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1、计数问题计数问题难点一、握手问题难点一、握手问题1（2014长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了 4 盘，乙下了 3 盘，丙下了 2 盘，丁下了 1 盘，问小明下了（）盘 A 1 B 2 C 3 D 42（2013广州）甲、乙、丙、丁、戊 5 个队进行 3 人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到现在为止，甲队已经打了 4 场，乙队打了 3 场，丙队打了 2 场，丁队打了 1 场，戊队打了（）场 A 1 B 2 C 3 3（2012田东县）有 5 名同学进行乒乓球比赛，每 2 个同学之间都赛一场，一共要赛（） A 20 场 B 16 场 C 10 场 D 5 场4 （2
2、012龙岗区）10 名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（）场 A 28 B 36 C 45 D 55 5（2014东台市）正在进行的 2014 年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛场 6（2013长沙）在 6 个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有种选法 7（2013湛河区）6 人见面，每两人握一次手，一共要握 15 次（判断对错） 8（2012法库县）有 5 位同学，每两位同学握一次手，共要握次手难点二、容斥原理难点二、容斥原理9 （2014萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班 42
3、人都报名参加了活动，其中 27 人参加书画小组，24 人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（） A 7 人 B 8 人 C 9 人 D 10 人 10（2012黄岩区）六（1）班有 的学生订阅了小学生数学报，的学生订阅了数学小灵通既订阅了小学生数学报又订阅了数学小灵通的学生至少占全班人数的（） A B C D11（2014广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有 10 人全对，第一题有 25 人做对，第二题有 18 人做错，那么两道都做错的有人 12（2013吴中区）六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组若参加两个小组的人数是参加体育小组
4、人数的，是参加歌唱小组人数的，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是 13（2013泰州）在六年级 300 名学生中调查会下中国象棋和国际数棋的人数，发现 50 名同学两样都不会，有的学生两样都会，有的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有名14（2013成都）某市有 1000 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有 750 人，既懂英语又懂俄语的有 200 人，那么懂俄语的教师有人 15 （2012乐清市）某市 800 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的 550 人，既懂英语又懂俄语的 140人，那么懂俄语的教师为人 16（2011成都）六年级二班有 45 名同学参加毕业考试，其中
5、语文及格的有 43 人，数学及格的有 40人，有 1 人的语文和数字都没有及格，语文数学都及格的有人 17一批外国游客，会说英语的有 88 人，会说法语的有 60 人，其中两种语言都能说的有 40 人，还有 16人两种语言都不懂这批游客共有人 18 （2014长沙）某校六年级共有 110 人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组已知参加语文小组的有 52 人，只参加语文小组的有 16 人；参加英语小组的有 61 人，只参加英语小组的有15 人；参加数学小组的有 63 人，只参加数学小组的有 21 人那么三组都参加的有多少人？ 19（2014岳麓区）有一栋居民楼，每家都订了 2 份
6、不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中，中国电视报 34 份，北京晚报 30 份，参考消息 22 份，那么订北京晚报和参考消息的共有多少家？ 20（2014岳麓区）某校六年级有 120 名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为 135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有 15 人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有 10 人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有 8 人，三个兴趣小组都参加的有 4 人，求三个兴趣小组都没有参加的人数 21（2012富县）学校运动会上，六（1）班同学有 22 人参加拔河比赛，有 12 人参加迎面接力赛跑，有10 人参加集体跳
