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1、清北学堂清北学堂第第 3 37 7 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛复赛复赛模拟试题模拟试题 5 5参考答案参考答案一26+6+18（1）先考察喷气导致飞船的速度变化，由动量守恒：?末态?ln?其中，?可以通过圆周运动条件求出：?轨道无非试椭圆或双曲线或抛物线，先求解临界点（对应抛物线情况）：?末态?解得：?ln?考察椭圆，双曲线的曲率半径（近日点），设曲线方程为?，使用曲率半径公式：?自然坐标系下，动力学方程为：?ln?以及几何关系给出：?h?联立可以解得：?ln?ln?ln?双曲线情况：?对应解得：?ln?ln?ln?抛物线情况：?h?h?（?）将?换作?，解得临界条件：?ln?对
2、于椭圆情况：?ln?ln?ln?双曲线略（?分），抛物线：?（?）类似于物理学难题集萃中的比冲量问题，物理上的分析给出在近日点和远日点喷气的效率最高（最划算），设：?按照喷气比例进行划分设远日点距离为?，根据能量关系：?得到：?t?t?ln?ln?根据开普勒第二定律：?t?t?ln?t?若引入：?t?ln?t?可以将?满足的方程写作：?t?解得：?t?t?则：?得：?反算出来喷气方案：先喷飞船质量 t?的气体（初态），再喷?t?的气体（远日点）（分）再求解离心率?：?h?t?h?h?t?h?t?h?t?二（?）静止不动时，有机械能守恒：?cos?沿着径向的动力学方程：?cos?可以解得：?co
3、s?（?）角速度为?，水平方向动量守恒：?cos?机械能守恒：?cos?cos?sin?引入?来代表?，解出?:?cos?sin?cos?求一阶导数：?sin?sin?cos?cos?sin?cos?sin?cos?质点沿着竖直方向的加速度为：?sin?cos?代入可得（对于符号要格外小心）：?sin?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?sin?cos?sin?cos?由牛顿第二定律：?解得：?cos?cos?已经给出（?）三（?）根据半衰期关系：?则有：?如果用现在的原子数表示：?所以：?t?其中 t 以?9 年作为单位（?）同理?t?（?）?t?t?得到：?t?t?t?
4、（）既然有：?有：?t?t?得到：?t?（?）可见，（）中的假设有所不一致，采用迭代法求解（直接按计算器给一半分）?t?四?（?）洛埃镜类似杨氏双缝干涉，考虑经过平面镜反射形成的像，那么光程差可以写作：?t?条纹间距：?t?由几何关系：?可以看见条纹的数量为：?（?）低级别的条纹向上移动且条纹间距变的疏散，条纹数量会减少?（?）将扩展光源视作各个缝光源非相干叠加，有：t?cos?总的光强分布为：?t?cos?cos?sin?衬比度变为：?sin?（求解衬比度的过程占 分）如果在之外，光强为：?五由基尔霍夫第一定律，基尔霍夫第二定律：?对杆子，分别牛二：?末态要求没有电流：?得到：?联立可得：?
5、作差可得：?关于时间积分可得：?得到：?六设 A 上方的气体压强为h?，AB 之间的气体压强为h?：h?h?h?h?h?初始的 A 上方的气体温度为?，体积为?，上圆筒的全部体积为?，则开始时，A 未处于上圆筒底端的条件是：?h?代入h?，得到：?h?情况 I，活塞过高，活塞 A 已经处于圆筒底端：?h?则 A 上方的理想气体开始的体积就是：?加热过程中，体积不变，由热伦理学第一定律：?h?h?得到：?h?情况 II：?不够高，开始时 A 处于上圆通底端之上：?h?初始 A 上方的理想气体体积?为：?h?再分两种情况讨论：?tA 上方理想气体加热完毕之后，仍然未触及容器底端，整个加热过程未等压
6、过程，有：?h?根据热力学第一定律和理想气体状态方程：?h?h?h?得到：?h?得到：?h?h?h?h?未接触到底端的条件：?热量的要求为：?h?h?h?t加热完毕以后已经到达容器底部：?h?则：?h?h?h?七 带电粒子由牛顿第二定律：?引入平移变换：?其中：?则有：?初条件为：?解得：?sin?cos?（?）由能量守恒：h?h?h?h?h h?h?引入记号：?h?h?h可以解得：h?h?根据定理可得：h?h?得到：h?h?h引入：?则：?h?h?arccosh?反解出：?h?h?cosh?h?h?（?）由动量定理可得：h?h?积分一次得到：h?h?h?h?由能量动量关系可得：h?h?h?h
7、?h?h h?h?整理可得：h?h?h?h?h?所以：?h?h其中：?h?h?h?注意到：?整理可得：?hh?h?h?hh?h?注意上式中?和?不是一个东西考察积分式子：?若?，有（要从原始式子开始考察）：?h?h?h?h?h?h?若?，有：?arccosh?对应：?h?hh?h?arccosh?若?，有：?arcsin?对应：?h?hh?h?arcsin?按照之前的定义（?）先求解“悬链线”，设绳子最低点的水平张力为?，绳子与竖直方向呈现?的点张力为?，则有：?sin?竖直方向受力平衡：?cos?cot?sin?注意到：sin?得到：?若令?，得到：?进行一次积分：?sinh?第二次积分：?cosh?根据对称性：?绳长约束有：?引力波扰动之后，有：?h?cosh?可得最终的绳子方程为：?h?tan?cosh?cot?设想绳子不存在，那么对于圆环，代入初条件，我们可知其轨迹方程为：?tan?cosh?cot?而这完全相同，故每时每刻都没有相互作用力。