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1、清北学堂清北学堂第第 3 37 7 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛复赛复赛模拟试题模拟试题 9 9参考答案参考答案【第一题【第一题】（4040 分分）解答：（1）焦点始终在同一高度，表明焦点速度始终水平.即地面与椭圆切点始终在椭圆焦点正下方.如图，某时刻椭圆长轴与竖直方向的夹角为，此时切点记为,x y y，其中 2cosbac，22cab若此时椭圆转动d，则 2cosbdxddac 1 22sincosbcdyddac 2则sincosdycdxac，3又有2cosbyac 可得：221yab dycc dx421dyyacdxcb根据初始条件：0 x，yac 得：arccosyax
2、bc22coscosxxyacaabbb 51-3各 4 分45共 10 分（2）可知滚动过程中焦点离瞬心的距离在椭圆转过角度时最大，此时重力势能最低.可知此时焦点F速率最大，记为v.则此时cavvac6vac7应用垂直轴定理可计算334xyIIIaba b由能量守恒：2211222cmvImgc8得：222222224545gcvacabg abaabab974 分89各 7 分【第【第二题】二题】4040 分分解答：（1）由于圆环受力均匀，所以每部分所受摩擦力仅取决于每部分速度。可以把圆环每部分所受力看做两个力的合成，则整个圆环一致地受到向左的力和每一部分都受到沿切向的力。可知圆环加速度，
3、角加速度为：ccakgv 1kg 2对于A点，在t时刻的位置可以描述为环心位置和A的转角000(1)tkgtkgtedtekg3000(1)tkgtkgtcvxv edterkg4则轨迹为()cos(cos)Acxxrr5()sinAyr61-6共 10 分（2）对于圆盘，仍可以看做两部分受力cakgv 7222022rdmgkkgmrr 8显然与（1）中结果一样()cos(cos)Acxxrr9()sinAyr107-10共 10 分（3）当00vr时，环上每个点的速度可以认为沿着环有一个几近于0r的速度，而在垂直于环的方向上有0cosv的分量，因此可以认为对于处的d一小段：2dfmg 11
4、00cos2nvdfmgr12注意到切向力在x方向和y方向合力为零。22000001cos22cvgvdamgmrr 1322012mgrgdmrr 1411-14共 10 分（4）当00vr时，环上每个点的速度可以认为x方向有近乎0v的速度，而在y方向上有一个0cosr的速度。同（3）中分析，可知x方向力对环心总力矩为零。cag 15220020001cos22rgdmgrmrvv 161516共 10 分【第三题【第三题】（4040 分）分）解答：dQEVdPCdT11121,E TE T21101220112102EEQEVdxT ExT V EE 2220220122122210QE
5、VxTExT EC TTCVETT32212,E TE T12302220212102EEQEVdxTExT V EE4410110221221120QEVxT ExTEC TTCVETT534QQQ吸12QQQ放1-5各 5 分（求出Q吸、Q放、W中一个，且以上 25 分低于 15 分，给至 15 分）2222120112222112021222121222211202121121122QQCVETTxT V EECVETTxT V EEV TTEECVETTxT V EE 放吸6615 分【第四题【第四题】（4040 分）分）解答：考察质心 122m2ccdvqEqvBqEqvBdtq E
6、vB1cxcydvqBvdtm2cycxdvqB EvdtmB3222+0cycyd vqBvdtm400,0 cycxcytdvqEvvtdtm5 sincyEqBtvBm61 coscycxdvEmEqBtvBqBdtBm7000ccttxy2 sincmEqBtqBtxqBmm821 coscmEqBtyqBm9显然两质点运动对于质心对称.故可视为一质点在一端固定于C的2k弹簧和磁场B中运动.200002vkxqBvmx10质点在xy平面内圆周运动.001,0002,1,cossinxyxyxyv tv trxxyxxrr 112mzkz z向为2km简谐振动102sin2mkzutkm
7、,21zz121,22000000sin1 cos2cossinsin 1+2-2mEqBtqBtqBtrxyqBmmmv tv tmkxxyut zxxkm取，取13(1、8、9、11、12式各 5 分，13式 15 分，给出前半部分可得 10 分)【第五题【第五题】（4040 分分）解答：粒子势能23034()mv aV，即粒子受到有心力.角动量守恒。（1）当距离为时，切向、法向速度分别为v，nv02tva v1232222000344110228tnmvamvmvvmv2003222tnavvavav 3123共 10 分（2）以极坐标 ，当在某,处0322navav 4022tvav5