7、绳其中有 6 人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有 8 人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都参加的同学至少有多少人？ 22（2011福州）小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的 55%有弟弟的学生是全班学生人数的 50%既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%既没有哥哥，又没有弟弟的学生有 8 名根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？难点三、抽屉原理 23（2013浠水县）向东小学六（2）班有 49 名学生，他们中至少有（）人是同一个月出生的 A 2 B 5 C 不能确定24（2013顺德区）在一个不透明的箱子
8、里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各 5 粒要保证每次摸出的玻璃珠中一定有 3 粒是同颜色的，则每次至少要摸（）粒玻璃珠 A 3 B 5 C 7 D 无法确定 25（2013广州）下列说法正确的是（） A 小明从六年级 380 人中居然找不到同一天过生日的同学 B 李师傅做 100 个零件，合格率是 95%，如果他再做 2 个合格零件，那么合格率就达 97% C 把一件商品先提价 20%，再降价 20%，其价格变低了26（2013东莞市）在任意的 37 个人中，至少有（）人属于同一种属相 A 3 B 4 C 527（2013安图县）把红、黄、白三种颜色的球各4 个，放在一个盒子里，至少
9、取出（）个球，可以保证取到 4 个颜色相同的球 A 8 B 9 C 10 D 11 28（2012盈江县）13 个人里至少有（）个人是同一属相 A 2 B 3 C 4 D 529（2012明光市）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球各 4 个，至少要摸出（）个球才能保证摸到两个同颜色的球 A 2 B 3 C 4 D 530（2012龙海市）教室里有 21 名同学，至少有（）名同学是在同一个月出生的 A 2 B 7 C 6 31（2012汉阳区）六（1）班有 44 名同学，这个班至少有（）名同学是同一个月出生的 A 2 B 3 C 4 32（2014长沙）有黑色、白色、红色的筷子各 8 根
10、，混杂地放在一起黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取根才能保证达到要求 33（2014芜湖县）7 本书放进 3 个抽屉中无论怎么放总有一个抽屉至少放进本 34（2014广州）7 本书放进 2 个抽屉中，有一个抽屉至少放了 4 本书（判断对错） 35（2013枞阳县）有黑色、白色、黄色的筷子个 8 根，混杂在一起，黑暗中想取出同样颜色的一双筷子，至少要取出根才能保证达到要求 36（2013长沙）将 400 张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过 11 张，试证明：至少有 7名同学分到的卡片的张数相同 37（2012盈江县）把红黄两种颜色的小棒各 4 根捆在一起，每次最少抽
11、出 5 根小棒就可以保证一定有不同色的小棒 38（2012仙游县）五（1）班从 49 名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人统计完 37 张票后发现：小红 15 票，小明10 票，小华12 票在余下的票中，小红至少再得票才能保证以最多票数当选班长 39（2012恩施州）清江外校是小班额教学，每班人数是 40 多，在新学期开始该校 7 年级 1 班共有 43人投票选举班长，每人只能选 1 人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选开票中途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？候选人 乐乐 喜喜 欢欢票数 12 10 8 40某校有 201 人参加数学竞赛，按百分制计分且得
12、分均为整数，若总分为 9999 分，则至少有人的分数相同 4110 只鸽子飞回 3 个鸽舍，总有一个鸽舍里飞进的鸽子数不少于 4 只难点四、沏茶问题难点四、沏茶问题 42 （2013海曙区）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用 20 分钟；扫地要用 6 分钟；擦家具要用 10 分钟；晾衣服要用 5 分钟她经过合理安排，做完这些事至少要花（）分钟 A 21 B 25 C 26 D 41 43（2013云阳县）小华双休日想帮妈妈做事：用洗衣机洗衣服要用 20 分钟；扫地要用 6 分钟；擦家具要用 10 分钟；晾衣服要用 3 分钟她经过合理安排，做完这些事至少要花分钟 44（2011商
