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1、,;,.,.?,在过去的学习中 我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面 直边图形 的面积 物理中 我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等 在数学和物理中我们还经常会 遇到计算平面曲线围成的平面曲边图形 的面积、变速直线运动物体位移、变力做功的问题 如何解决这些问题呢 能否把求 曲边图形 面积转化为求 直边图形 面积 能否利用匀速直线运动的知识 解决变 速直线运动的问题 为此 我们需要学习新的.数学知识定积分 2,(,).,.,yxyxyxIyfxII在学习过的函数中 许多函数 例如等 的图形都是某个区间 上的一条连续不断的曲线 一般地 如果函数在某个区间 上的图象是一条
2、连续不断的曲线 那么我们就把它称为区间 上的连续函数如不加说明 下面研究都是连续函数的abxy xfy o af bf15.1 图图 ,1.51,0,?,xa xbabyyfxyfx思考图中 阴影把由直线和曲线所围成的图形称为曲边部分类似于一个梯形 但有一边是曲线的一段 我们如何计算这个曲边梯形的梯面积呢形?S)25.1(0y, 1xxy:2的面积的面积阴影部分阴影部分中中图图所围所的平面图形所围所的平面图形与直线与直线如何求抛物线如何求抛物线形形下面先研究一个特殊情下面先研究一个特殊情.xy0y, 1x,0 x25.12成的曲边梯形成的曲边梯形所围所围和曲线和曲线看成是直线看成是直线中的图形
3、可以中的图形可以图图1.52?S思考图中的曲边梯形与我们熟悉的的主要区别是什么 能否将求这个曲边梯形面积的问题直边图形直边转化为求面形积问题图25.1图图ox1y2xy S.,25.1,直线段直线段的所有边都是的所有边都是直边图形直边图形而而前者有一边是曲线段前者有一边是曲线段别是别是的主要区的主要区直边图形直边图形梯形与梯形与中的曲边中的曲边图图可以发现可以发现,.,(),1.52?在过去的学习中 我们曾经用多边形逼近圆的方法 利用多边形面积求出圆的面积 这种的思想启发我们 是否也能用直边形 比如矩形 逼近曲边梯形的以直代曲阴影部分方法 求中面积图呢25.1图图ox1y2xy S35.1图图
4、ox1y2xy n1ini 0,1:11 21110,1nnnn nnn 分割区间分成在上间隔地插入个点 将它小区间等个1,1,2,11,.,iiiiniixnnnnn记第 个区间为其长度为轴的个点作分别过上述x1n.SS,.S,S,s,35.1n,n1iin21 显然它们的面积记作图个小曲边梯形把曲边梯形分成垂线35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo 222.1,11.53,1.,iif xxnxf xxinixnnfn记如图当 很大 即很小时 在区间上 可以认为函数的值变化很小 近似等于一个常数 不妨认为它近似地等于左端点处的函数值从图形上看 就是用
5、平行于 轴的直近似代替线段近似35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo21.54 .,1,11,.11,2,iiiiSiSfxniiniiSSnnnn 地代替小曲边梯形的曲边 图这样 在区间上 用小矩形的面积近似地代替即在局部小范围内以直代曲 则有 21112 ,1.541113nnniniiniiSfxSiSnnn由图中阴影部分的面和积求为n1n1n102n1n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得 10,14,8,20,1.55 ,4111111limlimlim,1110,1
6、1,21133.23nnnnnininxSSSnnSfnnnn分别将区间等分成等份图可以看到 当 趋向于无穷大 即趋向于 时趋向于从而有取极限 55.1图图oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo.势势数值上看出这一变化趋数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从我们通过下表还可以从n1 , 0的等分数的等分数区间区间nSS的近似值的近似值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0 ?,fni,n
7、1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情情况况又又怎怎样样作作为为近近似似值值的的函函数数值值处处取取任任意意吗吗这这个个值值也也是是若若能能求求出出的的值值吗吗用用这这种种方方法法能能求求出出处处的的函函数数值值点点上上的的值值近近似似地地等等于于右右端端区区间间在在如如果果认认为为函函数数中中近近似似代代替替在在探探究究 y n1n2nknnx2xy (过剩近似值)11S=limlimnnnniiSfnn 222231lim 1 2(n 1 )nnn 31(1)(21)=limn6nn nn1111=lim(1)(2.63nnn） .31fn1limxfl
8、imS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明,1.5 1,.一般地 对如图所示的曲边梯形 我们也可以采分割近似代替、求和、取用、的方法求限出其极面积abxy xfy o af bf15.1 图图 小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积面积的方法的方法（1 1）分分 割割 （2 2）近似代替近似代替 （4 4）取极限取极限 （3 3）求和求和 ,1),21,(nnbaibaiiiaannxn b-a等分区间 a,b得区间长度第 个区间为(1),1,2,.,ib a iSfx inn1(1)nnibaiSfxn 1limniniSfx1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC1,iixx练 习