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1、小题专练05数列(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:等差数列,)设等差数列an的前n项和为Sn,且S9=27,a15=-4,则S19=( ).A.9B.12C.-9D.-1922.(考点:等比数列,)已知Sn是等比数列an的前n项和,a7=27a4,S4=80,则a1=( ).A.2B.3C.-3D.-23.(考点:等差数列与等比数列的综合,)已知数列2,a1,a2,10成等差数列,1,b1,b2,b3,16成等比数列,则a1+a2b2的值为( ).A.2B.-2C.3D.-34.(考点:等比数列与传统文化,
2、)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第三天走了( ).A.60里B.48里C.32里D.24里5.(考点:等差数列的性质,)一个等差数列an的前n项和为30,前2n项和为50,则前3n项和为( ).A.30B.60C.70D.806.(考点:等差数列,)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a5=-16,S9=-63,则使得Sn取最小值的n的值为( ).A.17B.
3、17或18C.18或19D.197.(考点:等差数列与均值不等式,)设a0,b0,lg 4是2lg 2a与lg 2b的等差中项,则2a+1b的最小值为( ).A.94B.74C.54D.18.(考点:等差数列的前n项和,)已知数列an满足an+1-an=1,且a6,a8,a9成等比数列.若an的前n项和为Sn,则Sn的最小值为( ).A.3B.-3C.-40D.-45二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:等差数列,)已知数列an是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且满足
4、a1+5a3=S8,则下列选项中正确的是( ).A.a10=0B.S7=S12C.Sn的最小值为S10 D.S20=010.(考点:等比数列,)设等比数列an的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a11,a2007a20081,a2007-1a2008-10,则下列结论正确的是( ).A.T2007T2008B.a2007a2009-1433,则n的最小值为5D.若am+an=a2+a10,则1m+16n的最小值为2512三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:等比数列的前n项和,)已知在等比数列an中,a1+a2=2,a4+a5=-16,则an的前5项
5、和为 .14.(考点:数列的综合应用,)已知数列an的通项公式是an=n2+kn+4.若k=-5,则an的最小值为 ;若对于nN*,都有an+1an,则实数k的取值范围为 .15.(考点:数列求和,)已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=a2n-2,则an2的前n项和为 .16.(考点:等差数列的综合,)已知两等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=5n+22n+3,则a3+a20b8+b15= .答案解析：1.(考点:等差数列,)设等差数列an的前n项和为Sn,且S9=27,a15=-4,则S19=( ).A.9B.12C.-9D.-192【解析】由等差数列前n项和公式
6、可得S9=(a1+a9)92=27,a1+a9=2a5=6,a5=3.又a15=-4,S19=19(a5+a15)2=-192.【答案】D2.(考点:等比数列,)已知Sn是等比数列an的前n项和,a7=27a4,S4=80,则a1=( ).A.2B.3C.-3D.-2【解析】设等比数列的公比为q,由a7=27a4,即a7a4=q3=27,解得q=3,又由等比数列求和公式得S4=a1(1-34)1-3=80,解得a1=2.【答案】A3.(考点:等差数列与等比数列的综合,)已知数列2,a1,a2,10成等差数列,1,b1,b2,b3,16成等比数列,则a1+a2b2的值为( ).A.2B.-2C.
7、3D.-3【解析】由题意得a1+a2=12,b22=16,且1,b2,16同号,所以b2=4,所以a1+a2b2=3.【答案】C4.(考点:等比数列与传统文化,)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第三天走了( ).A.60里B.48里C.32里D.24里【解析】由题意可得这个人每天走的路程成等比数列,且公比q=12,n=6,S6=378,故a11-1261-12=378
8、,解得a1=192,故a3=a1q2=19214=48.【答案】B5.(考点:等差数列的性质,)一个等差数列an的前n项和为30,前2n项和为50,则前3n项和为( ).A.30B.60C.70D.80【解析】Sn=30,S2n=50,S2n-Sn=20,又Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列,S3n-S2n=10,S3n=50+10=60.【答案】B6.(考点:等差数列,)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a5=-16,S9=-63,则使得Sn取最小值的n的值为( ).A.17B.17或18C.18或19D.19【解析】由题意可得a1+a5=2a3=-16,故a3=-8.因