13、州区）奶奶要我家，我得准备准备，煮开水要 10 分钟，洗茶杯要 2 分钟，找茶叶 1 分钟，泡茶要 1 分钟，洗水果要 2 分钟，整理客厅要 3 分钟，最短需要分钟做完这些事情 45 （2011重庆）家里客人了，你热情地为客人烧水沏茶其中洗水壶要用 1 分钟，烧开水要用 10 分钟，洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用半分钟，用开水泡茶要 1 分钟为了让客人早点儿喝上茶，请你进行最合理的安排，你至少要用分钟就能沏好茶难点五、乘法原理难点五、乘法原理 46（2012成都）某铁路上有 11 个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条铁路上每个车站上发售的通往其他各站的火车票，他一共收集了（）张火车票
14、A 60 B 95 C 110 D 55 47（2011涟水县）从甲村到乙村有 4 条路可走，乙村到丙村有 3 条路可走那么从甲村经过乙村到丙村有（）种不同的走法 A 7 B 9 C 12 48（2011邗江区）张老师有3 件衬衫、4 条裤子、2 双皮鞋，用它们一共可以搭配（）种不同的穿法 A 9 B 14 C 24 D 6 49（2011淮南）从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞机那么从甲地经过乙地到达丙地，一共有种走法 50（2012建华区）用 2、3、7、8 四个数字组成四位数，每个数中不许有重复数字，一共可以组成 18个的不同的四位数难点六、加法原理难点六、
15、加法原理 51（2012威宁县）28 人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军，共要比赛场难点七、排队论问题难点七、排队论问题 52（2012慈溪市）2003 名学生排成一行，第一次从左至右 13 报数；第二次从右至左 15，第三次左至右 15 报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有名 53（2011云阳县）六（3）班全体同学参加植树活动，集合时一共站了 3 排，每排人数正好相等，小军站在第一排，他左边有 7 人，右边也有 7 人，六（3）班一共有名学生参考答案与试题解析参考答案与试题解析难点一、握手问题难点一、握手问题1（2014长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已
16、知甲下了 4 盘，乙下了 3 盘，丙下了 2 盘，丁下了 1 盘，问小明下了（）盘 A 1 B 2 C 3 D 4考点： 握手问题专题： 传统应用题专题|xx|k分析： 五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下 4 盘；由甲下了4 盘为突破口，找出小明下的盘数解答： 解：甲下了 4 盘，甲和其他 4 人各下了一盘，包括丁和小明；而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下；乙下了 3 盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了；丙是下了 2 盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了 2 盘故选：B点评： 本题根据循环比赛，得出每人最多下 4 盘这一
17、条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算2（2013广州）甲、乙、丙、丁、戊 5 个队进行 3 人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到现在为止，甲队已经打了 4 场，乙队打了 3 场，丙队打了 2 场，丁队打了 1 场，戊队打了（）场 A 1 B 2 C 3考点： 握手问题专题： 可能性分析： 5 个队两两之间比赛，那么每个人要和另外 4 人比赛，每人赛 4 场，再根据甲、乙、丙、丁、戊四人赛的场次进行推算解答： 解：每人最多赛 4 场；甲已经赛了 4 场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括丁和戊；丁赛了 1 场，说明他只和甲进行了比赛，没有和其它选手比赛；乙赛了 3 场，他没有和丁比赛，是和另外
18、另外的三人进行了比赛，包括丙和戊；丙赛了 2 场，是和甲、乙进行的比赛，没有和戊比赛；所以戊只和甲、乙进行了比赛，一共是 2 场故选：B点评： 本题根据每个人最多只能比赛 4 场作为突破口，进行逐个推理，找出戊队进行比赛的场次3（2012田东县）有 5 名同学进行乒乓球比赛，每 2 个同学之间都赛一场，一共要赛（） A 20 场 B 16 场 C 10 场 D 5 场考点： 握手问题专题： 压轴题；传统应用题专题分析： 由于每个选手都要和另外的 4 个选手赛一场，一共要赛：54=20（场）；又因为两个选手只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：202=10（场），据此解答解答： 解：（51）5
