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1、小题专练13一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:集合,)设集合A=1,2,3,6,B=x|x2-3x0,则AB=( ).A.1,2,3,6B.1,2,6C.3,6D.62.(考点:复数,)已知i是虚数单位,若复数z满足z(1-i)=(1+i)2,则|z|=( ).A.1B.2C.2D.33.(考点:等差数列,)在等差数列an中,a4=2,a8=6,则a20=( ).A.17B.18C.19D.204.(考点:平面向量,)在ABC中,BM=MC,AC=3AE,若EM=mAC+nAB,则m+n=( ).A.56B.23
2、C.12D.135.(考点:双曲线,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=43x,则此双曲线的离心率为( ).A.53B.43C.54D.726.(考点:三角恒等变换,)已知tan =3400)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( ).A.12B.6C.3D.56二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:分层抽样,)某中学有高中学生3000人,现采用分层抽样的方法从该校抽取部分学生参加志愿服务,已知该校高二年级1300人中抽取了13
3、0人,高一年级抽取的人数比高三年级多10人,则下列说法正确的有( ).A.每个人被抽到的概率不一定相等B.抽取的总人数为300C.高一年级共抽取了70人参加志愿服务D.该中学高三年级的人数为80010.(考点:等比数列,)已知数列an的前n项和为Sn,a1+a2=4,Sn=an+1-12,则下列结论正确的是( ).A.a1=1B.数列an是等比数列C.an=3n-2D.S6=36411.(考点:抛物线,)如图,已知点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,AB是经过点F的弦,过点A,B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则下列结论中一定成立的是( ).A.|AB|=pB.若AB的倾斜角
4、为4,则|AF|BF|=2p2C.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切D.1|AF|+1|BF|=2p12.(考点:函数与导数的综合运用,)已知函数f(x)=ex(x3+mx2-2x+2),则下列结论正确的是( ).A.f(x)的定义域为RB.当m=-2时,f(x)在(-,-3)上单调递减C.当m=-2时,f(x)的极小值为-37e-3D.若f(x)在-2,-1上单调递增,则实数m的取值范围为(-,6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:二项式定理,)x-1x4的展开式中的常数项为 .14.(考点:古典概型,)五一期间,甲、乙两人决定随机从A,B,C三个景区中选择一个景区
5、进行游玩,甲、乙两人互不影响,则甲、乙两人同去一个景区的概率为 .15.(考点:立体几何的综合,)在如图所示的正方体中,若三棱锥P-ABC外接球的半径为3,则球心到平面ABC的距离为 .16.(考点:解三角形,)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AC上靠近点A的三等分点,BDBC=0,ABD=6,若BD=3,则ABBC= ,ABC的面积为 .答案解析：1.(考点:集合,)设集合A=1,2,3,6,B=x|x2-3x0,则AB=( ).A.1,2,3,6B.1,2,6C.3,6D.6【解析】因为A=1,2,3,6,B=x|x2-3x0=x|x0或x3,所以AB=3,6.故选C
6、.【答案】C2.(考点:复数,)已知i是虚数单位,若复数z满足z(1-i)=(1+i)2,则|z|=( ).A.1B.2C.2D.3【解析】因为z(1-i)=(1+i)2=2i,所以z=2i1-i,故|z|=|2i|1-i|=22=2.【答案】B3.(考点:等差数列,)在等差数列an中,a4=2,a8=6,则a20=( ).A.17B.18C.19D.20【解析】设等差数列an的首项为a1,公差为d,因为a4=2,a8=6,所以a1+3d=2,a1+7d=6,解得a1=-1,d=1,所以a20=a1+19d=18,故选B.【答案】B4.(考点:平面向量,)在ABC中,BM=MC,AC=3AE,
7、若EM=mAC+nAB,则m+n=( ).A.56B.23C.12D.13【解析】如图,因为BM=MC,AC=3AE,所以EC=23AC,所以EM=EC+CM=23AC+12CB=23AC+12(AB-AC)=12AB+16AC.故m+n=12+16=23.【答案】B5.(考点:双曲线,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=43x,则此双曲线的离心率为( ).A.53B.43C.54D.72【解析】因为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=43x,所以ba=43.又a2+b2=c2,所以c2=a2+169a2=259a2,所以e=ca=53.故
8、选A.【答案】A6.(考点:三角恒等变换,)已知tan =3402,则cos54-=( ).A.-3210B.225C.-7210D.325【解析】因为tan =3400,排除B选项.故选D.【答案】D8.(考点:三角函数的图象,)定义一种运算:(a1,a2)(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(3,sin x)(-1,cos x)的图象向左平移m(m0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( ).A.12B.6C.3D.56【解析】函数f(x)=3cos x+sin x=2sinx+3的图象向左平移m个单位长度后,得到
9、函数y=2sinx+3+m的图象,因为函数y=2sinx+3+m的图象关于y轴对称,所以函数y=2sinx+3+m为偶函数,则有3+m=k+2(kZ),解得m=k+6(kZ).当k=0时,m取得最小值,最小值为6.【答案】B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:分层抽样,)某中学有高中学生3000人,现采用分层抽样的方法从该校抽取部分学生参加志愿服务,已知该校高二年级1300人中抽取了130人,高一年级抽取的人数比高三年级多10人,则下列说法正确的有( ).A.每个人被抽到的
