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1、1,2,5.1 刚体的运动,5.2 刚体的定轴转动定律,5.3 转动惯量的计算,5.4 转动定律应用举例,5.5 定轴转动中的功能关系,5.6 刚体定轴转动的角动量定理,5.7 进动,5.8 刚体平面运动简介,第五章 刚体的转动,3,5.1 刚体的运动,一. 刚体的概念,理想化模型：,有自己独特的运动学和动力学规律。,特殊质点系：,质点相对位置不变，质点系的规律都适用；,二. 刚体运动形式,1. 平动 基本的运动形式之一,无限刚性，受力不变形，可瞬时传力；,常用质心运动代表整体平动。,体内任两点连线在任意时刻保持平行。,4,定点转动：,3. 平面运动：,刚体各点运动都平行于某固定平面，各点轨道
2、面平行或重合。,4. 一般运动：,不受任何限制的自由运动，,是下面两种运动的组合：, 随基点 O（可任选）的平动, 绕通过基点 O 的瞬时轴的定点转动,刚体只有一点固定不动，整体绕通过该点的瞬时轴转动。,2. 转动 基本的运动形式之二,定轴转动：,定点转动的瞬时轴成固定轴。,5,转动与基点选取无关。,基点不同，平动可不同，转动却相同。,例如：,三. 定点转动及其运动学量,反映瞬时轴方向及刚体转动的快慢。,或,1. 角速度,具有唯一性：与基点选择无关。,6,2. 角加速度 ：,反映 的变化情况,的方向沿瞬时轴。,方向不一定与 一致，不一定沿瞬时轴。,7,3. 角量和线量的关系,四. 定轴转动,对
3、定轴转动， 和 都沿定轴，但两者方向不一定相同，都退化为代数量。,8,匀加速转动（ 恒定）,9,5.2 刚体的定轴转动定律,观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。,定义对 z 轴的转动惯量,10, 刚体定轴转动定律,对定轴，略去下标 z：,与牛顿第二定律相比：,M F，,J m，, a,11,5.3 转动惯量的计算,J 由质量对轴的分布决定。,质量分布对转动惯量的影响,一. 常用的几种转动惯量表示式,【演示】,12,二. 计算转动惯量的几条规律,1. 对同一轴 J 具有可叠加性,13,14,解：,15,5.4 转动定律应用举例,已知：R, m, h, v0 = 0, 下落时间 t ，绳轮之间
4、无相对滑动， 绳不可伸长。,求：轮对 O 轴的 J,解：,动力学关系：,对轮：,对 m：,运动学关系：,(3),(4),(1),(2),16,(1)(4) 联立解得：,分析结果：, 量纲对；, h、m 一定，J t ，, 若 J = 0，得,正确。,合理；,这是一种用实验测定转动惯量的方法。,17,5.5 定轴转动中的功能关系,一. 力矩的功,力矩的空间积累效应：,力矩的功,18,二. 定轴转动动能定理,定义转动动能, 刚体定轴转动动能定理,19,三. 刚体重力势能,四. 应用举例,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。,20,解：,（杆+地球）系统，,只重力作功， E守恒：,2
5、1,应用质心运动定理求轴力：,(3),(4),(5),(6),22,由(3)(4)(5)(6)解得：,23,5.6 刚体定轴转动的角动量定理,质点系,对点,对轴,刚体, 刚体定轴转动的角动量定理,或,所以,24, 刚体定轴转动的角动量守恒定律,对刚体系，M外z = 0 时，,角动量可在系统内各刚体间传递，而刚体系对转轴总角动量不变（必须是同一轴）。,两轮磨合问题,两匀速转动的轮子接触后，,讨论摩擦力、运动状态变化，,能否用对轴的角动量守恒？,【思考】,25,克服直升飞机机身反转的措施,26,猫从树枝和手的下落,27,解：,此系统角动量并不守恒，因为O1和O2处的轴力产生的力矩和不为零。,应对每