19、2，=202，=10（场）；答：每 2 个同学之间都赛一场，一共要赛 10 场故选：C点评： 本题考查了握手问题的实际应用， 要注意去掉重复计算的情况， 如果选手比较少可以用枚举法解答，如果选手比较多可以用公式：比赛场数=n（n1）2 解答（n 表示选手总数）4 （2012龙岗区）10 名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（）场 A 28 B 36 C 45 D 55考点： 握手问题专题： 传统应用题专题分析： 如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的 9 人进行一场比赛，每个同学打 9场，共有 109 场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只
20、需打 1092=45 场即可解答： 解：（109）2，=902，=45（场）；答：一共要进行 45 场比赛故选：C点评： 在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数=参赛人数（人数1）25（2014东台市）正在进行的2014 年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛6场考点： 握手问题专题： 传统应用题专题分析： 比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，则每个队都要和其他 3 个队比赛一场，共有 4 个队，所以共打 34=12 场，打比赛是在两个队之间进行的，所以他们共要比赛 122
21、=6 场解答： 解：342=6（场）答：一共要比赛 6 场故答案为：6点评： 本题属于握手问题，根据握手总次数的计算方法求解，握手次数总和的计算方法：握手次数=人数（人数1）2，握手次数的公式要记住，并灵活运用6（2013长沙）在 6 个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有15种选法考点： 握手问题专题： 传统应用题专题分析： 由题意，此题可看作两两握手，每个人都要和另外的 5 个人组合一组，6 个人共有 65=30 中选法，由于每两人组合一组，应算作一种选法，去掉重复的情况，实际共有 302=15 种选法，据此解答解答： 解：6（61）2=302=15（种）答：一共有 15 种选法故答案为：
22、15点评： 本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n1）2 解答7（2013湛河区）6 人见面，每两人握一次手，一共要握 15 次（判断对错）考点： 握手问题专题： 传统应用题专题分析： 每两人握一次，那么每个人要和其他 5 人握手 5 次；6 个人一共握 56 次，但这样算每次握手就算成了 2 次，所以再除以 2 即可解答： 解：（61）62=302=15（次）；答：一共要握 15 次故答案为：点评： 本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数（人数1）2 求解8（2012法库县）有 5 位同学，每两位同学握一次手，共
23、要握10次手考点： 握手问题专题： 传统应用题专题分析： 5 位同学，每个人都要和剩下的 4 人握手，要握 4 次，一共是 54 次，由于是两两之间握手，甲与乙握手和乙与甲握手是一样的，所以再除以 2 即可解答： 解：5（51）2，=542，=10（次）；答：共要握 10 次手故答案为：10点评： 本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数（人数1）2 求解难点二、容斥原理9 （2014萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班 42 人都报名参加了活动，其中 27 人参加书画小组，24 人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（） A 7 人 B 8 人 C 9 人 D 10
24、 人考点： 容斥原理专题： 传统应用题专题分析： 用 27+24 求出至少参加一个兴趣小组的同学的总人数，再减去报名参加的总人数就是两个小组都参加的人数解答： 解：27+2442，=5142，=9（人）；答：两个小组都参加的有 9 人，故选：C点评： 解答此题的关键是根据容斥原理，找出对应量，列式解决问题10（2012黄岩区）六（1）班有 的学生订阅了小学生数学报， 的学生订阅了数学小灵通既订阅了小学生数学报又订阅了数学小灵通的学生至少占全班人数的（） A B C考点： 容斥原理 D专题： 压轴题分析： 把总人数看作单位“1”，根据“有 的学生订阅了小学生数学报， 的学生订阅了数学小灵通”可知
