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1、第5章刚体的定轴转动 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望(2)3.刚体定轴匀加速转动刚体定轴匀加速转动=C一、力矩一、力矩(moment of force)1.绕定轴转动的力矩绕定轴转动的力矩(3)zoP 对对o点的力矩点的力矩:与轴平行分量与轴平行分量(对定轴转动无作用对定轴转动无作用):与轴垂直分量与轴垂直分量(在转动平面内在转动平面内)对定轴对定轴oz转动的力矩转动的力矩:大小大小:Mz=F r sin方向方向:右手螺旋右手螺旋注意注意:是是 在
2、在oz轴上的一个分量轴上的一个分量,以后将以后将 记记为为 5.2 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律(The law of rotation of a rigid body about a fixed axis)(The law of rotation of a rigid body about a fixed axis)2.对定轴的合外力矩对定轴的合外力矩对定轴的合外力矩等于各分力矩的矢量和对定轴的合外力矩等于各分力矩的矢量和:+沿轴线选定力矩方向沿轴线选定力矩方向:与与相同的方向为力矩的正方向相同的方向为力矩的正方向(4)二、刚体定轴转动定律二、刚体
3、定轴转动定律将刚体视为许许多多小质元将刚体视为许许多多小质元(质点质点)组成组成第第 i个质点个质点:外力外力:,内力内力:切向切向法向法向切向切向法向法向法向力通过转动中心不产生力矩法向力通过转动中心不产生力矩切线方向的牛顿第二定律切线方向的牛顿第二定律(5)oz二边同乘二边同乘ri对整个刚体对整个刚体转动惯量转动惯量转动定律转动定律意义意义:刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力矩作用下所刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力矩作用下所获得的角加速度的乘积。获得的角加速度的乘积。(6)M 是合外力矩是合外力矩说明说明:1)
4、定律的瞬时性定律的瞬时性,2)定律中各物理量是对同一转轴的。定律中各物理量是对同一转轴的。三、转动惯量三、转动惯量(moment of inertia)1.质点质点(m)对转动轴的转动惯量对转动轴的转动惯量:2.质点系对同一个转动轴的转动惯量质点系对同一个转动轴的转动惯量:3.刚体的转动惯量刚体的转动惯量(7)刚体上取质元刚体上取质元dm,质元对转动轴的转动惯量质元对转动轴的转动惯量:刚体的转动惯量刚体的转动惯量rrmkg/m3体密度体密度 dm=dV说明说明:1)J与质量有关与质量有关木木(J小小)铁铁(J大大)2)J与质量的分布有关与质量的分布有关(m相同相同)园盘园盘球球J 最小最小园环
5、园环 J最大最大3)J与轴的位置有关与轴的位置有关(8)kg/m线密度线密度 dm=dlkg/m2面密度面密度 dm=dS5)迥转半径迥转半径(gyroscopic radius)刚体质量刚体质量(m),转动惯量转动惯量(J)(9)4)平行轴定理平行轴定理:刚体对任一轴刚体对任一轴A的转动惯量的转动惯量JA和通过质和通过质心并与心并与A轴平行的转动惯量轴平行的转动惯量Jc有如下关系有如下关系:CA例例1:质量为质量为m,长为长为l 的匀质棒的的匀质棒的转动惯量转动惯量求求1)定轴在一端定轴在一端,2)定轴在质心定轴在质心解解:积分四大步积分四大步:(1)化整为零化整为零,写出微分写出微分(2)
6、寻找对称寻找对称,选择坐标选择坐标(3)引入密度引入密度,统一变量统一变量(4)定上下限定上下限,积零为整积零为整1)(10)2)由平行轴公式由平行轴公式dmdx例例2:园盘园盘(m,R)绕绕oo 轴的轴的转动惯量转动惯量解解:(11)问问:1)园园盘盘的回转半径是多少的回转半径是多少?2)园盘绕园盘绕y轴的轴的转动惯量转动惯量?3)园盘边缘有一质量为园盘边缘有一质量为m1的小块的小块(很小很小)脱落了脱落了,求对过中心垂直轴的求对过中心垂直轴的转动惯量转动惯量?drd四、转动定律应用举例四、转动定律应用举例 解题步骤解题步骤:1.认刚体认刚体;2.定转轴定转轴,找运动找运动;3.分析力和力矩
