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1、小题专练02函数、导数与不等式(B)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:分段函数求值,)设函数f(x)=32-x,x0,5-log3x,x0,则f(f(-2)=( ).A.-1B.1C.2D.32.(考点:函数的奇偶性,)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=-x2+x+b,则当x0时,f(x)的解析式为( ).A.f(x)=x2+xB.f(x)=x2-xC.f(x)=-x2+xD.f(x)=-x2-x3.(考点:函数值比较大小,)已知a=1e-4,b=332,c=log0.25,则a,b,c的
2、大小关系是( ).A.acbB.cbaC.bcaD.ca2在定义域内单调递增,则实数a的取值范围是( ).A.4,5)B.(4,5)C.(3,5)D.(2,5)5.(考点:均值不等式,)设a0,b0,lg 4是lg 2a与lg 8b的等差中项,则1a+1b的最小值为( ).A.22B.2+32C.32D.96.(考点:利用导数研究函数的极值,)若x=1是函数f(x)=12x2+2ax-2ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ).A.2e-3B.-2e-3C.-54D.547.(考点:函数的零点及应用,)已知函数f(x)=3x+4,x0,|22-x-2|,x0,若函数y=f(x)-a有三个零
3、点,则实数a的取值范围是( ).A.0,2B.(0,2)C.(-,02,+)D.(-,0)(2,+)8.(考点:导数的综合应用,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(-1)=1.若f(x)的导函数f(x)满足f(x)x3+2x,则不等式f(x)+94b的充要条件可以为( ).A.1a1bB.ln aln bC.aln abln bD.a-bea-eb10.(考点:函数的基本性质,)下列命题正确的是( ).A.若函数f(x)在(2020,2021)上有零点,则一定有f(2020)f(2021)0,x+y=4,则2x+2y的最小值为8B.若x0,x+y+xy=3,则xy的最小值为1D.函数y=x
4、2+6x2+2的最小值为412.(考点:导数的综合应用,)已知函数f(x)=x2+x-1ex,则下列结论正确的是( ).A.函数f(x)只有一个零点B.函数f(x)只有极大值而无极小值C.当-ek0的解集为x|-2x0,y0,且1x+4y=2,若x+ym2+32m恒成立,则实数m的取值范围是 .16.(考点:导数的综合应用,)设函数f(x)=x2+1x,g(x)=xex,则函数g(x)=xex(x0)的最大值为 ;若对任意x1,x2(0,+),不等式g(x1)kf(x2)k+1恒成立,则正数k的最小值是 .答案解析：函数、导数与不等式(B)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在
5、每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:分段函数求值,)设函数f(x)=32-x,x0,5-log3x,x0,则f(f(-2)=( ).A.-1B.1C.2D.3【解析】f(f(-2)=f(32-(-2)=f(34)=5-log334=1.故选B.【答案】B2.(考点:函数的奇偶性,)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=-x2+x+b,则当x0时,f(x)的解析式为( ).A.f(x)=x2+xB.f(x)=x2-xC.f(x)=-x2+xD.f(x)=-x2-x【解析】由题意可得,当x=0时,f(0)=b=0,因为当x0,所以f(-x)=-(-x)
6、2-x=-x2-x,所以当x0时,f(x)=-f(-x)=-(-x2-x)=x2+x.故选A.【答案】A3.(考点:函数值比较大小,)已知a=1e-4,b=332,c=log0.25,则a,b,c的大小关系是( ).A.acbB.cbaC.bcaD.cab【解析】1b=332e4=a,c=log0.250,cb2在定义域内单调递增,则实数a的取值范围是( ).A.4,5)B.(4,5)C.(3,5)D.(2,5)【解析】由题意可得5-a0,a1,(5-a)2+2a,解得4a0,b0,lg 4是lg 2a与lg 8b的等差中项,则1a+1b的最小值为( ).A.22B.2+32C.32D.9【解
7、析】lg 4是lg 2a与lg 8b的等差中项,2lg 4=lg 2a+lg 8b,即lg 16=lg(2a8b)=lg 2a+3b,a+3b=4.1a+1b=1a+1b(a+3b)14=1+14ab+3ba1+32=2+32,当且仅当ab=3ba,即a=23-2,b=6-233时取等号.1a+1b的最小值为2+32.【答案】B6.(考点:利用导数研究函数的极值,)若x=1是函数f(x)=12x2+2ax-2ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ).A.2e-3B.-2e-3C.-54D.54【解析】由题意可得f(x)=(x+2a)ex-1+12x2+2ax-2ex-1=12x2+(2a+
