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1、刚刚 体体 的的 定定 轴轴 转转 动动主讲：左武魁习习 题题 课课内内 容容 一一内内 容容 二二 课课 堂堂 练练 习习 刚体力学内容小结刚体力学内容小结及其与质点力学的对比及其与质点力学的对比刚体力学与质刚体力学与质点力学的对比点力学的对比内内 容容 一一第五章第五章 转动与平动公式对照表转动与平动公式对照表(运动学运动学)质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体刚体角位移角位移角速度角速度r d位置角位置角角加速度角加速度转动惯量转动惯量mJ位移位移速度速度质点质点位矢位矢加速度加速度质量质量匀变匀变速直速直线运线运动动匀变速匀变速转动转动第五章第五章 转动与平动公
2、式对照表（动力学）转动与平动公式对照表（动力学）质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动定律转动定律角动量定理角动量定理角动量守恒角动量守恒运动定律运动定律冲量冲量动量定理动量定理角动量角动量动量守恒动量守恒动量动量角动量角动量动量动量角冲量角冲量M=JL=J P=mivi第五章第五章 转动与平动公式对照表（功和能）转动与平动公式对照表（功和能）质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动动能转动动能功率功率力矩作功力矩作功动能定理动能定理重力势能重力势能只有保守内力作功时只有保守内力作功时机械能机械能守恒守恒只有保守内力作功时只有保守内力作功时力矩力矩平动
3、动能平动动能动能定理动能定理功率功率机械能机械能守恒守恒力作功力作功重力势能重力势能力力P=F vP=M S=r v=r sr0v角量与线量的关系角量与线量的关系刚体的刚体的转转 动动 惯惯 量量几种刚体的转动惯量几种刚体的转动惯量 （P261 表表51）细杆细杆mL通过中心通过中心垂直于杆垂直于杆细杆细杆通过一端通过一端垂直于杆垂直于杆mL刚体形状刚体形状轴的位置轴的位置转动惯量转动惯量名称名称一、几种刚体的转动惯量一、几种刚体的转动惯量Rm薄圆环薄圆环薄圆筒薄圆筒通过筒中心通过筒中心垂直于端面垂直于端面 （中心轴）（中心轴）几种刚体的转动惯量几种刚体的转动惯量 （P261 表表51）刚体形
4、状刚体形状轴的位置轴的位置转动惯量转动惯量圆筒圆筒通过筒中心通过筒中心垂直于端面垂直于端面 （中心轴）（中心轴）名称名称R1R2一、几种刚体的转动惯量一、几种刚体的转动惯量圆盘或圆盘或圆柱体圆柱体Rm通过盘中心通过盘中心垂直于盘面垂直于盘面 （中心轴）（中心轴）轴的位置轴的位置转动惯量转动惯量薄球壳薄球壳Rm球体球体直径直径直径直径Rm一、几种刚体的转动惯量一、几种刚体的转动惯量几种刚体的转动惯量几种刚体的转动惯量 （P261 表表51）刚体形状刚体形状名称名称一、刚体的转动惯量一、刚体的转动惯量do oz zC C如果如果J 是刚体对任一轴是刚体对任一轴 的转动惯量，的转动惯量，Jc 为刚体
5、对通过其质心且与为刚体对通过其质心且与OZ m 为刚体为刚体质量质量，则则平行轴定理平行轴定理d 为两轴间为两轴间距离距离，m1.定义定义2.一般刚体一般刚体3.绕定轴转动的质点绕定轴转动的质点二、平行轴定理二、平行轴定理4.绕定轴转动的质点系绕定轴转动的质点系平行的另一轴平行的另一轴 OZ 的转动惯量，的转动惯量，J=Jc+m d 2课课 堂堂 练练 习习内内 容容 二二从一个半径为从一个半径为 R 的均匀薄板上挖去一个直径为的均匀薄板上挖去一个直径为 R的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心的的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心的R/2处，所剩薄板的质量为处，所剩薄板的质量为 m。求此时
6、薄板对于通过求此时薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量原中心而与板面垂直的轴的转动惯量J。习习 5.9 (P286)Ro oR/2解：解：设大盘（末挖洞前）质量为设大盘（末挖洞前）质量为m0 ，洞对应面积的圆盘质量为洞对应面积的圆盘质量为m1 ，则大盘原面积为则大盘原面积为洞对应面积为洞对应面积为挖洞后剩余部分面积挖洞后剩余部分面积故盘的密度故盘的密度Ro oR/2大盘对大盘对O 轴轴小盘对小盘对O 轴轴故挖洞后薄板对故挖洞后薄板对O轴的转动惯量轴的转动惯量习习 5.9 (P286)解：解：已知两物体的质量分别为已知两物体的质量分别为m1和和m2，定滑轮（可视作，定滑轮（可视作圆盘）的