7、分析力和力矩;4.定转向定转向,列方程。列方程。注意注意:1.明确转动轴位置。明确转动轴位置。2.选定转动的正方向选定转动的正方向,注意力矩、角速度、角加速注意力矩、角速度、角加速 度的正负。度的正负。3.同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。二类问题二类问题:第一类第一类:由角量运动由角量运动,求力矩求力矩(微分法微分法)第二类第二类:由力矩及初始条件由力矩及初始条件,求刚体运动求刚体运动(积分法积分法)(12)对轮对轮:对对m:定轴定轴ORthmv0=0绳绳解解:轮与轮与m为联结体为联结体,轮为定轴轮为定轴转动、转动、m为平动为平动,但二者用绳但二者用
8、绳联系起来。联系起来。m的速度大小与轮的速度大小与轮边缘线速度大小相等。边缘线速度大小相等。mgT =-Tm例例3:己知己知:定滑轮为均匀圆盘定滑轮为均匀圆盘,其上绕一细绳其上绕一细绳,绳一端固绳一端固定在盘上定在盘上,另一端挂重物另一端挂重物m,绳与轮无相对滑动绳与轮无相对滑动,绳不可绳不可伸长伸长,轮半径轮半径R=0.2m,m=1kg,m下落时间下落时间 t=3s,v0=0,h=1.5m。求求:轮对轮对O轴轴 J=?(13)联立解得联立解得:运动学关系运动学关系:(3)(4)(14)解解:1)+解得解得:a1=0.82m/s2,a2=1.63m/s2(15)例例4:组合轮由二个匀质园盘固结
9、而成组合轮由二个匀质园盘固结而成,己知己知mA=6kgrA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m,二盘边缘绕有细绳二盘边缘绕有细绳,绳子绳子下端挂二个物体下端挂二个物体m1=m2=2kg,二个物体离地面高度均二个物体离地面高度均为为 h=2m,求求1)二物体的加速度二物体的加速度a1,a2;2)下降物体着下降物体着地地时间时间,3)绳中张力绳中张力hx2)h=a2t2/2 t=1.56s 3)T1=m1(g+a1)=21.2N,T2=m2(g-a2)=16.3NAB例例5:如图装置如图装置,己知木块己知木块(m1=5kg)可在斜面上滑动可在斜面上滑动(=0.25)斜面倾角斜面倾角=30 定
10、滑轮定滑轮(m=20kg,R=0.2m),重物重物m2=10kg设绳与轮之间无相对滑动设绳与轮之间无相对滑动 求求重物重物 m2 加速度加速度,绳中张力绳中张力?解解:解得解得(16)(m,R)例例6:如图如图:二个匀质园盘二个匀质园盘(m1,R1,m2,R2),园盘园盘1上施上施一力矩一力矩M使之由静止开始转动使之由静止开始转动,设皮带不伸长不打滑设皮带不伸长不打滑,求求:二盘的角加速度各为多少二盘的角加速度各为多少?解解:园盘园盘1园盘园盘2皮带不打滑皮带不打滑解得解得:(17)J1=m1 R12/2 J2=m2 R22/2(m1,R1)(m2,R2)例例7:匀质园盘匀质园盘(m,R),初
11、角速度初角速度0 不计轴承处的摩擦不计轴承处的摩擦,如空气对园盘表面每单位面积摩擦力正比于该处速如空气对园盘表面每单位面积摩擦力正比于该处速率率 f=kv(k为常数为常数)求求 1)园盘所受空气阻力矩园盘所受空气阻力矩 2)园盘停园盘停止前转数止前转数?rdr1)取环形质元取环形质元,环形质元环形质元受阻力矩受阻力矩:(18)解解:r不同时不同时,f 不同不同,力臂也不同力臂也不同,需划分微元求需划分微元求M取取刚体刚体m为对象为对象,逆时转为正方向逆时转为正方向设设t 时刻圆盘角速度为时刻圆盘角速度为用积分法求力矩。用积分法求力矩。dSd2)根据转动定律根据转动定律(19)5.3 5.3 转
12、动中的功和能转动中的功和能转动中的功和能转动中的功和能(Work and energy about rotation of a fixed axis)(Work and energy about rotation of a fixed axis)一、刚体的转动动能一、刚体的转动动能刚体转动动能刚体转动动能(20)m1 m2 mi r1 r2 ri v1=r1 v2=r2 vi=ri 12过程中过程中Fi对刚体所作的功对刚体所作的功:三、力矩的瞬时功率三、力矩的瞬时功率P:(21)二、力矩的功二、力矩的功外力外力Fi对刚体所做的元功对刚体所做的元功:所有外力对刚体的功所有外力对刚体的功:o力对刚