9、为S9=-63,所以9a5=-63,故a5=-7.所以2d=a5-a3=1,即d=12,所以an=a3+(n-3)d=-8+(n-3)12=n2-192.令an=n2-1920,则n19,且当n=19时,an=0,所以当n=18或n=19时,Sn取得最小值.【答案】C7.(考点:等差数列与均值不等式,)设a0,b0,lg 4是2lg 2a与lg 2b的等差中项,则2a+1b的最小值为( ).A.94B.74C.54D.1【解析】lg 4是2lg 2a与lg 2b的等差中项,2lg 4=lg 22a+lg 2b,即lg 24=lg(22a2b)=lg 22a+b,2a+b=4.2a+1b=2a+
10、1b(2a+b)14=54+142ba+2ab54+1=94,当且仅当2ba=2ab,即a=b=43时,等号成立,2a+1b的最小值为94.【答案】A8.(考点:等差数列的前n项和,)已知数列an满足an+1-an=1,且a6,a8,a9成等比数列.若an的前n项和为Sn,则Sn的最小值为( ).A.3B.-3C.-40D.-45【解析】由题意可知an为等差数列,公差d=1,由a6,a8,a9成等比数列,可得a82=a6a9,所以a82=(a8-2)(a8+1),解得a8=-2.因为a8=a1+7d,所以a1=-9.所以Sn=-9n+n(n-1)21=12(n2-19n)=12n-1922-3
11、618.故当n=9或n=10时,Sn取到最小值,最小值为-45.【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:等差数列,)已知数列an是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且满足a1+5a3=S8,则下列选项中正确的是( ).A.a10=0B.S7=S12C.Sn的最小值为S10 D.S20=0【解析】设等差数列an的公差为d(d0),由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,故选项A正确.因为S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0
12、,所以S7=S12,故选项B正确.当d0时,Sn的最小值为S9或S10,当d1,a2007a20081,a2007-1a2008-10,则下列结论正确的是( ).A.T2007T2008B.a2007a2009-10C.T2007是数列Tn中的最大值D.数列Tn无最大值【解析】当q0时,a2007a2008=a20072q1,a20081,a2007-1a2008-10,不成立,当0q1,且0a2008T2008,故A错误;a2007a2009-1=a20082-114,故B正确;对于C项,由于378-192=186,192-186=6,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,故C正确;
13、对于D项,由于a4+a5+a6=19218+116+132=42,故D正确.【答案】BCD12.(考点:数列的综合应用,)已知等差数列an的首项为3,公差为2,前n项和为Sn,则下列结论成立的有( ).A.数列Snn的前10项和为100B.若a1,a4,am成等比数列,则m=13C.若i=1n1aiai+1433,则n的最小值为5D.若am+an=a2+a10,则1m+16n的最小值为2512【解析】由已知可得,an=2n+1,Sn=n2+2n,对于A项,Snn=n+2,则数列Snn为等差数列,其前10项和为10(3+12)2=75,故A错误;对于B项,若a1,a4,am成
14、等比数列,则a42=a1am,am=27,即am=2m+1=27,解得m=13,故B正确;对于C项,因为1aiai+1=1212i+1-12i+3,所以i=1n1aiai+1=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=n6n+9433,解得n4,故n的最小值为5,故C正确;对于D项,由等差数列的性质可知,m+n=12,所以1m+16n=1121m+16n(m+n)=1121+nm+16mn+16112(17+24)=2512,当且仅当nm=16mn,即n=4m=485时取等号,因为m,nN*,所以n=4m=485不成立,故D错误.【答案】BC三、填空题:本题共4小
15、题,每小题5分,共20分.13.(考点:等比数列的前n项和,)已知在等比数列an中,a1+a2=2,a4+a5=-16,则an的前5项和为 .【解析】a4+a5a1+a2=q3=-8,q=-2,a1(1+q)=2,解得a1=-2,an的前5项和S5=a1(1-q5)1-q=-2(1+25)1+2=-22.【答案】-2214.(考点:数列的综合应用,)已知数列an的通项公式是an=n2+kn+4.若k=-5,则an的最小值为 ;若对于nN*,都有an+1an,则实数k的取值范围为 .【解析】若k=-5,则an=n2-5n+4=n-522-94,由二次函数的性质得,当n=2或n=3时,an取得最小
16、值,其最小值为a2=a3=-2.由an+1an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以-k2-3,所以实数k的取值范围为(-3,+).【答案】-2 (-3,+)15.(考点:数列求和,)已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=a2n-2,则an2的前n项和为 .【解析】由题意知等比数列an的前n项和为Sn=a11-q-a11-qqn=a2n-2,所以a11-q=-2,解得a=2,q=2,a1=2.所以an=2n,所以an2=4n,所以an2的前n项和为4(1-4n)1-4=4n+1-43.【答案】4n+1-4316.(考点:等差数列的综合,)已知两等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=5n+22n+3,则a3+a20b8+b15= .【解析】因为数列an和bn为等差数列,所以a3+a20b8+b15=a1+a22b1+b22=(a1+a22)222(b1+b22)222=S22T22=522+2222+3=11247.【答案】112478