7、质量为圆盘）的质量为 m 半径为半径为 r，m2与桌面间磨擦系数与桌面间磨擦系数为为k，求，求m1下落的加速度下落的加速度a 和两段绳子中的张力。和两段绳子中的张力。习习 5.11(P286)m1m2 m 解：解：对对m1、m2 和和 m 作示力图作示力图，设设两两段绳中的张力分别为段绳中的张力分别为T1、T2，则则fT1T1T2T2m1g(1)(2)(3)(4)联立以上联立以上4个方程解得个方程解得已知物体的质量已知物体的质量m1=80g,定滑轮（可视作圆盘）质量定滑轮（可视作圆盘）质量 m=100g,半径半径 r=0.05m,弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数 k=2.0N/m。开。开始时先用手
8、托住物体，使弹簧处于自然伸长。求松手后始时先用手托住物体，使弹簧处于自然伸长。求松手后物体下落物体下落 h=0.5m 时的速率。时的速率。习习 5.16(P287)m1 m 试分析试分析物体下落物体下落h=0.5m 时的时的加速度和两段绳中的张力。加速度和两段绳中的张力。fT1T1T2m1g解：解：附：附：长为长为L、质量为质量为M 的均匀杆，一端挂的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置置。一质量为一质量为m 的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0 ，射入杆的下端并嵌于其中。求杆和射入杆的下端并嵌于其中。求杆和子弹开始一起运动时的角速度。子弹开始一起运
9、动时的角速度。例例 5.11(P273)L L解：解：因子弹射入杆并和杆一起运动所经历因子弹射入杆并和杆一起运动所经历的时间极短，故的时间极短，故杆的位置基本不变杆的位置基本不变。选选子弹和杆为系统子弹和杆为系统，则，则碰撞过程碰撞过程中中解得解得因子弹嵌入杆中和杆一起运动的速度因子弹嵌入杆中和杆一起运动的速度v=l，故有故有系统所受系统所受合外力矩为零合外力矩为零，系统，系统角动量守恒角动量守恒。（系统在水平方向（系统在水平方向动量是否守恒动量是否守恒？为什么？）？为什么？）例例 5.14(P276)一长为一长为 l、质量为质量为m 的均匀细杆，静止在光滑的水的均匀细杆，静止在光滑的水平面上
10、，其中点有一竖直光滑的固定轴与杆连接。平面上，其中点有一竖直光滑的固定轴与杆连接。一个质量为一个质量为m 的小球以水平速率的小球以水平速率 v0 垂直于杆冲击垂直于杆冲击其一端而即粘上其一端而即粘上。求碰撞后杆的角速度求碰撞后杆的角速度以及碰撞过以及碰撞过程中损失的机械能程中损失的机械能-E 。解：解：mo选选球和杆为系统球和杆为系统，因碰撞过，因碰撞过程中系统所受程中系统所受合外力矩为零合外力矩为零，系统的系统的角动量守恒角动量守恒。即。即碰撞过程中碰撞过程中机械能的损失机械能的损失习习 5.18(P288)一长为一长为L、质量为质量为M 的均匀细杆，上端用光滑水平的均匀细杆，上端用光滑水平
11、轴吊起而静止下垂。今有一质量为轴吊起而静止下垂。今有一质量为m 的子弹以水平的子弹以水平速率速率v0 射入杆的悬点下方距离为射入杆的悬点下方距离为d 处而不复出。求：处而不复出。求：要想使杆的上端不受水平力，则要想使杆的上端不受水平力，则子弹应在何处击中杆？子弹应在何处击中杆？（3）子弹冲入杆的过程（历时子弹冲入杆的过程（历时 t）中，中，杆的上端受轴的水平和竖直分力杆的上端受轴的水平和竖直分力 的的大小；大小；（2）md d（1）子弹停在杆中时角速度）子弹停在杆中时角速度 的大小；的大小；(M)解：解：（1）子弹击中杆过程中，相对于悬点子弹击中杆过程中，相对于悬点O O，M+m系统系统所受合
12、外力矩为所受合外力矩为0，对对O轴角动量守恒。轴角动量守恒。md则则杆受杆受子弹的水平冲子弹的水平冲力力 f 方向方向向右，向右，对杆对杆运用质心运动定理运用质心运动定理切向切向求子弹冲入杆时，杆上端受轴的水平和垂垂分力；求子弹冲入杆时，杆上端受轴的水平和垂垂分力；（2）设设子弹冲入杆子弹冲入杆的过程中，的过程中，子弹子弹受杆的阻力受杆的阻力大小大小为为 f 习习 5.18(P288)解：解：ff t=mv0-mvFxFx+f=Mactact(=0=)m运用质心运动定理对运用质心运动定理对杆杆+子弹子弹系统分析系统分析法向：法向：求子弹冲入杆时，杆上端受轴的水平和垂垂分力；求子弹冲入杆时，杆上