13、体所做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分力对刚体所做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分表示表示,叫叫力矩的功。力矩的功。刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理(22)四、刚体定轴转动的动能定理四、刚体定轴转动的动能定理二边积分二边积分意义意义:合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量。功等于刚体转动动能的增量。五、刚体的重力势能五、刚体的重力势能各质元重力势能的总和各质元重力势能的总和,就是刚体的重力势能。就是刚体的重力势能。刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的重力势能。重力势能
14、。Chchi miEp=0(23)六、定轴转动的功能原理六、定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立质点系功能原理对刚体仍成立:若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时七、机械能守恒定律七、机械能守恒定律对于包括刚体在内的体系对于包括刚体在内的体系,若只有保守内力作功若只有保守内力作功则系统机械能守恒则系统机械能守恒(24)例例8:匀质园盘匀质园盘(m,R)在水平桌面上可绕过园心并与在水平桌面上可绕过园心并与桌面垂直的轴转动桌面垂直的轴转动,它与桌面之间摩擦系数为它与桌面之间摩擦系数为;求求1)从从0 到停止转了多少圈到停止转了多少圈?2)用
15、了多少时间用了多少时间?解法一解法一:1)(25)取细园环取细园环dm根据动能定理根据动能定理:A=Ek2-Ek1rdrdf=gdmdM=-rdf解法二解法二:根据转动定律根据转动定律:解得解得:解得解得:2)(26)例例9:匀质细杆匀质细杆(m1,L)一端挂在墙上一端挂在墙上,一端固定有一物一端固定有一物体体(m2)求求1)转动惯量转动惯量,2)从图中水平位置无初速落下从图中水平位置无初速落下时的时的 ,3)落到铅直位置时的角加速度落到铅直位置时的角加速度,角速度角速度O(m1,L)m2解解:1)2)解得解得3)以以m1,m2,地球为系统地球为系统,E守恒守恒解得解得(27)5.4 5.4
16、刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量 对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律(The angular momentum of a rigid body and the(The angular momentum of a rigid body and the conservation of angular momentum about a fixed axis)conservation of angular momentum about a fixed axis)一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量 刚体视为许许多多质点组
17、成刚体视为许许多多质点组成刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量:(28)第第i个质点对定轴转动的角动量个质点对定轴转动的角动量:m1 m2 mi r1 r2 ri v1=r1 v2=r2 vi=ri 例例11:质量为质量为M,长为长为l 的均匀细杆的均匀细杆,中点有一垂直于杆中点有一垂直于杆 的转轴。杆绕轴旋转的角速度为的转轴。杆绕轴旋转的角速度为 求求:杆对中点的角动量。杆对中点的角动量。odxxdm解：解：质元质元dm对对o轴的角动量为轴的角动量为则杆对中点的角动量：则杆对中点的角动量：方向方向:与与转向构成右手螺旋。转向构成右手螺旋。(29)二、刚体的角动量定理二、刚体的角动量定理刚
