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1、1.5 1.5 定积分的概念定积分的概念1.1.任何一个平面图形都有面积，其中任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算相关公式进行计算.2.2.如果函数如果函数y yf(x)f(x)在某个区间在某个区间I I上的上的图象是一条连续不断的曲线，则称函图象是一条连续不断的曲线，则称函数数f(x)f(x)为区间为区间I I上的上的连续函数连续函数.问题提出问题提出 3.3.如图所示的平面图形，是由直线如图所示的平面图形，是由直线 x xa a，x xb(ab)b(
2、ab)，y y0 0和曲线和曲线y yf(x)f(x)所围成的，称之为所围成的，称之为曲边梯形曲边梯形.x xy ya aby yf(x)f(x)O问题提出问题提出 设设ABCABC的底边的底边ABABa a，ABAB边上的高边上的高CDCDh h，将，将CDCD分成分成n n等分，过每个分点按等分，过每个分点按如图所示作如图所示作n n1 1个矩形，则从下到上各个矩形，则从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？矩形的长分别为多少？宽为多少？A AB BC CD D第第i i个矩形的长为个矩形的长为 ，每个矩形的宽为每个矩形的宽为 .探求新知探求新知 这这n n1 1个矩形的面积之和个矩形的面
3、积之和S Sn n1 1等等于多少？于多少？A AB BC CD D探求新知探求新知 随着随着n n的增大，的增大，S Sn n1 1与与ABCABC的面积愈接近，的面积愈接近，当当n n趋向于无穷大时，趋向于无穷大时，S Sn n1 1的极限为多少？由的极限为多少？由此可得什么结论？此可得什么结论？A AB BC CD D探求新知探求新知 三角形的面积等于各矩形面三角形的面积等于各矩形面积之和的极限积之和的极限.形成结论形成结论 由抛物线由抛物线y yx x2 2与直线与直线x x1 1，y y0 0所围成的平面图形是什么？所围成的平面图形是什么？x xy y1 1y yx x2 2O O探
4、求新知探求新知 设想用极限逼近设想用极限逼近思想求上面图形的面思想求上面图形的面积，在该曲边梯形内积，在该曲边梯形内作若干个小矩形，具作若干个小矩形，具体如何操作？体如何操作？将将区区间间00，11分分成成n n等等分分，按按如如图图所所示作示作n n1 1个矩形个矩形.x xy yO Oy yx x2 21 1探求新知探求新知 上述上述n n1 1个矩个矩形，从左到右各矩形，从左到右各矩形的高分别为多少形的高分别为多少？宽为多少？宽为多少？x xy yO Oy yx x2 21 1 第第i i个矩形的高为个矩形的高为 ，每个矩形的宽为每个矩形的宽为 .探求新知探求新知 计算计算,这这n n个
5、小矩形的面积之和个小矩形的面积之和S Sn n等于多少？等于多少？x xy yO Oy yx x2 21 1探求新知探求新知 如何利用各小矩如何利用各小矩形的面积之和求曲形的面积之和求曲边梯形的面积边梯形的面积S S？所？所得的结果是什么？得的结果是什么？x xy yO Oy yx x2 21 1探求新知探求新知 上述用极限逼近思想求曲边梯形面上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤积的过程有哪几个基本步骤?分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限.探求新知探求新知 若按如图所示作小矩形，那么这若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边些小矩形的面积之和的极
6、限等于曲边梯形的面积吗？梯形的面积吗？y yx x2 2x xy yO O1 1探求新知探求新知 若分别以区间若分别以区间内任意一点对应的函数内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面极限等于曲边梯形的面积吗？积吗？y yx x2 2x xy yO O1 1相等相等探求新知探求新知 例例 求直线求直线x x0 0，x x3 3，y y0 0和曲和曲线线y yx x2 22x2x3 3所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形的面积的面积.x xy yO O3 33 3例题讲解例题讲解课堂小结课堂小结 2.2.求曲边梯形的面积的
7、基本思路是：求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成把曲边梯形分割成n n个小曲边梯形个小曲边梯形用用小矩形近似替代小曲边梯形小矩形近似替代小曲边梯形求各小求各小矩形的面积之和矩形的面积之和求各小矩形面积之求各小矩形面积之和的极限和的极限.1.1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种是一种“以直代曲以直代曲”的思想，它体现了的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系对立统一，量变与质变的辨证关系.3.3.上述求曲边梯形面积的方法有上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积曲边梯形的面积.课堂小结课堂小结 P42 P42 练习练习布置作业布置作业