.5148.(考点:传统文化,)我国古代数学名著张邱建算经中有如下问题:“今有粟二百五十斛委注平地,下周五丈四尺,问高几何?”意思是:现在有粟米250斛,把它们自然地堆放在平地上,形成一个圆锥形的谷堆,其底面周长为
3、5丈4尺,则谷堆的高为多少?(注:1斛1.62立方尺,1丈=10尺,3)该问题中谷堆的高约为( ).A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:数列的综合运用,)设数列an满足a1=1,且an+1=an+n+1(nN*),则下列说法正确的是( ).A.数列an是等差数列B.数列an的通项公式an=n2+n2C.数列1an是等比数列D.数列1an的前2020项和为4040202110.(考点:函数的奇偶性与周期性,)定义在R上的函数f(x)满足f(x+
4、4)=f(x)=f(-x),当x-2,0时,f(x)=-x+1,则下列结论正确的是( ).A.函数f(x)的周期为4B.函数f(x)在0,4)上单调递增C.f(2020)=1D.函数f(x)的图象在(-4,4)上共有3条对称轴11.(考点:点、线、面的位置关系,)在三棱锥P-ABC中,ABAC,PA平面ABC,PB=2AC=12,过PAC的重心G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则下列说法正确的是( ).A.所得截面的对边互相平行B.若记所截得的截面为平面,则PA平面C.ACPBD.所得截面的面积为1612.(考点:椭圆,)已知椭圆C1的中心在原点O,焦点F1,F2在y轴上,离心率等
5、于45,且它的一个顶点恰好是抛物线C2:x2=40y的焦点F,若点P(x,y)是椭圆C1上的任意一点,且PF1F2的面积为18,Q是抛物线C2上一点,且Q到抛物线焦点的距离为14,则下列结论正确的是( ).A.椭圆C1的标准方程为x2100+y236=1B.|PF1|+|PF2|=20C.cosF1PF2=35D.SQFO=200三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为4,则(a-b)(a+2b)= .14.(考点:二项式定理,)x-1xn的展开式中含x2的项为第5项,设(1-3x)n=a0+a1x+a
6、2x2+anxn,则a1+a2+an的值为 .15.(考点:新定义题型,)对于集合a1,a2,an和常数a0,定义:=sin2(a1-a0)+sin2(a2-a0)+sin2(an-a0)-sin2a0n为集合a1,a2,an相对a0的“类正弦方差”.则集合6,-6相对a0的“类正弦方差”为 .16.(考点:函数与导数的综合,)若ln xx2+ax(aR)对任意正实数x恒成立,则实数a的取值范围为 .答案解析：1.(考点:集合,)设集合A=x|1x2,B=x|x2-2x-30,则AB=( ).A.x|2x3B.x|-1x2C.x|1x3D.x|-1x3【解析】因为A=x|1x2,B=x|x2-
7、2x-30=x|-1x3,所以AB=x|-1x3.故选D.【答案】D2.(考点:充分、必要条件,)已知a,bR,i是虚数单位,则“a=0”是“复数a+bi为纯虚数”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0复数a+bi为纯虚数或实数,复数a+bi为纯虚数a=0且b0.故选B.【答案】B3.(考点:直线和圆的综合,)圆x2+y2-6x-8y=0的圆心到直线x+y=1的距离为( ).A.22B.2C.22D.32【解析】圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,故圆心为(3,4),则圆心到直线x+y=1的距离是|3+4-1|12+12=6
8、2=32.故选D.【答案】D4.(考点:函数的基本性质,)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+)上单调递减,则( ).A.f(5)f(-3)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-4)f(2)f(3)D.f(3)f(-2)f(-4)【解析】因为f(x)=loga|x|在(0,+)上单调递减,所以0af(2)f(3)f(4)f(5).又函数f(x)=loga|x|为偶函数,所以f(2)=f(-2),f(3)=f(-3),f(4)=f(-4),所以f(5)f(-3)0)在x=a处取得最大值,则实数a的值( ).A.1B.2C.3D.4【解析】因为f(x)=xx2+4=1x+4x,又x
9、0,所以x+4x2x4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,即当f(x)取得最大值时,x=2,即a=2.故选B.【答案】B7.(考点:古典概型,)在1,2,3,4,5,6,7,8中随机抽取3个数,其中1个数为另外2个数的和的概率为( ).A.17B.314C.27D.514【解析】从8个数中随机抽取3个,共有C83=56种情况,其中1个数为另外2个数的和的情况有1,2,3;1,3,4;1,4,5;1,5,6;1,6,7;1,7,8;2,3,5;2,4,6;2,5,7;2,6,8;3,4,7;3,5,8,共12种.所以所求的概率P=1256=314.【答案】B8.(考点:传统文化,)我国古
10、代数学名著张邱建算经中有如下问题:“今有粟二百五十斛委注平地,下周五丈四尺,问高几何?”意思是:现在有粟米250斛,把它们自然地堆放在平地上,形成一个圆锥形的谷堆,其底面周长为5丈4尺,则谷堆的高为多少?(注:1斛1.62立方尺,1丈=10尺,3)该问题中谷堆的高约为( ).A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺【解析】设谷堆的高为h尺,底面半径为r尺,则2r=54,得r9.谷堆的体积为2501.62=1392h,得h5.【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:数列的综合运
