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1、2023-2024学年高一第二学期期末模拟考试（新人教A版）数学试题2024.61、满分为 150 分， 考试用时 120 分钟。 2考试内容：必修第二册：第六章平面向量及其应用 ，第七章复数，第八章立体几何初步， 第九章统计，第十章概率一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. 2C. D. 2、某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名（假设测试成绩两两不同），成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（ ）A. 15B. 25C. 30D. 353、在正方体中，下列关系正确的是（）A. B. C. D. 4、掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点
2、”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等5、某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（ ）A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米 6、已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）A. B. 2C. D. 7、把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面
3、直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 8、为三角形内部一点，均为大于1的正实数，且满足，若分别表示的面积，则为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9、国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：北方城市环比（单位：%，上月=100）南方城市环比（单位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家庄99.6南昌99.6沈阳
4、99.7福州99.8则（ ）A. 4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差B. 4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值C. 4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差D. 4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数10、下列说法正确的是（ ）A. ，B. C. 若，则的最小值为1D. 若是关于x的方程的根，则11、如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为B. 直线与平面所成的角为C. 二面角平面角的正切值为D. 点到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。1
5、2、水平放置的平行四边形, 用斜二测画法画出它的直观图, 如右图所示. 此直观图恰好是个边长为的正方形, 则原平行四边形的面积为 . 13、如图，用，三种不同元件连接成系统S，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响.当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统S正常工作.已知元件，正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统S正常工作的概率为_. 14、已知为的外心，则的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、（13分）已知，如图，在中，点，满足，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，三点共线 （1）用，来表示；（2）求的最小值16（
6、15分）为分析某次数学考试成绩，现从参与本次考试的学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示 （1）求频率分布直方图中的值；（2）试估计本次数学考试成绩的平均数和第50百分位数；（3）从样本分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的2名学生中恰有1人成绩在中的概率17（15分）如图，在正方体中，为上底面的中心.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）判断棱上是否存在一点，使得？并说明理由.18、（17分）某市为提升城市形象，打造城市品牌，拟规划建设一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园
7、为五边形区域ABCDE（如图所示），其中三角形区域ABE为健身休闲区，四边形区域BCDE为文娱活动区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，. （1）求道路BE的长度；（2）求道路AB、AE长度之和的最大值.19、（17分）如图1，在等腰梯形中，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥（如图2）. （1）若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度；（2）若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小.参考答案1、B 2、B 3、D 4、C 5、 A 6、A 7、D 8、C 7、【详解】如图，取的中点，连接，因为，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，即，所以为等边三角形，所以
8、，因为，所以，所以，所以，即，得，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A8、【详解】解：由，如图设，即是的重心同理可得，所以故选：C9、AD 10、ACD 11、ACD 12、 13、 14、 14、由为的外心可得，故，又，可得，故，则的面积为15、（1） （2），三点共线，当且仅当，时，的最小值为16、（1）由频率分布表知，成绩在内的频率依次为，由，解得，所以.（2）由（1）知，第50百分位数，则有，解得，所以本次数学考试成绩的平均数为107.4，第50百分位数105.7.（3）分数在，的两组学生的人数比为，因此用分层抽样的方法抽取的5名学生中，分数在内的学生有4人，记为，分数在内的学生有
9、1人，记为，从5名学生中随机选取2人的结果有，共10个，选出的2名学生中恰有1人成绩在内的结果有，共4个，所以选出的2名学生中恰有1人成绩在中的概率为.17、（1）连接，因为，为中点，所以，又因为，所以.（2）设点到平面的距离为，所以，所以，则，所以.所以到平面距离为.（3）不存在,如下图，作一个相同的正方体，取为上底面的中心，连接，易知是平行四边形，所以，而与相交，所以棱上不存在一点，使得.18、（1）如图，连结， 在中，由余弦定理得，则，则，又， 在中，由正弦定理，或（舍去），即，由，得，即的长度是（2）设，由，得，在中，由正弦定理，又，当，即时，取得最大值，即道路长度之和的最大值为19、解：（1）取的中点,连接,因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因为平面，平面，所以平面平面；因为平面平面,平面平面,所以，即为的中点，所以.（2）由图1可知，等腰梯形的高为，所以四边形的面积为；因为四棱锥的体积等于2，所以四棱锥的高等于，因为三角形的高为，所以平面平面；取的中点,连接,由图1可知，均为等边三角形，所以,，且;因为,所以平面，因为平面，所以；由图1可知，所以是二面角的平面角，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以为直角三角形；在中，所以，即二面角为.学科网（北京）股份有限公司