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1、期末复习卷-2023-2024学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）A众数中位数平均数B众数平均数中位数C中位数平均数众数D中位数众数平均数2已知向量，满足：，且，则三角形的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形3设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则4某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为
2、，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（）A10mB14mC17mD20m5一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（）ABCD6用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（）A12BC9D37已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（）ABCD8我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（）A36B46C56D66二、选择题：本题共3小题，每小题6分，
3、共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（）A事件A与事件是互斥事件B事件A与事件是互斥事件C事件A与事件相互独立D事件与事件是对立事件10设复数，则下列命题结论不正确的是（）A的虚部为1BC在复平面内对应的点在第四象限D是方程的根11如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且平面，下面结论正确的是（）A点的运
4、动轨迹为一条线段B直线与所成角可以为C三棱锥的体积是定值D若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12已知复数（其中为虚数单位），则 .13已知向量，则与垂直的单位向量的坐标为 .14如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为 .四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知向量，(1)若，求的值；(2)若，求的值.16已知复数，其中为虚数单位，(1)若，求实数的值；(2)求的最小值，并指出取到最小值时实数的值.17如图，在平行四边形中
5、，已知，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记.(1)若，求线段EF的长；(2)若，设，求实数和的值；(3)若与交于点，求向量与的夹角的余弦值.18随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.(1)求这200户居民本次问卷评分的中位数；(2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
6、(3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.19如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面(1)证明：；(2)已知，四棱锥C-BEDF的体积为3求三棱锥B-ADE的体积；当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值试卷第5页，共6页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1A【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个
7、小矩形下底边中点值，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数平均数，所以众数中位数平均数.故选：A2D【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形.【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心，所以三角形是等边三角形.故选：D.3C【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A：若，则或，又，则或与相交，相交也不一定垂直，故A错误；对于B：若，则或，若，则在平面内存在直线，使得，又，则，又，所以；若，又，所以；综上可得，由，可得，故B错误；对
8、于C：若，则，又，是两个不同的平面，则，故C正确；对于D：若，则或与异面，故D错误故选：C4C【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.【详解】如图，设米，则米，米.在中，由题意可得，由余弦定理可得，解得 米.故选：C.5A【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意每个个体被抽到的概率均为，则某一个特定个体被抽到的概率为.故选：A6D【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得、，再由勾股定理计算可得.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得，所以，则.故选：D7B【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得，
9、再求得角的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.【详解】已知，由正弦定理得，得，由余弦定理，则，即，由正弦定理得，因为，则所以，即.因为为锐角三角形，则，又在上单调递增，所以，则，因为为锐角三角形，解得，所以.故选：B.8C【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解.【详解】由，且，则交于同一点，该“刍童”为四棱台，矩形的面积为,矩形的面积为,且上下底面的高为3，所以四棱台的体积.故选：C9AC【分析】根据题意利用列举法求和，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判断.【详解】由题意可知：样本空间，则，可得，对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正
10、确；对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误；对于选项C：由选项B可知，则，可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确；对于选项D：因为，所以事件与事件不是对立事件，故D错误；故选：AC.10BCD【分析】利用复数的概念及运算就可以作出判断.【详解】由，可得：，所以的虚部为，即A是错误的；由，可知，即B是正确的；由可知在复平面内对应的点在第四象限，即C是正确的；由方程的根为，即D是正确的；故选：BCD.11ACD【分析】不妨设正方体的棱长为1，对于A：可证平面平面，进而可知，即可得结果；对于B：分析可知直线与所成角为，且，分析的长度即可；对于C：分析可知平面，根据平行的定值结合锥
11、体体积公式分析判断；对于D：分析可知平面与正方体的截面为四边形，求长度即可得面积.【详解】不妨设正方体的棱长为1，对于选项A：取的中点，连接，由题意可知：，且，可知为平行四边形，则，又因为分别为的中点，则，可得，且平面，平面，可得平面，因为分别为的中点，则，且，又因为，且，可得，且，可知为平行四边形，则，且平面，平面，可得平面，由，平面，可得平面平面，若平面，可知平面，且侧面，侧面平面，可知，所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确；对于选项B：因为点的运动轨迹为线段，则直线与所成角为，因为侧面，侧面，则，在中，又因为，则有：当为线段的中点时，取到最小值；当为线段的端点时，取到最大值；则，即，可知
12、，故B错误；对于选项C：由选项A可知：平面平面，且平面，则平面，且，可知点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，故C正确；对于选项D：取的中点，连接，因为分别为的中点，则，由选项A可知：，则，所以平面与正方体的截面为四边形，由题意可知：，则等腰梯形的高，所以截面的面积为，故D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于证明平面平面，结合面面平行的性质分析点的运动轨迹，进而逐项分析求解.122【分析】根据虚部的定义直接求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：213【分析】设与向量垂直的单位向量为，利用与向量垂直，且为单位向量得到关于的方程组，再
13、解方程组可得答案.【详解】设与向量垂直的单位向量为，则，解得，或，所以，或.故答案为：.14【分析】利用直观图与原图形的面积比求解即可.【详解】由题意得，而，故，解得，故的面积为.故答案为：15(1)；(2)【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解，（2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解.【详解】（1）由题意知（2），16(1)(2)最小值为，此时【分析】（1）化简得到，求出；（2），从而得到时，取得最小值，最小值为.【详解】（1），解得，经检验，满足要求；（2），当时，取得最小值，最小值为，故最小值为，此时.17(1)(2)(3)【分析】（1）由向量的线性运算可得，
14、两边平方可求解；（2）由已知可得，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得，计算可得结论.【详解】（1）若，则，所以，两边平方可得，所以；（2）若，则，所以，由可得；（3），设，又，又，所以，由，可得，所以，所以，所以，由，可得， 所以，又三点共线，所以，联立解，所以，所以，所以，又，所以，同理可得，所以.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.18(1).(2)480(3).【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果；（2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区
15、居民支持所属物业公司延续服务的户数；（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率；【详解】（1）由图知，解得.评分在的频率为；评分在的频率为，故中位数在之间.设这200户居民本次问卷评分的中位数为，则，解得，故这200户居民本次问卷评分的中位数为.（2）由图知，评分在的频率为，故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4，估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户.（3）由（1）知，评分在的频数为，评分在的频数为.按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户，则评分在内被抽
16、取户，分别记为，评分在内被抽取户，分别记为.从中任意选取2户，有，共10种选法，其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种，这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.19(1)证明见解析(2)；【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明；（2）将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，可推得，从而得，求得结论；在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论【详解】（1）证明：在圆台中，平面平面，因为平面平面，平面平面，所以；（2）将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，
17、在圆台中，平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，又由（1）可知，所以，又，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，在圆台中，所以，所以，所以，所以，连接，交于点，所以，所以，到平面的距离之比，所以；在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，在平面内过点作的平行线交于点，连接，易得，因为平面，所以平面，所以为母线与下底面所成角，因为，所以，所以，要使最小，只要最小即可，因为，所以，所以，设，因为为圆的直径，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，因为，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以，因此为二面角的平面角，在中，因为，所以，因为平面，平面，所以，在中，由勾股定理得，所以，所以二面角的正弦值为【点睛】关键点点睛：第（2）小题第问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解.答案第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司