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1、1.5 1.5 定积分的概念定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积 一般地一般地, ,如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间D D上上的图象是一条连续不断的曲线的图象是一条连续不断的曲线, ,那么就把它那么就把它称为区间称为区间I I上的上的连续函数连续函数. .aboxyaboxy 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连在直角坐标系中，由连续曲线续曲线y y= =f f( (x x) )，直线，直线x x= =a a、x x= =b b及及x x轴所围成的轴所围成的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax
2、=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）看作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形
3、的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A近近似为似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 2 2曲边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩
4、形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。 若若“梯形梯形” ” 很窄，很窄，可近似地用矩形面积代替可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？在不很窄时怎么办？ 以直代曲以直代曲 Oabxy)(xfy Oabxy)(xfy（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求抛物线求抛物线y=x
5、2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。（2 2） 近似代替近似代替n1)n1i(x)n1i(fS2i（3 3）求和）求和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 (不足近似值)（4 4）取极限）取极限1111(1)(2)6nn31S.3S 所所以以2222(1)(21)1236n nnn31 1111(n1)n(2n1)(1)(2)n 66nnS 当分割的份数无限多,即n ,x 0时分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限 n1n2nknnxy2xy O n1n2nknnxOy2xy
6、不足近似值过剩近似值 小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （4 4）取极限取极限 n （3 3）求和求和 1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC1,iixx练 习