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1、小题专练10解析几何(B)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:两条直线的位置关系,)已知直线l:x+m2y=0与直线n:x+y+m=0,则“ln”是“m=1”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(考点:双曲线性质的应用,)已知双曲线x24-y2m=1(m0)的离心率为2,则双曲线x2m-y2=1的焦距是( ).A.23B.13C.43D.2133.(考点:椭圆性质的应用,)已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m的值为( ).A.14B
2、.12C.2D.44.(考点:直线与圆的位置关系,)过圆C:(x-2)2+(y-1)2=25上一点P(-1,-3)作切线l,直线m:3x+ay=0与切线l平行,则实数a的值为( ).A.35B.2C.125D.45.(考点:求双曲线的渐近线方程,)设F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的两个焦点,若点P(0,2b),F1,F2是等腰直角三角形的三个顶点,则该双曲线的渐近线方程是( ).A.y=3xB.y=217xC.y=33xD.y=213x6.(考点:求双曲线的离心率,)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2,
3、则该双曲线C的离心率为( ).A.3B.233C.5D.2557.(考点:求双曲线的方程,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A455,255,则双曲线C的方程为( ).A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.x26-y22=1D.x22-y26=18.(考点:直线与抛物线的位置关系,)已知焦点为F的抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当|MA|MF|取得最大值时,直线MA的方程为( ).A.y=x+1或y=-x-1B.y=12x+12或y=-12x-12C.y=2x+2
4、或y=-2x-2D.y=-2x+2二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:点到直线的距离,)下列说法正确的是( ).A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件B.直线xsin -y+1=0的倾斜角的取值范围为0,434,C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切D.离心率为3的双曲线的渐近线方程为y=2x10.(考点:抛物线性质的应用,)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则
5、下列说法正确的是( ).A.以线段AB为直径的圆与直线x=-32相离B.以线段BM为直径的圆与y轴相切C.当AF=2FB时,|AB|=92D.|AB|的最小值为411.(考点:椭圆性质的应用,)设椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是( ).A.|PF1|+|PF2|=22B.离心率e=12C.PF1F2面积的最大值为2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切12.(考点:双曲线的性质综合,)已知点P是双曲线E:x216-y29=1右支上的一点,F1,F2为双曲线E的左、右焦点,PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是( ).
6、A.点P的横坐标为203B.PF1F2的周长为803C.F1PF2小于3D.PF1F2的内切圆半径为34三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:求双曲线的方程,)已知双曲线C1与双曲线C2:x22-y26=1的渐近线相同,且双曲线C1的焦距为8,则双曲线C1的方程为 .14.(考点:椭圆定义的应用,)已知P为椭圆x2100+y291=1上的一个动点,M,N分别为圆C:(x-3)2+y2=1与圆D:(x+3)2+y2=r2(0r0)的离心率为2,则双曲线x2m-y2=1的焦距是( ).A.23B.13C.43D.213【解析】由题意可得4+m2=2,解得m=12,则双曲线x
7、2m-y2=1的焦距为2m+1=212+1=213.【答案】D3.(考点:椭圆性质的应用,)已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m的值为( ).A.14B.12C.2D.4【解析】将椭圆方程化为标准方程得x2+y21m=1,由题意可得1m1,且1m=4,解得m=14.故选A.【答案】A4.(考点:直线与圆的位置关系,)过圆C:(x-2)2+(y-1)2=25上一点P(-1,-3)作切线l,直线m:3x+ay=0与切线l平行,则实数a的值为( ).A.35B.2C.125D.4【解析】由题意得kPC=1-(-3)2-(-1)=43,所以切线的斜率为-34.所以-3
8、a=-34,解得a=4.【答案】D5.(考点:求双曲线的渐近线方程,)设F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的两个焦点,若点P(0,2b),F1,F2是等腰直角三角形的三个顶点,则该双曲线的渐近线方程是( ).A.y=3xB.y=217xC.y=33xD.y=213x【解析】设F1(-c,0),F2(c,0).F1,F2,P是等腰直角三角形的三个顶点,c=2b,c2=a2+b2=4b2,即a2=3b2,ba=33,该双曲线的渐近线方程为y=33x.【答案】C6.(考点:求双曲线的离心率,)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0所
