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1、1.5 1.5 定积分的概念定积分的概念 1.曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，由由连连续续曲曲线线y y=f f(x x)，直直线线x x=a a、x x=b b及及x x轴轴所所围围成成的的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f(x)一一.求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附近的曲线，附近的曲线，也就是说：在点也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线即在很小范围附近，曲线可以看作直线即在很小范围内以直代曲内以直代曲P放大放大再放大再放大PP y=f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的
2、面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2A3A4 y=f(x)bax yOA A1+A2+An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 2 2曲
3、边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。假设假设“梯形梯形 很窄，很窄，可近似地用矩形面积代替可近似地用矩形面积代替 以直代曲以直代曲 例例1.1.求抛物线求抛物线y y=x x2 2、直线直线x x=1=1和和x x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积。解把底边解把底边0,10,1分成分成n n等份等份,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线,这这样曲边三角形被分成样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条,用矩形来近似代替用矩形来近
4、似代替,然后把这然后把这些小矩形的面积加起来些小矩形的面积加起来,得到一个近似值得到一个近似值:因此因此,我们有理由相我们有理由相信信,这个曲边三角形这个曲边三角形的面积为的面积为:小结小结:求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 有有理理由由相相信信，分分点点越越来来越越密密时时，即即分分割割越越来来越越细细时时，矩矩形形面面积积和和的的极极限限即即为为曲曲边形的面积。边形的面积。1 1分割分割 2 2近似代替近似代替 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。（4 4）取极限取极限 3 3求面积的和求面积的和 汽车行驶的路程汽车行驶的路程O Ov t t12O Ov t t12上图中上图中:所有小矩形的面积之和所有小矩形的面积之和,其极限就其极限就是由直线是由直线x=0,x=1x=0,x=1和曲线和曲线v(t)=-tv(t)=-t2 2+2+2所围所围成的曲边梯形的面积成的曲边梯形的面积.