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1、刚体的定轴转动 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.1 3.1 刚体定轴转动的运动学刚体定轴转动的运动学刚体：刚体：有一定的形状和大小，在外力作有一定的形状和大小，在外力作用下形状和大小永远不变的物体用下形状和大小永远不变的物体。刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动.平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于
2、它们的初始位置间的连线们的初始位置间的连线.转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动.转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动.参考平面参考平面 角坐标角坐标 q q约定约定沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 角速度矢量角速度矢量 方向方向:右手螺旋方向右手螺旋方向参考轴参考轴刚体转动的描述刚体转动的描述角加速度角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3）运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐
3、标.定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转动方向可维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表示示.质点的直线运动质点的直线运动/刚体平动刚体平动刚体定轴转动刚体定轴转动 力力 矩矩 :力臂力臂 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P,且在且在转动平面内转动平面内,为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径矢的径矢.对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 3.2 3.2 刚体定轴转动的动力学刚体定轴转动的动力学 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比，与
4、刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.转动定律转动定律 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度：质量元：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量OO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例例
5、1 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求通均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒ORO 例例2 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通过的均匀圆盘，求通过盘中心盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的的圆环圆环而而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量平行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形状形状及转轴的
6、位置及转轴的位置.质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CO注意注意圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量O刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理转动动能转动动能 对刚体中距转轴为对刚体中距转轴为ri处的质点，若其质量为处的质点，若其质量为mi，速度为，速度为vi，则其动能为：，则其动能为：将刚体内所有质点的动能相加得刚体的将刚体内所有质点的动能相加得刚体的转动动能为：转动动能为：viri力矩的功力矩的功力矩作功力矩作功 力矩的力矩的功率功率:结论：刚体内力矩的
7、功的代数之和恒为零。结论：刚体内力矩的功的代数之和恒为零。刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量动动能的增量.OCmgC设棒摆到竖直位置时角速度为设棒摆到竖直位置时角速度为，则由转动动能定理得：，则由转动动能定理得：细棒以一端为转轴的转动惯量为：细棒以一端为转轴的转动惯量为：Lg/3=w w代入得：代入得：解：下摆时，棒所受的力矩只有重力力矩解：下摆时，棒所受的力矩只有重力力矩mgLsin/2，所作的功为：，所作的功为：例例1：一质量为：一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，可的均匀细
8、棒，可绕其一端在竖直平面内转动。细棒从水平绕其一端在竖直平面内转动。细棒从水平位置开始自由下摆，求位置开始自由下摆，求:细棒摆至竖直位细棒摆至竖直位置时的角速度。置时的角速度。本题也可用机械能守恒定律求解，即：本题也可用机械能守恒定律求解，即：这说明，一般质点系的功能原理和机械能守恒定律同样可这说明，一般质点系的功能原理和机械能守恒定律同样可用于刚体转动。用于刚体转动。在刚体定轴转动中，机械能守恒定律的数学表达式为：在刚体定轴转动中，机械能守恒定律的数学表达式为：其中：其中：hC为刚体质心到重力势能零点的距离。为刚体质心到重力势能零点的距离。力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量
9、、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理.角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律 质点质点运动状态的描述运动状态的描述 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理.刚体刚体定轴转动运动状态的描述定轴转动运动状态的描述(1)质点的角动量质点的角动量 质点以角速度质点以角速度 作半径为作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量的圆运动，相对圆心的角动量 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在在空间运动，某时刻相对原点空间运动，某时刻相对原点 O 的位的位矢为矢为 ，质点相对于原点的角动量，质点相对于原点的角动量大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则