9、截得的弦长为2,则该双曲线C的离心率为( ).A.3B.233C.5D.255【解析】双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,依据对称性,不妨取y=bax,即bx-ay=0.又曲线方程x2+y2-4x+2=0可化为(x-2)2+y2=2,则其是圆心坐标为(2,0),半径为2的圆.由题意得,圆心到该渐近线的距离d=(2)2-12=1,又由点到直线的距离公式可得d=|2b-0|b2+a2=1,解得b2a2=13,所以e=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=233.【答案】B7.(考点:求双曲线的方程,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为
10、F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A455,255,则双曲线C的方程为( ).A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.x26-y22=1D.x22-y26=1【解析】因为双曲线的渐近线方程为y=bax,所以由点到直线的距离公式可得出右焦点F到渐近线的距离为b.由题意可得|OA|2=c2-b2=a2=4,且ba=12,所以b2=1,即双曲线C的方程为x24-y2=1.【答案】B8.(考点:直线与抛物线的位置关系,)已知焦点为F的抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当|MA|MF|取得最大值时,直线MA的方程为( ).A.y=x+1或
11、y=-x-1B.y=12x+12或y=-12x-12C.y=2x+2或y=-2x-2D.y=-2x+2【解析】过点M作MP与准线垂直,垂足为P,则|MA|MF|=|MA|MP|=1cosAMP=1cosMAF,则当|MA|MF|取得最大值时,MAF最大,此时AM与抛物线C相切,易知此时直线AM的斜率存在,设切线方程为y=k(x+1),联立y=k(x+1),y2=4x,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由=16-16k2=0,解得k=1,则直线AM的方程为y=(x+1).【答案】A二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分
12、,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:点到直线的距离,)下列说法正确的是( ).A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件B.直线xsin -y+1=0的倾斜角的取值范围为0,434,C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切D.离心率为3的双曲线的渐近线方程为y=2x【解析】对于选项A,由点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3,可得|6+4+c|5=3,解得c=5或-25,所以“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充分不必要条件,故选项A错误;对于选项B,直线xsin -y+1=0的
13、斜率k=sin -1,1,设直线的倾斜角为,则0tan 1或-1tan 0,n0),由PF1F2的面积为20,可得12|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,由m216-169=1,可得m=203,故A正确;由P203,4,且F1(-5,0),F2(5,0),可得kPF1=1235,kPF2=125,则tan F1PF2=125-12351+1251235=360319(0,3),则F1PF23,故C正确;由|PF1|+|PF2|=16+3532+16+532=373+133=503,则PF1F2的周长为503+10=803,故B正确;设PF1F2的内切圆半径为r,可得12r(|PF1|+
14、|PF2|+|F1F2|)=20,解得r=32,故D错误.【答案】ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:求双曲线的方程,)已知双曲线C1与双曲线C2:x22-y26=1的渐近线相同,且双曲线C1的焦距为8,则双曲线C1的方程为 .【解析】设双曲线C1的方程为x22-y26=(0),故x22-y26=1(0),则2+6=16或-2-6=16,解得=2或=-2,故双曲线C1的方程为x24-y212=1或y212-x24=1.【答案】x24-y212=1或y212-x24=114.(考点:椭圆定义的应用,)已知P为椭圆x2100+y291=1上的一个动点,M,N分别为圆
15、C:(x-3)2+y2=1与圆D:(x+3)2+y2=r2(0r3)上的动点,若|PM|+|PN|的最小值为17,则r= .【解析】由题意可得,C(3,0),D(-3,0)恰好为椭圆的两个焦点,且|PM|PC|-1,|PN|PD|-r,所以|PM|+|PN|PC|+|PD|-1-r=2a-1-r.因为a2=100,解得a=10,所以20-1-r=17,解得r=2.【答案】215.(考点:直线与双曲线的位置关系,)已知直线l与双曲线y2-2x2=1交于A,B两点,当A,B两点的对称中心的坐标为(1,1)时,直线l的方程为 .【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,则y12
16、-2x12=1,y22-2x22=1,两式相减得到(y1+y2)(y1-y2)-2(x1+x2)(x1-x2)=0,将x1+x2=2,y1+y2=2代入上式,化简得k=2.故直线l的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0.【答案】2x-y-1=016.(考点:双曲线的几何性质的应用,)已知A,B分别是双曲线C:x2-y22=1的左、右顶点,P为C上一点,且点P在第一象限.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,k1的值为 ,PAB的重心坐标为 .【解析】由题意知A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则k1=yx+1,k2=yx-1,k1k2=y2x2-1=2,2k1+k222k1k2=4,当且仅当2k1=k2时取等号,此时k1=1,直线PA的方程为y=x+1;k2=2,直线PB的方程为y=2(x-1).联立y=x+1,y=2(x-1),解得x=3,y=4,P(3,4),PAB的重心坐标为-1+1+33,0+0+43,即1,43.【答案】1 1,439