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1、8.6.3 平面与平面垂直平面与平面垂直 第第1课时课时 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定第八章第八章 立体几何初步立体几何初步课程目标课程目标1理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力1.在立体几何中，在立体几何中，“异面直线所成的角异面直线所成的角”是怎样是怎样定义的？定义的？直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直，分别引直线线a/a，b/b，我们把相交直线，我们把相交直线a 和和 b所成
2、的锐角所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（或直角）叫做异面直线所成的角.2.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角是怎样定是怎样定义的？义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角做这条直线和这个平面所成的角.范围：范围：(0o,90o 范围：范围：0o,90o 复习复习 AOBBBBBBB 角角两个面组成的图形两个面组成的图形二面角 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义,那么，该如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程.在定义直线与平
3、面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直.所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础.在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.(1)半平面的定义半平面的定义1.二面角的概念二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面分都叫做半平面半半平平面面半半平平面面(2)二面角的定义二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面
4、所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱棱面面面面平卧式：平卧式：直立式：直立式：l lAB (3)二面角的画法和记法：二面角的画法和记法：面棱面面棱面点棱点点棱点二面角二面角 l 二面角二面角 AB 二面角二面角CAB DABCD我们常说我们常说“把门开大些把门开大些”，是指哪个角开大一些，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？我们应该怎么刻画二面角的大小？（4）二面角大小的刻画）二面角大小的刻画把书打开，相邻两页书也构成二面角，把书打开，相邻两页书也构成二面角，随着打开的程度不同，得到不同的二面角
5、随着打开的程度不同，得到不同的二面角受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢，能否转化为两相交直线受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢，能否转化为两相交直线所成的角所成的角 AOlB 二面角的平面角二面角的平面角ABO以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角.如图，如图，则，则AOB成为二面角成为二面角 的平面角的平面角.它的大小与点它的大小与点O的选取无关的选取无关.二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：角的边都
6、要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱角的顶点在棱上角的顶点在棱上角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中OOO点是在棱上任取的，那么点是在棱上任取的，那么点是在棱上任取的，那么点是在棱上任取的，那么点是在棱上任取的，那么点是在棱上任取的，那么AOBAOBAOB的大小与点的大小与点的大小与点的大小与点的大小与点的大小与点OOO在棱上的位置有关系吗？在棱上的位置有关系吗？在棱上的位置有关系吗？在棱上的位置有关系吗？在棱上的位置有关系吗？在棱上的
7、位置有关系吗？=等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）ABAB二面角的平面角大小与点二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。关，只与二面角的张角大小有关。结论：结论：二面角是用它的平面角来度量的，一二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。多少度的二面角。.二面角的范围：二面角的范围：0o,180o 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合：0o；二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成一个平面：180o；平面角
8、是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面角直二面角OAB(5)二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：1、定义法：、定义法：根据定义作出来。根据定义作出来。2、作垂面：、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。的交线得到。注意：二面角的平面角必须满足：注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。）角的边都要垂直于二面角的棱。oABoAoABB角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角
9、角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形(6)角与二面角的比较角与二面角的比较例例1、已知二面角、已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的距离为距离为 ,到到 l 的距离为的距离为 4.求求二面角二面角 l 的大小的大小.D lA.A.OA.A.O DBA.O解解：则由三垂线定理得 AD .sinADO=ADO=60.二面角 l 的大小为60或120.