11、用,)设数列an满足a1=1,且an+1=an+n+1(nN*),则下列说法正确的是( ).A.数列an是等差数列B.数列an的通项公式an=n2+n2C.数列1an是等比数列D.数列1an的前2020项和为40402021【解析】由题意得an+1-an=n+1,可知数列an不是等差数列,由a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n(n2),以上各式相加得an=a1+2+3+n.又a1=1,an=1+2+3+n=n2+n2(n2).当n=1时也满足上式,an=n2+n2(nN*).故1an=2n(n+1)=21n-1n+1,数列1an不是等比数列,数列1an的前2020项和S2020=
12、21-12+12-13+12020-12021=40402021.综上,BD正确.【答案】BD10.(考点:函数的奇偶性与周期性,)定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)=f(-x),当x-2,0时,f(x)=-x+1,则下列结论正确的是( ).A.函数f(x)的周期为4B.函数f(x)在0,4)上单调递增C.f(2020)=1D.函数f(x)的图象在(-4,4)上共有3条对称轴【解析】定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,故A正确;又f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数,当x0,2时,f(x)=x+1,结合函数f(x)的周期可知,函数
13、f(x)在0,2上单调递增,在2,4上单调递减,故B错误;f(2020)=f(4505)=f(0)=1,故C正确;结合图象可知,函数f(x)的图象在(-4,4)上共有3条对称轴,故D正确.综上,ACD正确.【答案】ACD11.(考点:点、线、面的位置关系,)在三棱锥P-ABC中,ABAC,PA平面ABC,PB=2AC=12,过PAC的重心G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则下列说法正确的是( ).A.所得截面的对边互相平行B.若记所截得的截面为平面,则PA平面C.ACPBD.所得截面的面积为16【解析】如图,过点G作EFAC,分别交PA,PC于点E,F,过点E作ENPB交AB于点N
14、,过点F作FMPB交BC于点M,连接MN,则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面),且EF=MN=23AC=4,FM=EN=13PB=4,因为PA平面ABC,AC平面ABC,所以PAAC,又ABAC,ABPA=A,所以AC平面PAB,又PB平面PAB,所以ACPB,所以EFEN,故四边形EFMN是矩形,所以截面的面积为44=16.综上,ACD正确.【答案】ACD12.(考点:椭圆,)已知椭圆C1的中心在原点O,焦点F1,F2在y轴上,离心率等于45,且它的一个顶点恰好是抛物线C2:x2=40y的焦点F,若点P(x,y)是椭圆C1上的任意一点,且PF1F2的面积为18,Q是抛物线C
15、2上一点,且Q到抛物线焦点的距离为14,则下列结论正确的是( ).A.椭圆C1的标准方程为x2100+y236=1B.|PF1|+|PF2|=20C.cosF1PF2=35D.SQFO=200【解析】因为椭圆C1的离心率等于45,且它的一个顶点恰好是抛物线x2=40y的焦点,所以a=10,又e=ca=45,a2=b2+c2,解得b=6,c=8,所以椭圆C1的标准方程为y2100+x236=1.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=20,两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=202,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=162,两式相
16、减得2|PF1|PF2|(1+cosF1PF2)=144,又SPF1F2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=18,所以1+cosF1PF2=2sinF1PF2,解得cosF1PF2=35.设Q(x1,y1),因为点Q到抛物线焦点的距离为14,所以y1+10=14,解得y1=4,代入抛物线的方程可得|x1|=410,所以SQFO=2010.综上,BC正确.【答案】BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为4,则(a-b)(a+2b)= .【解析】(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2=1+12
17、cos4-22=-2.【答案】-214.(考点:二项式定理,)x-1xn的展开式中含x2的项为第5项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,则a1+a2+an的值为 .【解析】x-1xn的展开式的通项公式Tr+1=Cnrxn-r-x-12r=Cnr(-1)rxn-32r,因为含x2的项为第5项,所以r=4,令n-32r=2,解得n=8.在(1-3x)n中,令x=1,得a0+a1+a8=(1-3)8=28,又a0=1,所以a1+a2+a8=28-1=255.【答案】25515.(考点:新定义题型,)对于集合a1,a2,an和常数a0,定义:=sin2(a1-a0)+sin2(a2-
18、a0)+sin2(an-a0)-sin2a0n为集合a1,a2,an相对a0的“类正弦方差”.则集合6,-6相对a0的“类正弦方差”为 .【解析】由“类正弦方差”的定义知,=sin26-a0+sin2-6-a0-sin2a02=1-cos2a0-32+1-cos2a0+32-sin2a02=1-12cos2a0-3+cos2a0+3-sin2a02=1-cos2a0cos3-sin2a02=1-cos2a02-1-cos2a022=14.【答案】1416.(考点:函数与导数的综合,)若ln xx2+ax(aR)对任意正实数x恒成立,则实数a的取值范围为 .【解析】由条件可得ln x-x2ax(x0)恒成立,则当x0时,alnxx-x恒成立.令h(x)=lnxx-x(x0),则h(x)=1-x2-lnxx2,令k(x)=1-x2-ln x(x0),则当x0时,k(x)=-2x-1x0,在(1,+)上,h(x)0,所以h(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数,所以h(x)max=h(1)=-1,所以a-1.【答案】-1,+)8