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1、清北学堂清北学堂第第 3 37 7 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛复赛复赛模拟试题模拟试题 4 4参考答案参考答案题 1(1)从圆心到触地点的距离为（2 分）?色,cos?色?,偏离平衡位置后，好像整个物体以椭圆的曲率圆圆心为瞬时轴旋转，该轴到地面的距离为（2分）?色?色,?,色?,半圆重心到圆心的距离为（4 分）?,?色?,?色?,?于是整体重心到瞬时轴的距离为（4 分）?色?,?cos?色?,t?,?因此，当系统绕瞬时轴转过?角时，重力对于地面支点的力矩为回复力矩，是稳定平衡（2分）(2)重力对于地面支点的力矩大小为（2 分）色?下面求系统对于地面支点的转动惯量，系统是由两个对称
2、斜放的半圆形组成的，单个半圆对于垂直于圆面、通过圆心的轴的惯量为（2 分）?色?,?对于通过圆面内对称轴的惯量为（2 分）?色?,?设对于摆放好之后，沿水平方向通过圆心，于圆面发现呈?的轴的惯量为?，假定有一角速度沿该轴，根据角动量的表达式有（6 分）?色?cos?t?sin?色?,?t?,?色?,?由此，我们可以进一步利用平行轴定理计算与上述轴平行，通过质心的惯量和通过地面支点的惯量.（8 分）?色?,?cos?色?,?,?色?t?,?,?色?,?,?t?,?,?t?,?色?t?,?于是整体对于该轴的运动方程为（2 分）色?据此计算振动周期（4 分）?色?色?t?,?t?色?,?题 2(1)
3、重物和软链的动力学方程为（4 分）?色?色?t?可得（2 分）dd?色?dd?t?色?上式两端乘以?d?t?d?则有（4 分）?t?d?t?色?t?d?两边积分可得（2 分）?t?色?t?利用初始条件?色?h?色?可知?色?（1 分）.达到最高点时应有?色?h?色?（4 分）?色?色?(2)下降时，动力学方程为（4 分）?色?色?注意到，软链的动力学方程里是没有反冲力的，于是（4 分）?色?色?t?两边同乘?，并对时间积分得（4 分）?色?t?d?色?ln?t?t?设整个下降过程软链从高?降为?，则有（4 分）?色?ln?t?t?令?色?，则有（3 分）?色?t?t?解得（2 分）?色?于是（
4、2 分）?色?色?题 3(1)转动惯量(2 分)?色?,?t?,?机械能(4 分)?色?色?色?简谐振动(2 分)?色?(2)机械能变化(8 分)?色?,?t,t h?色?,?cos?h 色?,?h?简谐振动(4 分)?色?,?t,t h?t?,?h(3)质心运动方程(12 分)?色?h,?,?,?,?色?代入?色?cos?,色?色?,?，其中?色?t?,?h?,?t,t h?解得(8 分)?色?,?,?,?色?,色?,?h?,?,?t?,?h?,?t,t h?,?h?,?,?题 4(1)题选上有一种计算方法，就是把带电粒子变成一个均匀分布的带电平面.这种方法在数学上其实不够严密，这里提供一个
5、更严格的做法.我们计算体系电偶极矩的?分量（6分）?色?d?色?d?色?d?t?色?d?t?色?d?t h?其中区域?为?h t?h且?、?任意.取极板为电势零点，容易证明上式在无穷大表面上积分为 0（无穷远处的面上h?色?）（3 分）.假设某一时刻粒子与左侧极板距离为?，因此我们有（2 分）?t?h 色?由于电荷守恒（2 分）?t?t?色?解得（2 分）?色?h?h?色?h?因此导线中电流为（以左侧流向右侧为正方向）（4 分）?色d?d?色?hd?d?色?h?色?A如果粒子速度方向与极板垂直方向夹角为?，则电流为（2 分）?色?h?色?h?色?A(2)类似的，计算（6 分）?d?色?d?色?
6、d?t?色?d?t?色?d?t h?取积分区域?色?,t?，并假设极板处为电势零点，则上式积分值为 0.（无穷远处的面上h?色?）（3 分）因此（4 分）?,t?色?t?t?色?解得（2 分）?色?,?色?,?,?取内电极流向外极板为正方向，则导线中电流为（4 分）?色d?d?色?,d?d?色?,?色?A?题 5(1)假设?步中，有h?步朝正方向，h?步朝负方向.由题意（4 分）h?t h?色?h?h?色?得（2 分）h?色?t?h?色?因此，微观态数量为（4 分）?h?色?h?色?t?(2)?时（5 分）?t?t?t?注意到?h?，因此（2 分）?t?故（6 分）?h?色?t?色?即为高斯分
7、布(3)系统的微观态数为（4 分）?h?h?色?h?h?h?色?t?t?因此，系统的熵为（4 分）?色?ln?色?ln?t?ln?t?t?由热力学第一定律（2 分）?d?色 d?t?d?设末端拉力为?，忽略内能的变化，则（3 分）?d?d?d?色?d?d?t?d?t?d?色?d?t?d?t?d?解得（4 分）?色?题 6(1)由归一化条件（2 分）h色?h?色?色?解得归一化系数（2 分）?色?因此，光的平均能量为（4 分）?色h色?hh?色?h色?h?h?色?(2)光子的动量为（2 分）?t?t?色?色?因此，频率落在?t d?范围内的光子在动量空间中构成一个球壳（1 分）.因此，相空间中该
8、区域的体积为（2 分）d?色?d?d?d?d?(3)态的个数为（2 分）d 色?d?色?d?d?d?d?因此光子气体能量密度的谱分布为（2 分）?h?d?色dd?d?d?色?d?(4)考虑?h?表示空间单位体积内频率?t d?内立体角 d?内能量.则（2 分）?色?通过面元?辐射通量谱密度为（3 分）?h?色?d?色?因此，单位时间穿过单位面积的能量谱分布为（4 分）?h?色?h?色?h?色?(5)单位面积的辐射通量为（4 分）?色?h?d?色?d?色?d?其中（5 分）?d?色?d?色?h色?h?d?色h色?h?h?h?d?色?t?色?因此，玻尔兹曼常数为（2 分）?色?色?(6)将频谱分布
9、写成波长的函数（3 分）?h?色?h?d?d?色?令?色?，则有（2 分）?h?色?辐射本领最大时（1 分）d?d?色?整理得（2 分）?t?色?解得（2 分）?色?t?因此，维恩常数为（3 分）?色?色?色?题 7对于一个气泡，可能发生干涉的光线有：直接反射，经过两次折射，依次经过折射反射折射这三种情况，且要求光线偏转角为t?.若为两次折射，假设入射角为?，折射角为?，则由折射定律和几何关系（4 分）?色 t?hsin?色 sin?解得?色 t?，不可能！（2 分）若为折射反射折射，（4 分）?色 t?hsin?色 sin?解得（4 分）?色?色?t?因此两组光线出射点的间距为（4 分）h?色,cos?t,sin?色?,由几何关系（4 分）?h?色?其中读图可知?色?（2 分）.因此（4 分）,色?m气泡的直径为（2 分）h 色?,色?m