25、：包括三部分，只订阅小学生数学报的人数、只订阅数学小灵通的人数、两种1=，据此解答都订阅的人数的 2 倍，所以都订阅的人数是：解答： 解：=1，；1，答：既订阅了小学生数学报又订阅了数学小灵通的学生至少占全班人数的故选：C点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是订阅小学生数学报又订阅了数学小灵通的学生的重叠部分，知识点是：既 A 又 B=（A+B）总人数11（2014广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有 10 人全对，第一题有 25 人做对，第二题有 18 人做错，那么两道都做错的有3人考点： 容斥原理分析： 第一题做对的 25 人中， 有 10 人是全部做对， 则有
26、 2510=15 人是只做对第一题，而做错第二题的；已知第二题总共有 18 人做错，那么多余的三人就是全错的解答： 解：18（2510），=1815，=3（人）；答：两道题都做错的有 3 人故答案为：3点评： 根据第一题做对的人数和两题全对的人数，得出第一题对，而第二题错的人数是解决本题的关键12（2013吴中区）六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组人数的 ，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是8：7考点： 容斥原理分析： 此题可以设出同时参加两个小组的人数为 x 人，利用未知数
27、x 分别表示只参加体育小组的人数和只参加歌唱小组的人数，从而进行化简，求得它们的人数的比解答： 解：设同时参加两个小组的人数为 x 人，则：体育小组的人数为：x=5x，歌唱小组的人数为：x= x，那么只参加体育小组的人数为：5xx=4x，只参加歌唱小组的人数为：xx= x所以只参加体育小组与只参加唱歌小组的人数的比为：4x： x=4： =8：7答：这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之 8：7故答案为：8：7点评： 此题此题属于不直接解出方程的题型，借助于未知数 x 表示体育小组的人数和歌唱小组的人数，从而通过化简求得比值13（2013泰州）在六年级 300 名学生中调查会下中国象棋和国际
28、数棋的人数，发现 50 名同学两样都不会，有考点： 容斥原理；分数四则复合应用题的学生两样都会，有 的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有50名专题： 传统应用题专题分析： 两样都会的学生有：300=40 人，会下中国象棋的学生有 300 =240 人，会下中国象棋和国际象棋的人数是：30050=250 人，那么会下国际象棋的有：250240+40=50（名），据此解答解答： 解：30050300 +300=250240+40=50（名）答：会下国际数棋的学生有 50 名故答案为：50点评： 本题依据了容斥原理公式之一：A 类 B 类元素个数总和=属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数既
29、是 A 类又是 B 类的元素个数14（2013成都）某市有 1000 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有 750 人，既懂英语又懂俄语的有 200 人，那么懂俄语的教师有450人考点： 容斥原理专题： 传统应用题专题分析： 在懂英语的 750 人中有 200 人懂俄语，那么就有 550 人只懂英语，那么剩下的 450 人就肯定懂俄语了解答： 解：1000（750200）=1000550=450（人）答：懂俄语的教师有 450 人点评： 此题属于容斥问题，关键是求出只懂英语的人数，进而求得懂俄语的人数15（2012乐清市）某市800 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的 550 人，既懂英语
30、又懂俄语的 140人，那么懂俄语的教师为390人考点： 容斥原理专题： 传统应用题专题分析： 懂英语的 550 人，既懂英语又懂俄语的 140 人，则只懂英语的有 550140=410 人，共有 800 个外语教师懂英语或俄语，则懂俄语的有 800410 人解答： 解：800（550140）=800410，=390（人）答：懂俄语的教师为 390 人故答案为：390点评： 首先求出只懂英语的人数是完成本题的关键，在本题中懂俄语的 390 人中，也包括既懂英语又懂俄语的人16（2011成都）六年级二班有 45 名同学参加毕业考试，其中语文及格的有 43 人，数学及格的有 40 人，有 1 人的语
31、文和数字都没有及格，语文数学都及格的有39人考点： 容斥原理专题： 传统应用题专题分析： 45 名同学参包括四部分：只语文及格的、只数学及格的、语文和数字都没有及格的、语文数学都及格的；又由于语文数学都及格的既属于语文及格的 43 人，又属于数学及格的 40 人，所以，语文数学都及格的有：43+40（451）=39（人）；据此解答解答： 解：根据分析可得，43+40（451），=8344，=39（人）；答：语文数学都及格的有 39 人故答案为：39点评： 本题考查了容斥原理，关键是知道 45 人包括四部分，难点是理解重叠部分（语文数学都及格的人数），既包含在 43 人里，又包含在 40 人里；