6、个轮作隔离分析，用角动量定理求解。,设摩擦力方向如图示，有：,对轮1：,对轮2：,28,利用 f1 = f2 得：,对初末态积分得：,稳定条件：,接触点线速度相同：,（注意负号，两轮反着转）,解得：,29,解：,对 m +M 系统，碰撞瞬间，外力（重力和轴力）对 O 轴的力矩 = 0， 守恒，,（1）求、，,碰撞过程：,过程分 2 步：,30,(2),对 m +M+地球系统， E 守恒，,令m、x 重合时 EP = 0，有：,m + M 形成刚体，转动惯量为：,设碰后瞬间盘角速度为0，有：,定轴转动过程：,(3),(1)(2)(3)解得,(1),31,m、x重合时 m +M 系统所受力矩：,（
7、2）求轴力, 用质心运动定理求,m +M 的质心 C 在距 O 的 R/3 处，,质心加速度：,y 方向,x 方向,32,由质心运动定理有：,设轴力 的方向如图，,代入 的值得：,Nx 0， 即圆球沿顺时针方向加速转动。,58,设 是 P 点相对质心 C 的加速度，,(2),(1),根据相对运动关系有：,在质心系，P 点瞬间随球作沿顺时针方向的加速转动，所以：,方向为,方向为,(3),59,由 (1)(2)(3) 解出：, 沿 PC 连线方向。,本题所证明的结论也适用于其它质量分布均匀的圆形物体。,60,【例3】 刚体撞击问题，如打击中心。,棒球手要做到轻松击球，必须使球击打合适位置，此位置称
8、为打击中心。,已知：棒质量 m，对手的转动 惯量 J ，棒的质心 C 距 离手 rC 。,求：打击中心到手的距离 r 。,61,棒受力,轻松击球,分析：,击球瞬间手的作用力 0,棒绕手作定轴转动,球的冲击力,手的作用力,解法一,对质心的动量定理、,设：,打击时间 ，此时间内：,棒质心的动量改变为,棒的角速度改变为,对手的角动量定理,62,对质心：,对手：,(1),(3),(2),动量定理,角动量定理,(1)(2)(3) 消去 量得：,角量与线量关系：,63,对质心：,由 (14) 并令 得：,解法二,对质心的动量、角动量定理,(3),(1),(4),(2),角量与线量关系：,64,此法简单实用
9、！,对质心：,对手：,(1),(3),(2),解法三,质心运动定理、对手的转动定律,角量与线量关系：,由 (13) 并令 得：,65,对质心和过质心的轴：,(1),(4),解法四,质心运动定理、对质心轴转动定律,角量与线量关系：,(2),(3),此法也不错。,由 (14) 并令 得：,66,【例4】在固定斜面上的圆 柱体从静止开始作纯滚动， 圆柱体质量 m ，半径 R ， 转动惯量 J ，斜面倾角 。,求（1）接触点 O 是否存在摩擦力？若有， 其作用是什么？做功否？ （2）圆柱体下落高度 h 时，质心 C 的速 度 ，转动角速度 ，摩擦力 f 分 别是多少？,67,证：,斜面参考系：不易判断
10、！,（1）讨论摩擦力,以质心 C 为基点的参考系：,圆柱体作定轴转动，,重力、,斜面压力力矩 = 0，,可断定必存在静摩擦力,（纯滚），,力矩 0。,对斜面系，静摩擦力 f 作功否？,不做功。,方向与质心运动相反，,68,f 对质心作负功，平动能 ,二者相等总功 = 0,f 力矩对质心轴作正功，转动能 ,（2）计算,解：,机械能守恒, 质心运动定理, 质心运动学,(1),69,(14) 解出：,(2),(3),(4),70,求摩擦力另法：, 对过质心基轴的转动定律,质心运动定理,或者 对瞬轴 O 的转动定律,用 (5)(6)(7) 或 (5)(6)(8) 都可解出 f 。,(5),(6),(7),(8),71,J ， ，J 大的滚动慢,J/mR2 恒定，钢的、铝的一样快。,R ， ，R 大的滚动快,比较不同转动惯量、半径的圆柱体、球体在斜（曲）面上作纯滚动的快慢。,72,刚体 rigid body平动 translation转动 rotation定点转动 rotation about a fixed point定轴转动 rotation about a fixed axis转动惯量 rotational inertia进动 precession自转 spin章动 nutation,第五章结束,中英文名称对照表,