10、在RtADO中，AOAD 例例1、已知二面角、已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的距离为距离为 2 ，到，到 l 的距离为的距离为 4。求求二面角二面角 l 的大小。的大小。lD过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD，l 就是二面角 l 的平面角.分析：首先应找到或作出二面角的平面角分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个然后证明这个角就是所求的平面角角就是所求的平面角,最后求出这个角的大小。最后求出这个角的大小。正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，二面角二面角B1-AA1-C1的大小为的大小为_，二面角二面角B-AA1-D的大小为的大小为
11、_，二面角二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.4590二面角二面角C C1-BD-A-BD-A的平面角是哪个角的平面角是哪个角练习练习1一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”求二面角大小的步骤求二面角大小的步骤1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的 角（垂直于棱）3、计算所求的角图形表示图形表示 2.2.平面与平面垂直的定义平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这是直二面角，就说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直.记作记作 思考思考:如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙
12、面和地面是否垂直？如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？于地面，这种方法说明了什么道理？这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.类似的结论也可以在长方体中发现.如图8.6-26,在长方体 ABCD-ABCD中，平面 ABBA经过平面 ABCD的一条垂线 AA，此时，平面 ABBA垂直于平面ABC
13、D.3.3.平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的一个平面过另一个平面的垂线垂线，那么这两个平面垂直，那么这两个平面垂直.aA简记：线面垂直，则面面垂直符号语言:面面垂直线面垂直线线垂直图形语言:例1.如图，在正方体 中，求证：平面证明：是正方体又例2：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆o所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC平面PBC证明：PA平面ABCBC在平面ABC内PABC点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是圆O的直径BCA=90即BCAC又PAAC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中BC在平面PBC内平面P
14、AC平面PBC(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.判定两平面垂直的常用方法判定两平面垂直的常用方法例1 如图所示,在正方体ABCD-ABCD中:(1)求二面角D-AB-D的大小;(2)若M是CD的中点,求二面角M-AB-D的大小.解析(1)在正方体ABCD-ABCD中,AB平面ADDA,所以AB AD,ABAD,因此DAD为二面角D-AB-D的平面角,在RtDDA中,DAD=45.所以二面角D-AB-D的大
15、小为45.(2)因为M是CD的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MNAB.取CD的中点H,连接HN,则HNAB.从而MNH是二面角M-AB-D的平面角.MNH=45.所以二面角M-AB-D的大小为45.(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图,则AOB为二面角-l-的平面角.求二面角的常用方法求二面角的常用方法(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图,AOB为二面角-l-的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,
16、由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则AOB为二面角的平面角或其补角.如图,AOB为二面角-l-的平面角.(4)射影面积法:设二面角的平面角为，则1.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小解：由已知PA平面ABC，BC在平面ABC内PABCAB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC又PAAC=A,PA,AC在平面PAC内，BC平面PAC又PC在平面PAC内，PCBC又BC是二面角P-BC-A的棱，PCA是二面角P-BC-A的平面角由PA=AC知PAC是等腰直角三角形PCA=45，即二面角P-BC-A的大小是45练习2.如图，在
17、长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=2，BC=BB1=1，E为为D1C1的中点，求二面角的中点，求二面角EBDC的正切值的正切值AA1BB1CC1DD1E思路分析：思路分析：找基面找基面平面平面BCD作基面的垂线作基面的垂线过过E作作EFCD于于FF作平面角作平面角作作FGBD于于G，连结，连结EGG解：解：过过E作作EFCD于于F，于是，EGF为二面角EBDC的平面角BC=1，CD=2，而EF=1，在EFG中 ABCDA1B1C1D1是长方体，是长方体，EF平面平面BCD，且，且F为为CD中点，中点，过过F作作FGBD于于G，连结，连结EG，则，则EGBD（为什么？）（
18、为什么？）M练习(2)(2)如图如图,取取ABAB的中点的中点F,F,连接连接PF.PF.因为因为PA=PB,PA=PB,所以所以PFAB.PFAB.由由(1)(1)知平面知平面PABPAB平面平面ABC,ABC,又平面又平面PABPAB平面平面ABC=AB,PFABC=AB,PF平面平面PAB,PAB,所以所以PFPF平面平面ABC,PFEC.ABC,PFEC.过过F F作作FGECFGEC于于G,G,连接连接PG.PG.因为因为PFEC,PFFG=F,PFEC,PFFG=F,所以所以ECEC平面平面FPG.FPG.因为因为PGPG平面平面FPG,FPG,所以所以ECPG.ECPG.巩固练习巩固练习 一：一：平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定二：数学思想：转化思想二：数学思想：转化思想面面垂直线面垂直线线垂直1.定义：两个相交平面所成二面角为 直二面角2.判定定理：在一个平面内找到另 一个平面的垂线课堂小结课堂小结