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1、期末复习卷-2023-2024学年数学高一下学期人教A版2019必修第二册一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（）A互斥B互为对立C相互独立D相等2已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（）A19B20C21D224设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为
2、真命题的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则5在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，则（）AB1CD6如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则（）ABCD7在三棱锥中，平面，若该三棱锥的体积为，则其外接球的表面积为（）ABCD8湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45和60，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15，则可估算出双子大厦的高度CD约为（）A284mB286mC
3、288mD290m二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（）A该商场有20名销售员B该啇场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元C该商场这个月有的销售员的销售额超过7万元D该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元10在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（）ABC的面积为D11如图，正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A在底面内（包括边界）运动，若/平面，则的轨迹长度为B在底面内（
4、包括边界）运动，若直线与平面所成角为，则的轨迹长度为C以为球心，为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为D以为球心，为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则 .13易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 14在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为 .四
5、、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在80,89的概率是0.51，在70,79的概率是0.15，在60,69的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率；(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率16已知平面向量，(1)求的值；(2)若向量与夹角为，求实数的值17如图，在平面四边形中，设.(1)求，(2)若，求为何值时，平面四边形的面积最大？18如图，在斜三棱柱中，侧面为菱
6、形，为中点，与的交点为.(1)求证：/平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的正弦值.19点是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.(1)若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值；(2)若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值；(3)若是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：.试卷第5页，共6页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1C【分析】根据概率值判断相等，再应用独立事件概率乘法公式判断独立事件.【详解】因为A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，A与B不相等，D选项错误；则
7、,A与B相互独立，C选项正确；A与B可以同时发生，A选项错误；B选项错误；故选：C.2D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案【详解】，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限故选：D3C【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.【详解】，又该组数据的分位数为22，则，解得.故选：C4C【分析】根据题意，对ABD找到反例即可，对C由线面平行的性质分析即可判断正确.【详解】根据题意，依次分析选项：对A，若，直线可能平行、相交或异面，故错误；对B，若，平面可能相交或平行，故错误；对C：如图，若，过直线作两个平面，根据线面平行的性质可得可得，则
8、，因为，则，又因为，则，则，故C正确；对D，若，则，故D错误.故选：C.5B【分析】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，根据，得，从而计算.【详解】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，则，设，则，则因为，则,的，则，且.故选：B【点睛】关键点点睛：利用坐标法，根据，确定点的坐标，再坐标法计算数量积.6D【分析】计算得出，然后还原直观图得到，结合勾股定理计算即可.【详解】因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，还原直观图得到，如图所示：此时，所以.故选：D.7B【分析】先将三棱锥补成三棱柱，则三棱锥和三棱柱的外接球相同再应用三棱柱几何特征结合正弦定理求出外接球半径
9、，最后求出球的表面积即可.【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，则三棱锥和三棱柱的外接球相同，设分别为和的外心，则三棱柱的外接球球心为的中点，连接并延长交于点，则为的中点，连接，因为，所以，由正弦定理可得，所以，由，即，可得，则，则外接球的表面积.故选：B.8C【分析】先求出，然后在中用正弦定理求出，最后求出.【详解】因为是等腰直角三角形，所以，在中，所以，由正弦定理可知：，在中，.故选：C9ACD【分析】根据统计图，统计即可求解AC，根据平均数的计算即可求解B，根据百分位数的计算即可求解D.【详解】由统计图可知该商场有名销售员，则A正确.该商场这个月所有销售员销售额的平均数为万元，则B错误.该商