18、体的角动量定理刚体的角动量定理:刚体所受合外力矩等于刚体角刚体所受合外力矩等于刚体角 动量对时间的变化率动量对时间的变化率刚体的角动量定理刚体的角动量定理:刚体所受合外力矩的冲量矩等刚体所受合外力矩的冲量矩等 于刚体角动量的增量于刚体角动量的增量.(30)微分形式微分形式积分形式积分形式刚体定轴转动刚体定轴转动:说明说明:式中合外力矩及角动量都是对同一个轴的。式中合外力矩及角动量都是对同一个轴的。三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律当当时时角动量守恒定律角动量守恒定律定轴转动时定轴转动时:意义意义:当系统所受合外力矩为零时系统角动量守恒当系统所受合外力矩为零时系统角动量守恒(31)常平架陀常平
19、架陀 螺螺 仪仪mg1.J不变不变,也不变也不变,保持匀速转动。保持匀速转动。2.J发生变化发生变化,但但J 不变不变,则则 要发生改变。要发生改变。3.开始不旋转的物体开始不旋转的物体,当其一部分旋转时当其一部分旋转时,必引起另一部分朝相反方向转。必引起另一部分朝相反方向转。例例10:长长l=0.4m均匀木棒质量均匀木棒质量M=1kg,可绕可绕o点的水平轴点的水平轴在铅垂面内转动在铅垂面内转动,开始时棒自然下垂开始时棒自然下垂,有一质量有一质量m=8g的的子弹以子弹以v=200m/s速度在速度在A点射入棒中点射入棒中,OA=3l/4,求求 1)棒开始转动时的角速度棒开始转动时的角速度 2)棒
20、的最大偏角棒的最大偏角?解解:m的质量很小的质量很小,整个过程分成两个阶段整个过程分成两个阶段,第一阶段第一阶段:m与与M碰撞碰撞,但碰撞过程未引起但碰撞过程未引起M转动转动;第二阶段第二阶段:m与与M一起转动。一起转动。守恒守恒mM+oA(32)1)以子弹与木棒为研究对象以子弹与木棒为研究对象,子弹与棒碰撞子弹与棒碰撞2)子弹子弹,木棒木棒,地球为系统地球为系统,摆动过程只有重力摆动过程只有重力(保守内保守内力力)做功做功,所以机械能所以机械能守恒守恒(取取o点处为势能零点点处为势能零点)(33)smMRkm0 h例例11:匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转,轻绳跨过圆盘一
21、端轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连与弹簧相连,另一端与质量为另一端与质量为m的物体相连的物体相连,弹簧另一端弹簧另一端固定在地面上固定在地面上,轻绳与盘无滑动轻绳与盘无滑动,系统处于静止状态系统处于静止状态,此此时一质量为时一质量为m0的小物块从的小物块从h高度处自由落下高度处自由落下,与与m碰撞后碰撞后粘在一起。粘在一起。求求:m下降的最大位移下降的最大位移s。解解:m0的质量很小的质量很小,整个过程分成两整个过程分成两个阶段个阶段,第一阶段第一阶段:m0与与m碰撞碰撞,但碰但碰撞过程未引起撞过程未引起m移动移动;第二阶段第二阶段:m0与与m一起下降。一起下降。m0与与m碰撞前的速度碰撞前的速度v
22、0 :(34)第一阶段角动量守恒：第一阶段角动量守恒：第二阶段机械能守恒第二阶段机械能守恒(取下落取下落s处为势能零点处为势能零点):其中其中x0为为m下降前弹簧的伸长量下降前弹簧的伸长量,且且mg=kx0其中其中JM为圆盘的转动惯量，为圆盘的转动惯量，(35)例例12:转台绕过质心的铅直轴转动转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为初角速度为0,转转台对此轴的转动惯量台对此轴的转动惯量 J=510-5kgm2,今有砂粒以每秒今有砂粒以每秒1g速率垂直落在转台上速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴砂粒落点距轴 r=0.1m,求求砂粒砂粒落在转台上使转台角速度减为落在转台上使转台角速度减为0/2 所需时
