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1、1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程 这些图形的面积该怎样计算？这些图形的面积该怎样计算？ 例题（阿基米德问题）：求由抛物线例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图形的面所围成的平面图形的面积积 Archimedes，约公元前约公元前287年年约公元前约公元前212年年问题问题1 1：我们是怎样计：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率算圆的面积的？圆周率是如何确定的？是如何确定的？问题问题2 2：“割圆术割圆术”是是怎样操作的？对我们有怎样操作的？对我们有何启示？何启示？x xy y1.1.了解定
2、积分的基本思想了解定积分的基本思想“以直代曲以直代曲”“”“逼近逼近”的思的思想想. .（重点）（重点）2.“2.“以直代曲以直代曲”“”“逼近逼近”的思想的形成与求和符号的思想的形成与求和符号. .（难点）（难点） 曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=x=a,xa,x= =b(ab),yb(ab),y=0=0和曲线和曲线y=y=f(xf(x) )所围成的图形称所围成的图形称为曲边梯形为曲边梯形 如何求曲边梯如何求曲边梯形的面积？形的面积？abf(a)f(b)y=f(x)xyO对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边
3、曲边” （即在很小范围内以直代曲（即在很小范围内以直代曲) )探究点探究点1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 直线直线x x 1 1，y y 0 0及曲线及曲线y y x x2 2所围成的图形（曲边所围成的图形（曲边梯形）面积梯形）面积S S是多少？是多少？为了计算曲边梯形的面积为了计算曲边梯形的面积S S，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形，x yO1方案方案1 1方案方案2 2方案方案3 3y=xy=x2 2解题思想解题思想“细分割、近似和、渐逼近细分割、近似和、渐逼近” 下面用第一种方案下面用第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程（1 1）分割）分割把区
4、间把区间00，11等分成等分成n n个小区间：个小区间：11 2i 1 in1 n0,nn nnnnnii 11 x nnn 过各区间端点作过各区间端点作x x轴的垂线，轴的垂线，从而得到从而得到n n个小曲边梯形，它个小曲边梯形，它们的面积分别记作们的面积分别记作12inS, S, , S, , S. 每个区间长度为每个区间长度为1niiSS（2 2） 近似代替近似代替2ii 1i 11Sf() x()nnn （3 3）求和）求和n12nii 1nn2i 1i 122223SSSSS ,i-1 1i-11 f()()nnnn1 012(n1) n (i=1,2,n)(i=1,2,n)（4 4
5、）取极限）取极限n n当当分分割割无无限限变变细细，即即x x 0 0( (亦亦即即n n + +) )时时，1 11 11 11 1S S = = l li im m1 1- -1 1- -= =3 3n n2 2n n3 31 1即即所所求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为. .3 331 (n1)n(2n1)n6111(1)(1)3n2n演示演示观察以下演示，注意当分割加细时，矩观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯
6、形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.2 2观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细
7、时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演
8、示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.区间区间0,10,1的等分数的等分数n nS S的近似值的近似值S Sn n2 20.12
9、5 000 000.125 000 004 40.218 750 000.218 750 008 80.273 437 500.273 437 5016160.302 734 380.302 734 3832320.317 871 090.317 871 0964640.325 561 520.325 561 521281280.329 437 260.329 437 262562560.331 382 750.331 382 755125120.332 357 410.332 357 41102410240.332 845 210.332 845 21204820480.333 089 23
10、0.333 089 23我们还可以从数值上看出这一变化趋势我们还可以从数值上看出这一变化趋势 20111,11limlim.3iinniixniiiif xxfnnSfxfn 取取在在区区间间上上任任意意一一点点 处处的的值值作作为为近近似似值值，都都有有分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限一般地，对于曲边梯形，我们也可采用一般地，对于曲边梯形，我们也可采用的方法，求其面积的方法，求其面积. .思考思考1 1：已知物体运动路程与时间的关系已知物体运动路程与时间的关系, ,怎样求物体的怎样求物体的运动速度？运动速度？探究点探究点2 2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程思考思考2 2：已知物体
11、运动速度为已知物体运动速度为v v( (常量常量) )及时间及时间t t，怎么，怎么求路程？求路程？1SD2SD2( )2v ttO Ov t t 12ggggg3SDjSDnSD1 1n n2 2n n3 3n nj jn nn - 1n - 1n n4SDotv12tv265.1图图,( ),. vv tatb一一般般地地 如如果果物物体体做做变变速速直直线线运运动动 速速度度函函数数为为那那么么我我们们也也可可采采用用分分割割、近近似似代代替替、求求和和、取取极极限限的的方方法法 求求出出它它在在内内的的位位移移s s2lim0,1,02.nnSSttvvt 从从而而，汽汽车车行行驶驶的
12、的路路程程在在数数值值上上等等于于由由直直线线和和曲曲线线所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积例例 弹簧在拉伸过程中弹簧在拉伸过程中, ,力与伸长量成正比力与伸长量成正比, ,即力即力 F(xF(x)=)=kxkx (k (k是常数是常数,x,x是伸长量是伸长量).).求弹簧从平衡位置求弹簧从平衡位置拉长拉长b b所做的功所做的功. .将区间将区间0,b n等分等分:解：解：W=W=Fx,F(xFx,F(x)=)=kxkxbxn 分点依次为：分点依次为：012120,.,(1),.nnbbxxxnnnbxxbn,ni ii i+ +1 1i i在在分分段段 x x , ,x x 所所用
13、用的的力力约约为为k kx x，所所做做的的功功: :iiibWkxxkxn则从则从0到到b所做的功所做的功W近似等于近似等于:111000nnniiiiiibbWkxxknnn n+ +, ,得得到到簧簧平平衡衡位位置置拉拉b b所所做做的的功功当弹从长为111000nnniiiiiibbWkxxknn222220 12.(1)(1)1(1)22kbnnkb n nkbnn 210lim2ninikbWW 总结提升：总结提升： 求由连续曲线求由连续曲线y y= =f f( (x x) )对应的曲边梯形面积对应的曲边梯形面积的方法的方法（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （3 3）
14、求和求和 （4 4）取极限取极限 0()xn或 21.( ),12.( ). ( ). ( ).0iif xxnniffffnnn1nABCD当当 很很大大时时，函函数数在在区区间间上上的的值值，可可以以用用（ ）近近似似代代替替. . C C111“”( ), .( ).().( )(,).2f xABCDiiiiiiiix xf xf xfx x. .在在 近近似似代代替替 中中，函函数数在在区区间间上上的的近近似似值值等等于于（）只只能能是是左左端端点点的的函函数数值值只只能能是是右右端端点点的的函函数数值值可可以以是是该该区区间间内内任任一一点点的的函函数数值值以以上上答答案案均均不不正正确确C C1.1.求曲边梯形面积的求曲边梯形面积的“四个步骤四个步骤”：1 1分割分割化整为零化整为零2 2近似代替近似代替以直代曲以直代曲3 3求和求和积零为整积零为整4 4取极限取极限刨光磨平刨光磨平 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。 荀子劝学