8、则322211122ddaaaa 62221adaa7令cosaa则01sinsinada 8即可知1 cosa9456共 8 分789共 10 分（3）根据（1）问中，在,处003222tnavvavav10则此时粒子沿轨迹速度为：322038avv11势场拉力为VF：234012VdvFmv ad12沿法向分力为1VF：57222106 2tVVvFFmv av13由于轨迹相同，当以0v通过时,需要向心力：2001257322203206 283 24VvFqBvFvmv aamva14即 03 24mvBqa151011各 2 分12-15共 8 分【第六题【第六题】（4040 分分）解
9、答：(1)初始状态气体无限分散，引力势能为 0.用表示末态太阳密度，现在考虑把这些无限分散的气体聚集起来的过程，我们把这些气体分成无限多个质元，一份份的放到一起构成密度为的球体.当球体半径为r时，其质量为343mr则再把质元dm移动过来时释放引力势能32224441633Grr drGmdmdWGr drrr 1总共释放的引力势能为22242250161633155RGMWdWGr drGRR2带入数据计算得到211304183 6.7 102 102.3 105 7 10WJ 3（16 分，若类比电场能，对2012E积分计算也可）(2)由斯特潘-玻尔兹曼定律可知，太阳单位面积辐射功率为472
10、8.7 10/jTW m4太阳表面积218246.2 10SRm，则辐射功率365.4 10PjSW5所以上一问的能量足够消耗147/4.3 101.4 10tW Psyear6(12 分，每式 4 分)(3)初态温度忽略，则引力势能使得太阳温度变为731.6 105SCWGMTKMRc7这个温度足以使核反应点火.如果一般恒星的密度和比热容与太阳相当，则从上式中可以看出，引力势能作用下末态温度正比于2/3/MRM，所以要达到点火温度，恒星的质量下限CM满足2/32/3CCSTMTM8解得0.0727CMM9即恒星质量至少要达到太阳质量的7.27%.这与实际情况8%很接近.(12 分，每式 4
11、分)【第七题【第七题】（4040 分）分）解答：（1）如果细杆静止，显然相机拍出的照片中杆的两个端点A和B是重合的，照片中只有一个点.但是考虑到细杆在运动，A点和B点同时发出的光不会同时到达，A发出的光比B发出的光晚到达ltc 1也就是说，相机记录下的是某时刻A的位置和 t 之后的B的位置.这段时间里细杆已经前进了1lc tl 2所以照片中细杆两端不再重合，二者相距l.因此照片中的细杆应该如下图所示.(10 分)(2)与上一问分析相同，A点和B点同时发出的光不会同时到达，我们不仅能看到BC面，还能看到AB面.AB面的宽度与上一问结果一致，而BC面的宽度应为221ll3所以照片应该如下图所示.（
12、10 分）（3）取随球一起运动的坐标系为S系，S系中球面上的点坐标满足2222xyzr4若在照片中也建立一个坐标系XOZ，坐标原点O是球心的对应点，那么基于前面的讨论，我们可得到X,Z与 x,y,z的对应关系：21Xxy5Zz6其中 5 式第一项对应尺缩后的坐标，第二项则对应推迟效应，y越大的点离相机越远，发光时间越早，则越靠左.所以222222221(1)XZxyzrxy7对于球面上满足210 xy8的点(分布在一个大圆上)，在照片上对应于圆222+XZr的边界.所以照片是一个圆而非椭圆.最靠左的点X最小，即有0Z，由210 xy90z 10可得xr 1121y 120z 13同理最右边的点
13、xr 1421y 150z 16即这两点在S系中与x轴夹角为arcsin.(20 分)【第八题】【第八题】4040 分分解答：（1）由球的对称性可知，两次折射情形相同.如图，以角入射，第一次折射的出射角为i。则反射的入射角和出射角都是i，第二次折射入射角为i，出射角为。记水的折射率为nsinsinni夹角为三次偏折角的和 2sin24arcsiniiin1110 分（2）224cos2sinddn2令0dd，可得201cos0.50893n，即059.430137.9，即为42彩虹4234共 10 分（3）根据题意，可知以0入射的光会形成主虹，而对于原本从某一方向射来的平行光，射在水滴上不同位
14、置上对应不同的入射角，其他入射角的光以不同的偏折角出射，那么入射角在0附近，入射角为0的光的偏折角为，其中0002223222323231126112.5374.719261126ddddddaa5令0102,都对应则有：3/23/233122222222222(),()aaaaaaaa 6即入射角在0附近，为01和02的光偏折角相同，如图所示。这两种路径的光相干涉会形成复虹。下面计算这两路径光程差如图，两束光的光程差由在空气中和水中的构成。i这两束光在空气中光程差和水中光程差之和为22()2cos()2sinLRn7小量展开得到23012311()()26LLRaRaRa8其中1230,2.1843,6.6450aaa代入得到123/233222()()21()()3LLaRaaaa9解得：2/32.5373()0.1733rad=1.022.5825R1056共 8 分789共 8 分104 分