10、场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为，则C正确.因为，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是万元，则D正确.故选：ACD10ABD【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案.【详解】因为中，对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则所以，故A正确；对于B，由，设，所以，因为，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确；对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故由于，所以，则，所以，故C不正确；对于D
11、, ，故D正确；故选：ABD11ACD【分析】对于A，构造平面平面,得点的轨迹为平面与平面的交线的长；对于B，经分析得到点在以点为圆心，半径为1的圆弧上，计算即得轨迹长；对于C，D,先判断球面与正方体的哪些表面有交线，再利用弧长公式求解即得.【详解】对于A，如图1，连接,因,且，则得为平行四边形，则,又平面,平面,则有平面,同理平面，又,平面,故得平面平面,因在底面ABCD内（包括边界）运动，且/平面，平面平面，则点在线段上运动，的轨迹长度为的长，故A正确；对于B，如图2，因平面,是在平面上的射影，故即直线与平面所成角，由可得,即点在以点为圆心，半径为1的圆弧上，故的轨迹长度为，故B错误；对于
12、C，如图3，因，故以为球心，为半径的球的球面只与三个平面有交线，交线分别为长度相等的三段弧.连接,在中，,则，易得,故,于是的长为，故球面与正方体的表面的交线长为，故C正确；对于D，如图4，因，故以为球心，为半径的球的球面与正方体的六个面都有交线，分别是,其中三段弧相等，三段弧相等.在中，易得,故,于是的长为；又在中，,于是的长为；故球面与正方体的表面的交线长为：,故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题主要考查与正方体有关的动点轨迹和截面交线问题，属于难题.解题思路在于分析题意，找出轨迹图形和交线位置，再运用弧长公式等数学知识求解即可.12【分析】先求出，然后代入化简即可.【详解】由题
13、意得，所以.故答案为：13/0.2【分析】利用古典概型概率计算公式，再结合计数的基本知识计算即可.【详解】所有的基本事件为，其中，共25个基本事件.目标事件为，共5个基本事件.所以.故答案为：.14/【分析】在中利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得，取的中点，连接，记的外接圆的圆心为，则证得，从而可得外接球的半径为，进而可求出球的表面积.【详解】在中，由余弦定理得，即，解得，所以，所以，取的中点，连接，则.记的外接圆的圆心为，又是等边三角形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以为三棱锥的外接球的球心，为三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答
14、案为：【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥的外接球问题，考查球的表面积公式的应用，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.15(1)0.84(2)0.93【分析】（1）小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“70,79”“80,89”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可.（2）方法一：小明数学考试及格可以看作互斥事件“60,69”“70,79”“80,89”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可.方法二：小明数学考试及格可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件结合对立事件概率公式求解即可.【详解】（1）分别记小明
15、的成绩“不低于90分”“80,89”“70,79”“60,69”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥则小明的成绩不低于70分的概率是.（2）解法一：小明数学考试及格的概率是.解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是.16(1)(2)或【分析】（1）根据题意，由平面向量坐标运算的模长公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平面向量坐标运算的夹角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以，故（2）因为，且，所以，于是有，即，则，其中，解得或17(1)(2)【分析】（1）由正弦定理转化为角，再由同角三角函数基本关系得出即可求解；（2）设，由三角
16、形面积公式及三角恒等变换化简，根据正弦型函数的最值求法得解.【详解】（1）由已知及正弦定理知，因为，故，又，所以，所以.（2）由（1）知，又，故为等边三角形，设.，在中，由余弦定理知，所以，又，所以当，即时，平面四边形的面积最大，最大值为.18(1)证明见解析(2)证明见解析(3).【分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得；（2）由等边三角形证，再由勾股定理逆定理证，由线线垂直推导线面垂直即得；（3）作，证平面，作，证，得为二面角的平面角，由题设求得即得.【详解】（1）如图（1），连接.由三棱柱可知侧面为平行四边形，所以为中点；又因为为中点，所以/，又平面平面，所以/平面；（2）如图（2），
17、连接.由菱形可知，因为，可得为等边三角形；因是中点，则，且；由可得，；因为，则有，即，又平面平面，故平面；（3）由（2）可知平面，因为平面，所以平面平面；如图（3），过点作，垂足为，过作，垂足为，连接.因为平面平面平面，所以平面，因为平面平面，所以；因为平面平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角.在中，可得，在中，可得，在中，可得，因为，所以，即二面角的正弦值为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题.解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作
18、出平面角奠定基础.19(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解，（2）根据的计算公式，代入即可求解，（3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证.【详解】（1）如图1，因为，所以.由正方体的定义可知，则，故，.因为，所以，则.（2）如图2，设，则.因为，所以，则，解得，故.（3）证明：如图3，因为是的等分点，所以.在中，由正弦定理可得，则.在中，同理可得.因为，所以，则.同理可得.故【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素.答案第15页，共16页学科网（北京）股份有限公司