8、1)x+2a-2ex-1,因为f(1)=0,所以a=18,f(x)=12x2+14x-2ex-1,f(x)=12x2+54x-74ex-1.令f(x)0,解得x1;令f(x)0,解得-72x0,若函数y=f(x)-a有三个零点,则实数a的取值范围是( ).A.0,2B.(0,2)C.(-,02,+)D.(-,0)(2,+)【解析】画出f(x)的图象如图所示.要使函数y=f(x)-a有三个零点,则函数f(x)的图象与直线y=a有三个交点,结合图象可知实数a的取值范围是(0,2).【答案】B8.(考点:导数的综合应用,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(-1)=1.若f(x)的导函数f(x)满
9、足f(x)x3+2x,则不等式f(x)+94x44+x2的解集为( ).A.(0,+)B.(0,1)C.(1,+)D.(-,1)【解析】设g(x)=x44+x2-f(x),则g(x)=x3+2x-f(x).因为f(x)0,所以g(x)在R上单调递增.又f(x)是定义在R上的奇函数,则f(1)=-f(-1)=-1,所以g(1)=14+1+1=94,所以不等式f(x)+94g(1),解得x1.故选C.【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:不等式的综合应用,)若a,b为正
10、实数,则ab的充要条件可以为( ).A.1a1bB.ln aln bC.aln abln bD.a-bea-eb【解析】对于A选项,因为a,b为正实数,所以1ab,故A选项符合题意;对于B选项,因为a,b为正实数,所以ln aln bab=e,则e2ln e2=2e2,eln e=e,即aln a0时,y0,所以y=ex-x在(0,+)上单调递增,即abea-aeb-ba-bea-eb,故D选项符合题意.故选AD.【答案】AD10.(考点:函数的基本性质,)下列命题正确的是( ).A.若函数f(x)在(2020,2021)上有零点,则一定有f(2020)f(2021)0B.函数y=x+|x-4
11、|16-x2是偶函数C.若函数f(x)=lg(ax2+5x+5)的值域为R,则实数a的取值范围是0,54D.若函数f(x)满足条件f(x)-4f1x=x,(xR,x0),则f(x)=-115x+4x(x0)【解析】对于选项A,函数f(x)在(2020,2021)上有零点,不一定有f(2020)f(2021)0,=25-20a0,解得00,x+y=4,则2x+2y的最小值为8B.若x0,x+y+xy=3,则xy的最小值为1D.函数y=x2+6x2+2的最小值为4【解析】对于选项A,x,y0,x+y=4,则2x+2y22x+y=8,当且仅当2x=2y,即x=y时取等号,所以2x+2y的最小值为8,
12、故选项A正确;对于选项B,当x0,x+y+xy=3,则xy+2xy3,即0xy1,故xy1,所以xy的最大值为1,故选项C错误;对于选项D,函数y=x2+6x2+2=x2+2+4x2+22x2+24x2+2=4,当且仅当x2+2=4x2+2,即x=2时取等号,故选项D正确.故选AD.【答案】AD12.(考点:导数的综合应用,)已知函数f(x)=x2+x-1ex,则下列结论正确的是( ).A.函数f(x)只有一个零点B.函数f(x)只有极大值而无极小值C.当-ek0,得-1x2;令f(x)0,得x2,所以函数f(x)的单调递减区间是(-,-1),(2,+),函数f(x)的单调递增区间是(-1,2
13、),所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,所以B选项错误;对于选项C,当x+时,f(x)0,根据选项B可知,函数f(x)的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-ek0的解集为x|-2x0,y0,且1x+4y=2,若x+ym2+32m恒成立,则实数m的取值范围是 .【解析】由1x+4y=2可得x+y=(x+y)1x+4y12=52+12yx+4xy52+122yx4xy=92,当且仅当yx=4xy,即x=32,y=3时等号成立.又x+ym2+32m恒成立,所以m2+32mx+ymin,故m2+32m92,即2m2+3m-90,解得-3m32.【答案】-3,3216.(考
14、点:导数的综合应用,)设函数f(x)=x2+1x,g(x)=xex,则函数g(x)=xex(x0)的最大值为 ;若对任意x1,x2(0,+),不等式g(x1)kf(x2)k+1恒成立,则正数k的最小值是 .【解析】g(x)=xex(x0),g(x)=ex-xex(ex)2=1-xex,由g(x)0可得0x1,此时函数g(x)单调递增,由g(x)1,此时函数g(x)单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1e.若对任意x1,x2(0,+),不等式g(x1)kf(x2)k+1恒成立,则等价为g(x1)f(x2)kk+1恒成立,f(x)=x2+1x=x+1x2x1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故f(x)的最小值为2,且g(x)的最大值为g(1)=1e,则g(x1)f(x2)的最大值为1e2=12e.由kk+112e,得k(2e-1)1,即k12e-1,所以k的最小值为12e-1.【答案】1e 12e-1