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1、 8.4.1 平面平面第八章第八章 立体几何初步立体几何初步课程目标课程目标1.正确理解平面的概念；2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.一、平面的概念：课桌面、黑板面、平静的水面等都是我们熟悉的平面形象，几何中的平面就是从这样的一些物体中抽象抽象出来的一种几何元素.平面在空间是向四周无限延伸的，平面没有大小、厚薄和宽窄。平面的特征：平面的特征：(1)平展性(2)无限延展性(3)没有厚度海面、湖面、桌面、黑板面、墙面在立体几何中，常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。平面通常画成一个平行
2、四边形.（1）当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，（通常将平行四边形的锐角化成45，且使横边长等于其邻边长的2倍）；（2）当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一边画成竖向.二、平面的画法：（3）在画两个相交平面时，如果一个平面被另一个平面遮挡，那么被遮挡部分一般用虚线画出或者不画.1.通常用平行四边形来表示平面.有时候也会用其他图形来表示平面，如三角形，矩形，梯形，圆等等.用大写英文字母表示平面，如对角线字母表 示平面，比如平面AC，平面BD等等.用平行四边形的四个顶点字母来表示平面，如平面ABCD用平面内不共线的三个点来表示平面,如平面ABC三、平面三、平面的表示的表示DCAB平
3、面AC或平面BD平面记作：平面ABCD2.ABC基础练习5、一个平面长一个平面长 4 米，宽米，宽 2 米；米；()6、平面有边界；平面有边界；()7、一个平面的面积是一个平面的面积是 25 cm 2；()8、菱形的面积是菱形的面积是 4 cm 2；()9、一个平面可以把空间分成两部分一个平面可以把空间分成两部分.()文字语言符号语言图形语言 四、点、线、面之间的关系及符号表示四、点、线、面之间的关系及符号表示A文字语言符号语言图形语言,相交于/=四、点、线、面之间的关系及符号表示四、点、线、面之间的关系及符号表示文字语言符号语言图形语言,相交于/=/=四、点、线、面之间的关系及符号表示四、点
4、、线、面之间的关系及符号表示思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？五、平面的基本事实五、平面的基本事实图形语言(1)基本事实的条件为“过不在一条直线上的三点”，如果改为“过三个点”，则可能存在无数个平面基本事实过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面应用确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面对基本事实对基本事实的理解的理解(2)基本事实的结论为“有且只有一个平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性ACB五、平面的基本事实五、平面的基本事实思考2：如果直线l与平面有一个公共点P，直线l是否在平面内？如果直线l与平面有两个公共点呢？在实际生活中，我们有这样的经验：
5、如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上。而一个点是不可以确定的。AlABl直线l在平面 外直线l在平面 内平面 经过直线l五、平面的基本事实五、平面的基本事实图形语言(1)直线是平面的真子集基本事实如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.应用判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内，证明线在面内对基本事实对基本事实的理解的理解(2)整条直线在平面内，则直线上的所有点都在平面内ABl五、平面的基本事实五、平面的基本事实思考3：把把三角板的一个角立在课桌面上，三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相三角板所在平面与桌面所
6、在平面是否只相交于一点？为什么？交于一点？为什么？想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面，可以想象，两个平面相交于一条直线.教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们又得到一个基本事实五、平面的基本事实五、平面的基本事实图形语言基本事实如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线应用 =,且 若两个相交平面有两个公共点，则过这两点的直线就是相交平面的交线；对基本事实对基本事实的理解：的理解：若两个相交平面有三个公共点，则这三点共线；若两个平面相交，则一个平面内的直线与另一平面的交点必在两平面的交线上；若两个不
7、重合的平面有一个公共点，则这两个平面相交.五、平面的基本事实五、平面的基本事实lP判断两个平面相交的依据判断点在直线上证明点共线、线共点的依据。图形语言推论经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面应用确定一个平面.六、六、基本事实基本事实和基本事实和基本事实的三个推论的三个推论图形语言推论经过两条相交直线，有且只有一个平面应用确定一个平面.六、六、基本事实基本事实和基本事实和基本事实的三个推论的三个推论图形语言推论经过两条平行直线，有且只有一个平面六、六、基本事实基本事实和基本事实和基本事实的三个推论的三个推论应用确定一个平面.例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系alA
8、BalPb(1)(2)七、七、3 3个基本事实的应用个基本事实的应用（重合法）解解题技巧技巧(证明点明点线共面共面问题的常用方法的常用方法)练习练习1：已知直线bc，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面证明bc，不妨设b，c共面于平面，设abA，acB，Aa，Ba，Ab，Bc，又b，A，同理B，即a，三线共面（纳入法）（重合法）(1)证明三线共点常用的方法:先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.(
9、2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.解解题技巧技巧(证明多点共线、多线共点的常用方法证明多点共线、多线共点的常用方法)【练习】解析解析 连接A1C1,AC,则A1C1AC.所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.
10、故选A.答案 A2.如图，已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上证明：由已知AB的延长线交平面于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面必相交于一条直线，设为l.P直线AB，P平面ABC.又ABP，P平面，P是平面ABC与平面的公共点平面ABCl，Pl.同理，Ql，Rl.P，Q，R三点在同一条直线l上4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1P2PA1，C1Q2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点证明：如图，连接PQ.由B1P2PA1，C1Q2QA1，得PQ/B1C1，且PQB1C1.又BC/B1C1，PQ/BC，且PQBC，四边形BCQP为梯形，直线BP，CQ相交，设交点为R，则RBP，RCQ.1.三个基本事实的内容是什么？三个基本事实的内容是什么？(包括文字语言、图形语言、符号语言包括文字语言、图形语言、符号语言)2.它们的作用是什么？它们的作用是什么？小结