32、知识点是：既 A 又 B 的人数=总人数（A+B）既不是 A 又不是 B17一批外国游客，会说英语的有 88 人，会说法语的有 60 人，其中两种语言都能说的有 40 人，还有 16人两种语言都不懂这批游客共有124人考点： 容斥原理专题： 压轴题；传统应用题专题分析：只会说英语的有 8840=48 人； 只会说法语的有 6040=20 人， 那么这批游客共有 48+20+40+16=124人，据此解答解答： 解：8840=48（人），6040=20（人），48+20+40+16=124（人）；答：这批游客共有 124 人故答案为：124点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解总人数包括四部分，
33、知识点是：总人数=（A+B）既 A 又 B+既不属于 A 又不属于 B18（2014长沙）某校六年级共有110 人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组已知参加语文小组的有 52 人，只参加语文小组的有 16 人；参加英语小组的有 61 人，只参加英语小组的有15 人；参加数学小组的有 63 人，只参加数学小组的有 21 人那么三组都参加的有多少人？考点： 容斥原理专题： 传统应用题专题分析：只参加一组的人有： 16+15+21=52； 那么剩下 11052=58 人至少参加两组， 总活动人数 52+61+63=176；176110=66；剩下的 58 人每人再参加一组，6658
34、=8；剩下的活动人数只能是三组都参加的人，由此即可解答解答： 解：只参加一组活动的有：16+15+21=52（人），则至少参加两组活动的有：11052=58（人），总活动人数是：52+61+63=176（人），每人至少参加一组活动，则剩下活动人数为：176110=66；则：6658=8（人），答：三组都参加的有 8 人点评： 此题关键是找出参加这三个活动小组的总活动人数和只参加一个小组的人数；减去每人至少参加一次的活动人数，则得出剩下的活动人数对应的就是至少参加两个小组的人数，由此即可解答19（2014岳麓区）有一栋居民楼，每家都订了 2 份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中，中国电视报
35、 34 份，北京晚报 30 份，参考消息 22 份，那么订北京晚报和参考消息的共有多少家？考点： 容斥原理分析： 先根据每家订 2 份不同报纸，以及报纸的总数求出一共有多少家；不订中国电视报的人家，必然订的是北京晚报和参考消息；再用总家数减去中国电视报 34 份即可解答： 解：每家订 2 份不同报纸，而共订了34+30+22=86（份）；862=43（家）；4334=9（家）；答：订北京晚报和参考消息的共有 9 家点评： 本题关键是求出总家数，然后理解不订中国电视报的人家，必然订的是北京晚报和参考消息；由此列式求解20（2014岳麓区）某校六年级有 120 名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组
36、的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有 15 人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10 人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有 8 人，三个兴趣小组都参加的有 4 人，求三个兴趣小组都没有参加的人数考点： 容斥原理专题： 传统应用题专题分析： 此题属于三者容斥原理，根据公式 ABC=A+B+CABACBC+ABC，这里 A+B+C=135、AB=15、AC=10、BC=8、ABC=4，所以 ABC=13515108+4=106（人），都没参加的有 120106=14（人），据此解答解答： 解：根据公式 ABC=A+B+CABACBC+ABC，这里
37、 A+B+C=135、AB=15、AC=10、BC=8、ABC=4，所以 ABC=13515108+4=106（人），都没参加的有 120106=14（人），答：三个兴趣小组都没有参加的有 14 人点评： 此题考查了三者容斥原理公式的运用21（2012富县）学校运动会上，六（1）班同学有 22 人参加拔河比赛，有 12 人参加迎面接力赛跑，有10 人参加集体跳绳其中有 6 人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有 8 人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都参加的同学至少有多少人？考点： 容斥原理专题： 压轴题；传统应用题专题分析：因为有 22 人参