10、.角动量角动量（2）质点系的角动量：）质点系的角动量：（3）刚体的角动量：）刚体的角动量：质点系内部所有质点的动量对某一定点的转矩，即：质点系内部所有质点的动量对某一定点的转矩，即：作定轴转动的刚体，其内部所有质点具有相同的角速度：作定轴转动的刚体，其内部所有质点具有相同的角速度：作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角动角动量量随时间的随时间的变化率变化率.角动量定理角动量定理 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该的合力矩为零时，质点对该参考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量.恒矢
11、量恒矢量 冲量矩冲量矩4.5.3 角动量守恒定律角动量守恒定律结论：合外力矩的角冲量等于物体角动量的增量，结论：合外力矩的角冲量等于物体角动量的增量，即是角动量定理。即是角动量定理。角动量守恒定律讨论：角动量守恒定律讨论：（1）单个刚体）单个刚体J=恒量，角动量守恒恒量，角动量守恒=C 即：刚体作惯性转动。即：刚体作惯性转动。（2）多个刚体，角动量守恒表达式为：）多个刚体，角动量守恒表达式为：（3）质点和刚体，角动量守恒表达式为：）质点和刚体，角动量守恒表达式为：注意：注意：是质点速度在转动平面内的分量。是质点速度在转动平面内的分量。（4）对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守）对于非刚体，即转
12、动惯量变化。角动量守 恒的表达式：恒的表达式：若动作后角速度增加，则若动作后角速度增加，则 与与d 同向，所以同向，所以例如：花样滑冰运动员。例如：花样滑冰运动员。问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能 如何变化？如何变化？例例1 一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转动自由转动.一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支点为的子弹射入竿内距支点为 处，处，使竿的偏转角为使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为多少问子弹的初速率为多少?解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统.子子弹射入竿的过程系统角动量守恒弹射入
13、竿的过程系统角动量守恒 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统，机械能守恒，机械能守恒.例例2：长长为为L的的匀匀质质细细棒棒，一一端端悬悬于于O点点，自自由由下下垂垂，紧紧接接O点点悬悬一一单单摆摆，轻轻质质摆摆绳绳的的长长为为L，摆摆球球的的质质量量为为m，单单摆摆从从水水平平位位置置由由静静止止开开始始自自由由下下摆摆，与与细细杆杆作作完完全全弹弹性性碰碰撞撞，碰后单摆停止。碰后单摆停止。求：求：(1)细杆的质量；细杆的质量；(2)细杆摆动的最大细杆摆动的最大 角度角度max。OLm解解:解得解得:OLm例例3：如图，质量为：如图，质量为M，半径为，半径为R
14、 的边缘有光滑的边缘有光滑挡板围成侧槽的圆盘，可以绕中心轴自由转挡板围成侧槽的圆盘，可以绕中心轴自由转动，开始时盘静止。今有一质量为动，开始时盘静止。今有一质量为m，半径，半径为为r 的棋子以初速的棋子以初速 v0沿圆盘边缘的切线方向沿圆盘边缘的切线方向进入侧槽，若棋子与圆盘表面的摩擦系数为进入侧槽，若棋子与圆盘表面的摩擦系数为。求：多长时间后棋子与圆盘处于相对静求：多长时间后棋子与圆盘处于相对静止状态？止状态？mv0oR光滑侧槽光滑侧槽解：棋子进入侧槽后，与盘面之间存在摩擦力解：棋子进入侧槽后，与盘面之间存在摩擦力f=mg，由于，由于它的作用使得圆盘作加速转动而棋子作减速转动，最后它的作用使
15、得圆盘作加速转动而棋子作减速转动，最后两者相对静止具有共同角速度两者相对静止具有共同角速度。整个系统在转轴方向上所受合外力矩为零，则系统的整个系统在转轴方向上所受合外力矩为零，则系统的角动量守恒：角动量守恒：对圆盘而言，摩擦力矩为：对圆盘而言，摩擦力矩为：设在设在t 时间内圆盘角速度由时间内圆盘角速度由0-则由角动量定理可得：则由角动量定理可得：讨论：若讨论：若r R，即可认为棋子是质点，求最终角速，即可认为棋子是质点，求最终角速度和所需时间。度和所需时间。例例4 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动直的轴
16、在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以有一只小虫以速率速率 垂直落在距点垂直落在距点O为为 l/4 处处,并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫小虫应以多大速率向细杆端点爬行应以多大速率向细杆端点爬行?解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒角动量守恒由角动量定理由角动量定理即即考虑到考虑到 例例5 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高
17、为 h 处自由下落到跷板的处自由下落到跷板的一端一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量演员的质量均为均为m.假定演员假定演员M落在跷板上落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问问演员演员N可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点点的速度的速度 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度具有相同的线速度 把把M、N和跷板作为一个和跷板作为一个系统系统,角动量守恒角动量守恒解得解得演员演员 N 以以 u 起跳起跳,达到的高度达到的高度ll/2CABMNh