10、概率不一定相等B.抽取的总人数为300C.高一年级共抽取了70人参加志愿服务D.该中学高三年级的人数为800【解析】分层抽样中每个人被抽到的概率是相等的,故A错误;设抽取的总人数为x,则x30001300=130,解得x=300,故B正确;高一年级和高三年级共抽取了300-130=170人,设高三年级抽取的人数为y,则y+y+10=170,解得y=80,所以高一年级共抽取了90人参加志愿服务,故C错误;高三年级的人数为300030080=800.故D正确.综上,BD正确.【答案】BD10.(考点:等比数列,)已知数列an的前n项和为Sn,a1+a2=4,Sn=an+1-12,则下列结论正确的是
11、( ).A.a1=1B.数列an是等比数列C.an=3n-2D.S6=364【解析】由题意,a1+a2=4,a2=2a1+1a1=1,a2=3,再由Sn=an+1-12,Sn-1=an-12(n2)an+1-an=2anan+1=3an(n2),又a2=3a1,所以an+1=3an(n1),所以数列an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=13n-1=3n-1,S6=1-361-3=364,故选ABD.【答案】ABD11.(考点:抛物线,)如图,已知点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,AB是经过点F的弦,过点A,B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则下列结论中一定成立的是(
12、 ).A.|AB|=pB.若AB的倾斜角为4,则|AF|BF|=2p2C.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切D.1|AF|+1|BF|=2p【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+x2+p,故A错误;若AB的倾斜角为4,则|AF|=p1-cos 4,|BF|=p1+cos 4,|AF|BF|=p21-222=2p2,故B正确;设AB的中点为M,M到准线的距离为d,则d=|AA1|+|BB1|2=|AF|+|BF|2=|AB|2,所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,故C正确;当直线AB的斜率不存在时,1|AF|
13、+1|BF|=1|AA1|+1|BB1|=1x1+p2+1x2+p2=1p+1p=2p,当直线AB的斜率存在时,设其斜率为k,联立抛物线的方程与直线AB的方程,整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,则x1+x2=2pk2+p,x1x2=p24,所以1|AF|+1|BF|=1|AA1|+1|BB1|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=2pk2+2pp2+p2k2=2p,故D正确.【答案】BCD12.(考点:函数与导数的综合运用,)已知函数f(x)=ex(x3+mx2-2x+2),则下列结论正确的是( ).A.f(x)的定义域为RB.当m
14、=-2时,f(x)在(-,-3)上单调递减C.当m=-2时,f(x)的极小值为-37e-3D.若f(x)在-2,-1上单调递增,则实数m的取值范围为(-,6【解析】显然f(x)的定义域为R,故A正确.当m=-2时,f(x)=ex(x3-2x2-2x+2),则f(x)=ex(x3-2x2-2x+2)+ex(3x2-4x-2)=xex(x2+x-6)=x(x+3)(x-2)ex,所以当x(-,-3)或x(0,2)时,f(x)0,所以f(x)在(-,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,故B正确.当x=-3或x=2时,f(x)取得极小值,极小值分
15、别为-37e-3和-2e2,故C错误.f(x)=ex(x3+mx2-2x+2)+ex(3x2+2mx-2)=xexx2+(m+3)x+2m-2,因为f(x)在-2,-1上单调递增,所以当x-2,-1时,f(x)0,又因为当x-2,-1时,xex0,所以当x-2,-1时,x2+(m+3)x+2m-20,则(-2)2-2(m+3)+2m-20,(-1)2-(m+3)+2m-20,解得m4,故D错误.综上,AB正确.【答案】AB三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:二项式定理,)x-1x4的展开式中的常数项为 .【解析】x-1x4的展开式的通项公式为Tr+1=C4rx4-r-
16、1xr=(-1)rC4rx4-2r,令4-2r=0,得r=2,所以展开式的常数项为T3=(-1)2C42=6.【答案】614.(考点:古典概型,)五一期间,甲、乙两人决定随机从A,B,C三个景区中选择一个景区进行游玩,甲、乙两人互不影响,则甲、乙两人同去一个景区的概率为 .【解析】因为甲、乙两人去景区进行游玩的所有事件有33=9个,其中甲、乙两人同去一个景区的事件有3个,所以两人同去一个景区的概率为39=13.【答案】1315.(考点:立体几何的综合,)在如图所示的正方体中,若三棱锥P-ABC外接球的半径为3,则球心到平面ABC的距离为 .【解析】设正方体的棱长为a,则3a2=(23)2=12
17、,得a=2,所以AB=BC=AC=22.由VP-ABC=VB-APC得13SABCh=13SAPCBP,即1312(22)232h=1312222,得h=233,所以球心到截面ABC的距离d=3-233=33.【答案】3316.(考点:解三角形,)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AC上靠近点A的三等分点,BDBC=0,ABD=6,若BD=3,则ABBC= ,ABC的面积为 .【解析】如图,设CD=2x,则AD=x.因为BDBC=0,ABD=6,所以ABC=23.在RtBCD中,CB=CDsinCDB=2xsinCDB. 在ADB中,由正弦定理可得ABsinBDA=ADsinDBA, 则AB=ADsinBDAsinDBA=2xsinADB. 因为BDA+CDB=,所以sinBDA=sinCDB. 联立可得ABBC=1,所以ABC是顶角为23的等腰三角形,所以C=6.因为BD=3,所以BC=3tan6=3,所以ABC的面积为12BCABsin23=934.【答案】1 9348