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1、 方法技巧专题14 不等式的性质与线性规划 一、不等式的性质与线性规划知识框架 二、不等式的性质 【一】不等式的性质 1.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc,acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)2.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0. a0bb0,0c. 0axb或axb0b0，m0，则(bm0) ；0)1.例题【例1】若a，b，cR，且ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa+cbcB（ab）c20CacbcD【例2】三个正整数，满足条件: ，若，则的
2、最大值是（ ）A12B13C14D15【例3】下列不等式正确的是（）A若ab，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ab，则D若ac2bc2，则ab2.巩固提升综合练习【练习1】设ba0，cR，则下列不等式中不一定成立的是（）AabBCDac2bc2【练习2】对于实数a、b、c，有下列命题：若ab，则acbc2，则ab；若ababb2；若cab0，则；若ab，则a0，b0.其中正确的是_(填写序号)【二】比较数（式）大小 比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先
3、平方再作差(2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系1.例题【例1】已知ta+4b，sa+b2+4，则t和s的大小关系是（）AtsBtsCtsDts【例2】已知：，则3，的大小关系是（ ）ABCD【例3】已知，则a、b、c的大小关系为 2.巩固提升综合练习【练习1】已知ab0，xa+beb，yb+aea，zb+aeb，则（）AxzyBzxyCzyxDyzx【练习2】若，则的大小关系是（ ）ABCD的大小由的取值确定【练习3】已知a，b，x均为正数，且ab，则_（填“”、“”或“”）【练
4、习4】设0x1，a0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小。 二、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 【一】二元一次不等式组表示的平面区域 1.解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解2.根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定
5、问题的答案1.例题【例1】不等式组表示的平面区域的面积为_【例2】设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是()A. B. C. D. 2.巩固提升综合练习【练习1】不等式组的解集记为.有下面四个命题：， ：,：， ：.其中真命题是（ ） .， .， .， .，【练习2】设集合则A对任意实数，B对任意实数，C当且仅当时，D当且仅当时，【二】求解目标函数的取值范围（最值） 1. 线性目标函数(1)线性目标函数zAxBy一组平行线yx.(2)最值平行线组的最大(小)纵截距.(3)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处
6、取得(4)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义与y轴上的截距相关的数2. 非线性目标函数(1)点到点的距离型：形如z(xa)2(yb)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；(2)斜率型：形如z，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率1.例题【例1】已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）A-5B2C7D11【例2】已知实数，满足线性约束条件，则的取值范围是（ ）A，B，C，D，【例3】设满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D.2.巩固提升综合练习【练习1】已知实数x,y满足2x+3y-60x-y+20x4，则z=x-3
7、y+2的最大值为_.【练习2】已知实数x，y满足不等式组,则的取值范围是（）A（-1，-2BCD【练习3】已知实数满足，则的最小值为_ 【三】求解目标函数中参数的取值范围 1.求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数1.例题【例1】已知实数，满足不等式组，且目标函数的最大值为，则实数的值为_【例2】实数对(x,y)满足不等式组x-y-20,x+2y-50,y-20,则目标函数z=
8、kx-y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是（ ）A. (-,-12)1,+) B. (-12,+) C. -12,1 D. (-,-1【例3】已知实数x,y满足2x+y-20x+2y-40x-y-10，且(k-1)x-y+k-20恒成立，则实数k的最小值是_2.巩固提升综合练习【练习1】已知实数满足约束条件，若的最大值为，则实数的值是_【练习2】已知实数x,y满足x-y+20,x+y0,5x-y-60.若z=x+my的最小值是-5，则实数m取值集合是（ ）A. -4,6 B. -74,6 C. -4,-74 D. -4,-74,6 【练习3】满足约束条件，若取得最大值的最优解不
9、唯一，则实数的值为（ ）A B C2或1 D【四】简单线性规划问题的实际运用 1.解线性规划应用题3步骤转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题求解解这个纯数学的线性规划问题作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式1.例题【例1】某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A，B两种饮品.生
10、产1吨A饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B饮品，需1小时，获利1200元.每天B饮品的产量不超过饮品A产量的2倍，每天生产B饮品的时间不低于生产A饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为_元【例2】自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时，湖北省累计接收捐赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，1
11、0名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？【点睛】本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题，考查了数形结合的思想，解题关键在于列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，同时注意整点的选取，属于中档题.【例3】某运输公司计划装运甲乙两种货物（单位：箱），已知两种货物的体积、重量、可获利润和装载能力限制数据如表所示，甲乙两种货物各装运多少箱可使公司获利最大？最大利润为多少？货物体积/箱重量/箱
12、利润/箱甲2（吨）20（百元）乙5（吨）10（百元）装载能力限制13（吨）2.巩固提升综合练习【练习1】现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利_元 【练习2】某人有一幢楼房，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大客房每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住
13、宿费为40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？ 三、课后自我检测 1已知非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）ABCD2若，下列不等式一定成立的是（）ABCD3设，若，则下列不等式正确的是（ ）ABCD4下列命题中，正确的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则5若，则下列选项中正确的是（ ）ABCD6若ab，cd，下列不等式正确的是（）ABCD7已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD8
14、设，则（ ）ABCD9若，且，则，从小到大的排列顺序是_10若x，y满足2yxy-1，则y-2x的取值范围是()A(-,12)32，+) B(12,32 C(-,1232,+) D12,3211若，满足约束条件，则的取值范围为_12若变量，满足，则的取值范围为_13.设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3 C5或3 D5或314.若x，y满足且z3xy的最大值为2，则实数m的值为()来源:Zxxk.ComA. B. C1 D215.已知实数x，y满足若目标函数zxay取得最小值的最优解有无数多个，则zxay的最大值为_16.在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的
15、平面区域的面积为，若x，y满足上述约束条件，则z的最小值为 。17设变量x，y 满足约束条件x+y4,3x-2y6,y-1,则(x-1)2+y2的取值范围是_18.已知实数x，y满足条件则z|2x3y4|的最大值为 。19.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）来源:学科网128A12万元 B16万元 C17万元 D18万元20.某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料生产一件产品需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品的利润为900元该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为元21学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？