23、间所需时间?解解:取转台和落下的砂粒为系统取转台和落下的砂粒为系统守恒守恒(36)t 时刻落下的砂粒质量时刻落下的砂粒质量:m=0.001t kg/s例例13:质量为质量为m1的匀质园盘的匀质园盘,半径为半径为R,盘底面与水平盘底面与水平接触面之间之间摩擦系数为接触面之间之间摩擦系数为.一个质量为一个质量为m2的子的子弹以速度弹以速度v射入盘边缘并嵌在盘边射入盘边缘并嵌在盘边,求求 1)子弹嵌入盘子弹嵌入盘边后盘的角速度边后盘的角速度?2)经多少时间停下来经多少时间停下来?3)盘共转盘共转多少角度多少角度?rdr2)子弹与盘从子弹与盘从 到停止转动到停止转动,运用角动量定理运用角动量定理(37
24、)Mt=0-J解解:1)子弹与园盘相撞子弹与园盘相撞,守恒守恒 (38)M=M1+M2M2=-m2 gR3)运用功能原理运用功能原理:(39)方向与方向与 方向相同方向相同dt 时间内轴时间内轴oo 转过转过 d 角角进动进动(又叫旋进又叫旋进):高速自旋的物体的高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象称为进动。转轴在空间转动的现象称为进动。(40)5.5 5.5 进动进动进动进动(Precession)(Precession)重力矩重力矩:M=mgr角动量定理角动量定理:进动的角速度进动的角速度:思考思考:为什么炮筒内壁上刻有螺旋线为什么炮筒内壁上刻有螺旋线(又称来复线又称来复线)?o（俯视图）
25、（俯视图）omg 刚体的定轴转动刚体的定轴转动(The rotation of a rigid body about a fixed axis)(The rotation of a rigid body about a fixed axis)基本要求基本要求1.理解描述刚体定轴转动的物理量理解描述刚体定轴转动的物理量,并掌握角量和线量并掌握角量和线量 的关系。的关系。2.理解力矩和转动惯量的概念理解力矩和转动惯量的概念,掌握刚体绕定轴转动的掌握刚体绕定轴转动的 转动定律。转动定律。3.理解角动量的概念理解角动量的概念,掌握刚体绕定轴转动的角动量守掌握刚体绕定轴转动的角动量守 恒定律。恒定律。4
26、.理解刚体绕定轴转动的转动动能的概念理解刚体绕定轴转动的转动动能的概念,会在有刚体会在有刚体 绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。5.能综合应用以上规律分析和解决包括质点和刚体在能综合应用以上规律分析和解决包括质点和刚体在 内的简单系统的力学问题。内的简单系统的力学问题。(41)知识网络知识网络刚体定轴转动刚体定轴转动动力学规律动力学规律定轴转动定律定轴转动定律力力 矩矩 刚体转动惯量刚体转动惯量力矩的功力矩的功定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 机械能守恒定律机械能守恒定律 当当A外外A非保内非保内0时时转动动能转动动能定轴转动的角动量定
27、理定轴转动的角动量定理冲量矩冲量矩角动量角动量角动量守恒定律角动量守恒定律当当 时时刚体定轴转刚体定轴转动的应用动的应用刚体力学习题课刚体力学习题课基本思路基本思路 两大类两大类:1.刚体定轴转动的运动学问题刚体定轴转动的运动学问题刚体的运动刚体的运动=平动平动+转动转动 平动刚体平动刚体 质点质点 质点力学问题质点力学问题转动刚体转动刚体已知已知(t),求求,用导数用导数已知已知 或或，求，求(t)用积分用积分2.刚体定轴转动的动力学问题刚体定轴转动的动力学问题关键是分析受力关键是分析受力(力矩力矩),两套方法两套方法:(43)方法一方法一:用转动定律解题用转动定律解题(1)平动物体平动物体
28、,用隔离体法用隔离体法,写出牛顿方程写出牛顿方程(2)转动物体转动物体,用隔离体法用隔离体法,分析力矩分析力矩,写出转动方程写出转动方程(3)由角量和线量关系由角量和线量关系,将平动和转动联系起来将平动和转动联系起来方法二方法二:用运动定理或守恒定律解题用运动定理或守恒定律解题(1)刚体定轴转动的功能问题刚体定轴转动的功能问题(包括机械能守恒包括机械能守恒)(2)角动量守恒问题角动量守恒问题3.习题的基本类型习题的基本类型(1)刚体的纯转动问题刚体的纯转动问题(2)刚体平动与转动的综合问题刚体平动与转动的综合问题(3)质点与刚体的碰撞问题质点与刚体的碰撞问题(44)习题习题1:如图所示如图所示