13、端受轴的水平和垂垂分力；（2）（M）习习 5.18(P288)解：解：dmgMganFyacnomd（3）欲使杆上端不受水平力，求欲使杆上端不受水平力，求d 。依题意，依题意，令令 Fx=0(M)解：解：习习 5.18(P288)一质量为一质量为M、半径为半径为R的水平均匀圆盘，可绕通过中的水平均匀圆盘，可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动，在盘的边缘站着质量为心的光滑竖直轴自由转动，在盘的边缘站着质量为m的人，开始时两者相对于地面静止，求当人在盘上沿的人，开始时两者相对于地面静止，求当人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度边缘走过一周时，盘对地面转过的角度 。例例5.12 (P273)RM
14、m人在走动过程中人在走动过程中m+M系统角动量守恒系统角动量守恒解：解：以轴为参照系以轴为参照系用角动量守恒用角动量守恒解：解：在人走动的过程中，人与圆盘组在人走动的过程中，人与圆盘组成的系统对于转轴的角动量守恒。成的系统对于转轴的角动量守恒。方法方法1 1设人和盘对轴的转动惯量分别为设人和盘对轴的转动惯量分别为j 和和J，设人和盘对轴的角速度分别为设人和盘对轴的角速度分别为 和和 ；设人和盘对轴的角位移分别为设人和盘对轴的角位移分别为 和和 ；由上两式解得由上两式解得RM例例5.12 (P273)m在人走动的过程中，人与圆盘组成的系统对于转轴在人走动的过程中，人与圆盘组成的系统对于转轴的角动
15、量守恒。的角动量守恒。设任意时刻人与圆盘的角速度分别为设任意时刻人与圆盘的角速度分别为、，则则依题意依题意解：解：方法方法2例例5.12 (P273)方法方法11用用机械能守恒定律机械能守恒定律取初始位置为势能零点，则取初始位置为势能零点，则例例5.10 (P270)一均匀细棒（一均匀细棒（，m），），可绕过其一端的光滑轴转可绕过其一端的光滑轴转动，开始时棒静止于水平位置，求其下摆角为动，开始时棒静止于水平位置，求其下摆角为 时的角速度时的角速度。用机械能守恒定律（或转动动能定理）解例用机械能守恒定律（或转动动能定理）解例5.7解：解：解：解：力矩的功力矩的功由转动动能定理知由转动动能定理知又
16、又即即因对应于因对应于 角时的力矩角时的力矩方法方法2用用转动动能定理转动动能定理例例5.10 (P270)解：方法解：方法3 用用转动定律转动定律例例5.10 (P270)宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J=2 10 kgm2，正以正以=0.2 rad/s 的角速度绕中心的角速度绕中心轴旋转。宇航员想用两个切向控制喷管使飞船停止轴旋转。宇航员想用两个切向控制喷管使飞船停止旋转旋转。两喷管距轴线距离均为两喷管距轴线距离均为r=0.5m。两喷管喷气两喷管喷气流量稳定流量稳定，共是共是q=2kg/s。喷气相对于飞船的喷射速喷气相对于飞船的喷射速率恒定为率恒定为 u=5
17、0 m/s。问喷管应喷多长时间才能使飞问喷管应喷多长时间才能使飞船停止旋转？船停止旋转？例例 5.13(P275)解：解：u选选飞船飞船及喷出的及喷出的燃气燃气为系统，为系统，则系统的初角动量则系统的初角动量 L J。因喷气相对飞船喷射速率恒定，因喷气相对飞船喷射速率恒定，故喷出燃气质量为故喷出燃气质量为m 时，时，L1=r m(u+v)m u(因因 u v )喷出的燃气对飞船中心轴所产生的角动量为喷出的燃气对飞船中心轴所产生的角动量为r例例 5.13(P275)解：解：u系统的初角动量系统的初角动量L J。L1=rm(u+v)mru喷出燃气质量为喷出燃气质量为m 时，对时，对飞船中心轴产生的角动量飞船中心轴产生的角动量r飞船飞船 J=2 10 kgm2,=0.2rad/s。喷气相对于飞船喷气相对于飞船的喷射速率为的喷射速率为 u=50 m/s，流量流量 q=2kg/s，r=0.5。因喷气过程中系统所受合外力矩为零，角动量守恒，因喷气过程中系统所受合外力矩为零，角动量守恒，故有故有J=mru则所求时间：则所求时间：再再 见见