38、加拔河比赛， 有 12 人参加迎面接力赛跑， 有 10 人参加集体跳绳 一共有 22+12+10=44人，其中有 6 人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有 8 人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳，根据容斥原理可知，参加比赛的一共有 4468=30 人；又因为有 6 人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，所以参加接力赛跑的 12 人中， 去掉 6人， 还剩下 6人， 又有 8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳 所以这 8 人中至少有 86=2 人三项比赛都参加，据此即可解答解答： 解：总人数：22+12+1068=30（人），三项都参加的至少有：8（126），=86，=2（人），答：一共有
39、 30 人参加比赛，至少有 2 人三项比赛都参加点评： 本题依据了容斥原理公式之一：A 类 B 类元素个数总和=属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数22（2011福州）小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的 55%有弟弟的学生是全班学生人数的 50%既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%既没有哥哥，又没有弟弟的学生有 8 名根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？考点： 容斥原理专题： 传统应用题专题分析： 全班人数包括四部分：只有哥哥的学生，只有弟弟的学生，既有哥哥，又有弟弟的学生既没有哥哥，又没有弟弟的学生，因此既没有
40、哥哥，又没有弟弟的学生占全班的：1（55%+50%25%）=20%，根据分数乘法的意义，求全班的总人数，列式为：81（55%+50%25%），然后解答即可得出答案解答： 解：81（55%+50%25%），=820%，=40（人）；答：小明班上共有学生 40 名点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解全班人数包括四部分，知识点是：总人数=（A+B）既 A 又 B本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 B=A+B总数量（两种情况）本题依据了容斥原理公式之一：A 类 B 类元素个数总和=属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数难点三、抽屉原理23（2013浠水
41、县）向东小学六（2）班有 49 名学生，他们中至少有（）人是同一个月出生的 A 2 B 5 C 不能确定考点： 抽屉原理专题： 传统应用题专题分析： 因一年有 12 个月，考虑到最差情况就是 49 人中有每月 4 个同月出生的人，剩下的一人不论是哪个月出生的，都有 4+1=5 人是同一月出生的据此解答解答： 解：4912=4（人）1（人），4+1=5（人）答：他们中至少有 5 人是同一个月出生的故选 B点评： 本题考查到抽屉原理中的最差情况是解答本题的关键24（2013顺德区）在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各 5 粒要保证每次摸出的玻璃珠中一定有 3 粒是同颜色的
42、，则每次至少要摸（）粒玻璃珠 A 3 B 5 C 7 D 无法确定考点： 抽屉原理专题： 传统应用题专题分析： 把红、黄、蓝三种颜色看做 3 个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出 2 粒，则一共摸出 23=6粒玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现 3 粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答解答： 解：根据题干分析可得：23+1=7（粒），答：至少摸出 7 粒玻璃珠，可以保证取到 3 粒颜色相同的玻璃珠故选：C点评： 此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用25（2013广州）下列说法正确的是（） A 小明从六年级 380 人中居然找不到同一天过生日的同学 B 李师傅做 100 个零件，合格率是
43、95%，如果他再做 2 个合格零件，那么合格率就达 97% C 把一件商品先提价 20%，再降价 20%，其价格变低了考点： 抽屉原理；百分数的实际应用；存款利息与纳税相关问题专题： 分数百分数应用题；传统应用题专题分析： 对各选项进行分析，然后得出正确结果解答： 解：A、一年最多有 366 天，380366=114 人，最坏的情况是，每天都有 1 名学生过生日的话，还余 14 人，根据抽屉原理，至少有 1+1=2 人在同一天过生日；B、先用“10095%”求出原合格零件的个数，进而求出后合格零件个数和零件总个数，进而根据公式：100%；所以合格率是（10095%+2）（100+2）100%=
