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1、清北学堂清北学堂第第 3 37 7 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛复赛复赛模拟试题模拟试题 6 6参考答案参考答案一24+11（1）设有长度为?的铁链落在传送带上，相对运动带来的摩擦力为：?水平方向，由动量定理：?t?注意到：?t?t?代入可得：?等号两边同乘以?，有：?积分可得：?代入条件得到：?解得：?（2）满足的方程仍然变为：?积分可得：?得到：?得到：?二（1）利用直线型均匀分布电荷可以等效为圆环电场来证明（2）利用几何关系，因为是角平分线所以会形成双曲线（费马原理）?（3）相应地，与之共轭的椭圆方程为：?根据静电唯一性定理，即，旋转椭球体的电像为放置在两个焦点间的均匀带点直
2、线为了计算椭圆族上的电势，考虑?点：?ln?上式中，已经利用了：?得到：?ln?三假想被挖去空间相当于?和 磁场抵消产生，在被挖去空间内，其电场可以写作两者的叠加。先考察大圆的贡献，由电磁感应定律，对于给定区域：?故合电场为：?t?t?这里利用了?和?的正交性以及矢量加法定理由牛顿第二定律：?t?t?直接类比抛体运动，可以得到：?cos?t?sin?t?t?t?tan?cos?由于仅有一个交点，可以得到：?t?t?t?代入：t?tan?t?tan?t?tan?t?tan?解得：?t?arctan?四（1）首先考虑是否纯滚，临界条件：mgsin f?macfR?I?t?滑动条件：?h?纯滚条件：
3、?h?t于是得,当?t?时纯滚，反之滑动（1.1）此种情况下显然有滑动，当乒乓球到达斜面底端时速度记为?h?t?考虑经过这一小段圆弧形轨道前后的速度变化，设轨道半径为 R?t?t?t?t?t得到?，?故刚滑到水平面上时速度?角速度?在水面面上运动时?t，?t得到末速度?(1.2)该条件下纯滚 求解过程类似?(2)体系能量守恒在?参照系中，支持力做功：第一部分为斜面上运动时的做功，第二部分为转角处做功第一部分：?h?t?h?t?h?t?h?显然若只考虑 W1，体系动能变化量?，两者并不相等，与 1 中类似地考虑转角处的受力即可得?h?，两者相加后显然能量守恒五（1.1）记光线与轴线负方向夹角为，
4、与入射点法线（此处即径向）夹角为?t?t?t?h?t?t?(1.2)?arcsin?t?t?记?h?t?h?t?t?h?t?h?t?t?暗?t?t?积分得?亮?t?t?（2.1）以椭圆中心为原点，x 轴为实轴，y 轴为虚轴光线方程?t?h记r1为入射点到光源距离根据椭圆得几何光学性质sin?t?h?h?h?t?由以上诸式得到最大的?h?t?故?(2.2)h?t?t?t?h?t?h?代入得到?sin?t?六5+19+21（1）对于瞬时的?：?cos?t?对时间取平均值：cos?t?所以入射光光强和透射光光强为：?t?t?（2）穿过?个偏振片后，光强变为（按照比例）：?cos?t?其中，角度满足：
5、t?t?对于给定的?，直接考察其最大值比较复杂，考虑取对数：ln?h?t?t?tln cos?t?考察?lncos?在?的二阶导数：?sin?cos?tan?cos?是上凸函数，用琴生不等式：tlncos?t?ln cos?t?ln?ln?cos?求一阶导数可得：?ln?ln cos?cos?sin?ln?lncos?tan?对于?t?，有：?得到：?对于?t?；?情况需要确定是 3 还是 4。对于 3的情况cos?，对于 4 的情况cos?，故要 4 块偏振片。（2 分）方案：分别需要 4 和 3512，对应第一个偏振片与光的偏振方向呈?和?，之后每个都和前一个呈?和?（2 分）（3）设偏振
6、片的夹角为?，则由马吕斯定律可得：?cos?cos?引入函数?cos?cos?cos?sin?cos?sin?sin?sin?利用三角函数公式，进一步化为：?sin?sin?cos?sin?cos?tan?sin?cos?该三角方程对应的解为：?arctan?arctan?arctan?arctan?可以解出?：?arctan?arctan?arctan?arctan?分别代入光强的表达式可得：?1,3 给出了光强极大值和对应的夹角?七4+18+12+4+4+10+4+12（1）由能均分定理：?故对于电子：?h?对于质子：?h?t?（2）平均速率的计算：?对电子：?t?t?对质子：?t?动量守
7、恒：?能量守恒：?h?h?联立可得：?h?这导致的不合理来自于非相对论近似，我们需要重新设定光子的动量方向修正为：?利用合理的近似：?t h?h?h?h?h?可正可负，实际上这个结果和多普勒效应在一阶近似下是一致的，解得：?h?对电子：?对质子：?t?（3）直接计算：?静电能为：?电子的静电能和静能相等，根据爱因斯坦关系：?h?反解出：?h?（4）wein 位移定律为：?相对论电子湮灭：?h?h?分别代入计算得到：?h?（5）穿过?，里面的小球数量为：?那么产生的阻挡导致的光强减弱：?积分得到：?相应地：?（7）有：?h?t?（8）醉汉走路，利用三维的方位角：?h?t?h?t?h?t?那么有（交叉项在平均意义下是 0）：?cos?t?cos?t?cos?t?t?cos?t?cos?由于给定了密度，那么数密度为（电子质量相对质子质量可以忽略）：?由于电子和质子速度都极小，可以相对光子当作静止，对应的平均自由程：?t?有：?t?t?t?t?h?