29、,一根质量一根质量m、长、长l 的均匀细棒的均匀细棒AB可可绕一水平的光滑转轴绕一水平的光滑转轴O在竖直平面内转动在竖直平面内转动,O轴离轴离A端端的距离为的距离为l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕O轴轴转动。转动。求求:1)棒在水平位置时刚起动时的角加速度棒在水平位置时刚起动时的角加速度;2)棒转到竖直位置时的角速度和角加速度棒转到竖直位置时的角速度和角加速度;3)棒转到竖直位置时棒转到竖直位置时,棒两端和中点的速度和加速度。棒两端和中点的速度和加速度。l/3ACBO.解解:以棒为对象以棒为对象,受重力和轴受重力和轴的支持力的支持力,支持力不产生力矩。支持力不
30、产生力矩。选顺时针方向为正。选顺时针方向为正。1)棒在水平位置时受到的合外力矩棒在水平位置时受到的合外力矩:(45)l/3ACBO.棒对棒对O轴的转动惯量：轴的转动惯量：由转动定律得由转动定律得2)重力矩的元功重力矩的元功:棒从水平位置转到竖直位置过程中棒从水平位置转到竖直位置过程中,重力矩作功重力矩作功:由动能定理得由动能定理得竖直位置时竖直位置时,棒受重力矩为零棒受重力矩为零,此时瞬时角加速度为零。此时瞬时角加速度为零。(46)3)方向向左方向向左方向向右方向向右方向向左方向向左方向向上，指向方向向上，指向O点点方向向下，指向方向向下，指向O点点方向向上，指向方向向上，指向O点点(47)习
31、题习题2:如图如图,设滑块设滑块A,重物重物B及滑轮及滑轮C质量分别为质量分别为MA,MB,MC,滑轮滑轮C是半径为是半径为 r 的均匀圆板。滑块的均匀圆板。滑块A与桌面之间与桌面之间,滑轮与轴承之间均无摩擦滑轮与轴承之间均无摩擦,轻绳与滑轮之间无滑动。轻绳与滑轮之间无滑动。求求:(1)滑块滑块A的加速度的加速度a (2)滑块滑块A与滑轮与滑轮C之间绳的张力之间绳的张力T1 (3)滑轮滑轮C与重物与重物B之间绳的张力之间绳的张力T2ABCT2T1N MCg解解:T1MAgNAT2MBgB选正方向选正方向列方程列方程 A:T1MAa B:T2rT1 rJC C:MBgT2MBa(48)解方程得解
32、方程得讨论讨论:(49)习题习题3:长为长为l,质量质量M的竖直杆可绕水平轴的竖直杆可绕水平轴o转动转动,质质量为量为m的小球垂直击中杆的中部的小球垂直击中杆的中部,并且碰撞后自由下并且碰撞后自由下落落,而杆在碰后的最大偏角为而杆在碰后的最大偏角为 求求:1)小球击中杆前的速度小球击中杆前的速度;2)使轴上的横向力为零时打击的位置。使轴上的横向力为零时打击的位置。解解:1)小球和杆为系统小球和杆为系统,角动量守恒角动量守恒碰后碰后杆和地球为系统杆和地球为系统,机械能守恒机械能守恒(取取杆在竖直位置质心处为势能零点杆在竖直位置质心处为势能零点)(50)2)小球和杆为系统小球和杆为系统(动量不守恒
33、动量不守恒),设小球击中的位置为设小球击中的位置为x由角动量守恒由角动量守恒:(51)对系统应用动量定理对系统应用动量定理:水平方向水平方向:习题习题4:水平圆盘水平圆盘(M,R),以以 0转动转动;玩具汽车玩具汽车(m,质点质点)以匀速以匀速 v相对于盘沿一条半径由中心向边缘行驶相对于盘沿一条半径由中心向边缘行驶;求求 玩具汽车行至园盘边缘时玩具汽车行至园盘边缘时,园盘转了多少圈园盘转了多少圈?解解:园盘转动惯量园盘转动惯量:J1=MR2/2车在车在r 处转动惯量处转动惯量:J2=mr2=m(vt)2系统角动量守恒系统角动量守恒:(52)习题习题5:质量为质量为M、半径为、半径为R的转台的转
34、台,可绕通过中心可绕通过中心的竖直轴转动。质量为的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上的人站在边沿上,人和转人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周,求求:对地而言对地而言,人和转台各转动了多少角度？人和转台各转动了多少角度？已知已知:M,m,R,=0求求:人地人地 ,台地台地 解解:以以M,m为研究对象为研究对象故角动量守恒。故角动量守恒。以地面为参照系以地面为参照系,建立轴的正方向如图建立轴的正方向如图+MXm设人和转台对地面的角速度分别为设人和转台对地面的角速度分别为人地人地,台地台地(53)因人和台原来都静止故角动量因人和台原来都静止故角动量(2)式式dt 积分积分:+X(54)