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1、清北学堂清北学堂第第 3 37 7 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛复赛复赛模拟试题模拟试题 1313参考答案参考答案【题一】【题二】【题三】【题四】在分子进行泻流的时候，泻流分子中速度较高的分子所占的比重比容器中的高，这使得泻流分子的速率分布似乎已经不满足麦克斯韦分布了；但实际上不是这样的。而我们可以通过计算证明，这时 n 维的气体泻流速率分布和 n+1 维的麦克斯韦速率分布律比较相似。如图。真空中有一个一个水平放置的绝热汽缸，内装有理想气体。汽缸被一个可自由移动的绝热活塞分为体积同为 V0的 A 和 B 两部分。B 的壁上有一个极小的小孔，导致 B 中气体不断溢出。已知气体的绝热系
2、数为常量，求当 B 中气体溢出一半时，A，B 气体的温度之比BA已知本题泻流的分子可以视作“四维气体”。解：由题意，根据能均分定理，泻流的分子动能为 2kBT。，所以CV=CV+R2（3）泻流分子数：Av41n（5）所以泻流的能量：TRCvnEV)2(A41ddt)2(dTRCEV（2）又因为d=dt可知，当 B 的分子量增加 d mol 时，其内能增加:dE=(CV+R2)Td（2）因为泻流分子平动动能为 2kBT,导致对应的 Cv会大 R/2。对于 A 内的气体，有：constVp故有：0AAAAVdVpdp(2)又constVBAV，pBApp(1)所以：dpBpB+d(2V0VB)2V
3、0VB=0(2)热力学第一定律可以得：dNpdVTdSUd此处即有：CVdT+d CVT=d CV+R2T pBdV即有:CVdT=R2Td pBdV(5，容易出错)又理想气体满足状态方程：pV=RT由此得：dpp+dVVddTT=0(3)而式化为：CVdT=R2Td RTVdV此即：CVdTT=R2d RdVV带入有d=2V0V+1VdV dTTdTT=2V0V+1VdV d带入得：CV2V0V+1VdV CVd=R2d RdVV(2)化简，并注意到=CpCV,Cp=CV+R（2）得：Cp12V0V+1VdV=(CV+R2)d积分，即有：Cpln V ln(2V0 V)CV+R2ln =co
4、nst初态 V=V0,所以有：CplnV2V0V CV+R2ln0=0又由于Cp=R1,CV=R1所以有：V2V0V=（0）+12(4)末态=02，可以取 k=（12）+12,则可得末态：VB=2k1+kV0,VA=21+kV0pA=pB=p0(V0VA)=p0(1+k2)TA=T0V0VA1=T01+k21TB=pBp0VBV00BT0=(1+k2)1 2kT0(6)可见：TBTA=2k,其中k=（12）+12,(1)【题五】【题六】（1）由于单个光子的能量与动量之间有简单的关系：p=Ec故光源单位时间打出的光子的总动量为：p=Pc（3 分）由于球是黑体，光源打到球上的所有光子全部被球吸收，我们研究 +d之间的光子，dt 时间中打到球上的总动量为：Pc?晦?2?t?（5 分）球对光源张开的角度为：sin=Rd故单位时间黑体球吸收的总光子动量为：dpdt=P2c0arcsin?t?=?2?2上式即光源对黑体球产生的力。（7 分）（2）同上问相似的计算方法，我们假设黑体球从坐标原点位移了 x(x a)，则两个光源对黑体球产生的力分别为：F1=?2?2F2=?2?+?2(5 分)黑体球受到的合力为：F1?2=?2?21?2 1+?2=?2?（10 分）则有牛顿第二定律：?2?=?于是震动周期为：T=2a?2（10 分）【题七】【题八】