44、95.1%；C、把原价看做 1，则降价 20%后的价格：1（120%）=10.80=0.8；再提价 20%的现价：0.8（1+20%）=0.81.2=0.96，因为 0.961，所以它的价格变低了；故选：C点评： 此题涉及的知识面较多，注意平时知识的积累26（2013东莞市）在任意的 37 个人中，至少有（）人属于同一种属相 A 3 B 4 C 5考点： 抽屉原理专题： 传统应用题专题分析： 把 12 个属相看做 12 个抽屉，37 人看做 37 个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答解答： 解：3712=313+1=4（人）答：至少有
45、4 人的属相相同故选：B点评： 此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑27（2013安图县）把红、黄、白三种颜色的球各4 个，放在一个盒子里，至少取出（）个球，可以保证取到 4 个颜色相同的球 A 8 B 9 C 10 D 11考点： 抽屉原理专题： 压轴题；传统应用题专题分析： 因有三种颜色的球，所以最差情况是取 3 次各取到一种颜色的球，所以要取把 3 个同一颜色球的最差机会是取 （41） 3=9 次， 再取 1 次， 不论取的是什么颜色的球， 都可以保证取到 4 个颜色相同的球 据此解答解答： 解：（41）3+1，=33+1，=9+1，=10（个）答：至少取出
46、 10 个球，可以保证取到 4 个颜色相同的球故选：C点评： 本题的关键是先求出保证几次取到 3 个颜色相同的球，再根据抽屉原理，求出取到 4 个相同颜色球的个数28（2012盈江县）13 个人里至少有（）个人是同一属相 A 2 B 3 C 4 D 5考点： 抽屉原理专题： 压轴题；传统应用题专题分析： 共有 12 个生肖，考虑最差情况：13 个人中，其中 12 个人的生肖各不相同，根据抽屉原理可知：第 13 个人的属相无论是哪一个，都会出现有 2 个人的生肖相同，据此即可选择解答： 解：考虑最差情况：13 个人中，其中 12 个人的生肖各不相同，根据抽屉原理可知：第 13 个人的属相无论是哪
47、一个，都会出现有 2 个人的生肖相同，即 13 个人中至少有 2 人属相相同故选：A点评： 因为有 12 个生肖，有可能 12 个人生肖各不相同，所以第 13 个人无论属什么，都能保证 2 个人的属相相同29（2012明光市）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球各 4 个，至少要摸出（）个球才能保证摸到两个同颜色的球 A 2 B 3 C 4 D 5考点： 抽屉原理专题： 传统应用题专题分析： 从最极端情况分析，假设前 2 个都摸出红、黄各一个球，再摸1 个只能是两种颜色中的一个，进而得出结论解答： 解：2+1=3（个）；答：至少要摸出 3 个球才能保证摸到两个同颜色的球；故选：B点评：
48、此题属于典型的抽屉原理习题， 做题的关键是从最极端情况进行分析， 进而通过分析得出问题答案30（2012龙海市）教室里有 21 名同学，至少有（）名同学是在同一个月出生的 A 2 B 7 C 6考点： 抽屉原理专题： 压轴题；传统应用题专题分析： 一年共有 12 个月，将这 12 个月当做 12 个抽屉，2112=1 名9 名，即平均每月出生一个，还剩下 9 人，根据抽屉原理可知，至少有 1+1=2 名同学是在同一个月出生的解答： 解：2112=1 名9 名，1+1=2 名即至少有 2 名同学是在同一个月出生的故选：A点评： 在此类问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）31（
49、2012汉阳区）六（1）班有 44 名同学，这个班至少有（）名同学是同一个月出生的 A 2 B 3 C 4考点： 抽屉原理专题： 压轴题；传统应用题专题分析：把一年 12 个月看作 12 个抽屉， 把 44 名同学看作 44 个元素， 那么每个抽屉需要放 4412=3 （个） 8（个），所以每个抽屉需要放 3 个，剩下的 8 个再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3+1=4（个），据此解答解答： 解：4412=3（个）8（个），3+1=4（个）；答：这个班至少有 4 名同学是同一个月出生的故选：C点评： 抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“
50、至少数=元素的总个数抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答32（2014长沙）有黑色、白色、红色的筷子各8 根，混杂地放在一起黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取11根才能保证达到要求考点： 抽屉原理专题： 传统应用题专题分析： 把 3 种不同颜色看作 3 个抽屉，把8 根不同颜色的筷子看作 8 个元素，从最不利情况考虑，其中一种颜色取尽，然后再取其它颜色，比如一个抽屉需要先放 8 根黑筷子，这时没有异色筷子，再在另外两个抽屉里不论放 2 根白色或 2 根红色还是 1 根白色和一根红色，不可能组成颜色不同的两双筷子，所以还需要再取 1 根，因此至少要取出：8+2+1=11（根）