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1、三角函数与解三角形大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）三角函数与解三角形大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023吉林通化吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）梅河口市第五中学校考模拟预测）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，满足coscos1coscosACA CcABCb(1)求 B；(2)若2c，点 D 在边AC上，且2ADDC，2 133BD，求 b2（2023浙江浙江模拟预测）模拟预测）已知锐角ABC，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且2 cosaCba(1)证明：2CA；(2)若CD为ACB的角平分线，交 AB 于 D 点，
2、且3,2ACDCDS求a的值3（2023湖北湖北荆州中学校联考二模）荆州中学校联考二模）已知在ABC中，其角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满足cos3 sinbCbCac(1)若3b，求ABC的外接圆半径；(2)若4 3ac，且6BA BC ，求ABC的内切圆半径4（2023云南曲靖云南曲靖曲靖一中校考模拟预测）曲靖一中校考模拟预测）在ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且3 sincosbA bAac.(1)求 B；(2)若点 D 在 AC 边上，满足AC3AD，且3AB，2BD，求 BC 边的长度.5（2023湖北武汉湖北武汉华中师大一附中校联考模拟预测）华中师大一附中校联考
3、模拟预测）已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若5c，210cosaBb(1)求角 C；(2)若点 D 在 AB 边上，且满足:3:2AD BD，当ABC的面积最大时，求 CD 的长6（2023山东山东沂水县第一中学校联考模拟预测）沂水县第一中学校联考模拟预测）已知ABC的内角,A B C的对边分别为a，b，c，sin3cossin3cosaBBbAA，且AB(1)求C的大小；(2)若C的平分线交AB于点D，且2 3CD，求2ab的取值范围2024年高考数学专项三角函数与解三角形大题拔高练（解析版）7（2023福建漳州福建漳州统考三模）统考三模）如图，平面四边形ABCD内接
4、于圆 O，内角BD，对角线 AC 的长为 7，圆O的半径为7 33.(1)若5BC，ADCD，求四边形ABCD的面积；(2)求ABC周长的最大值.8（2023广东深圳广东深圳深圳中学校联考模拟预测）深圳中学校联考模拟预测）已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且2 cos2bAac.(1)求角 B；(2)设ABC的角平分线BD交AC于点 D，若2BD，求ABC的面积的最小值.9（2023重庆重庆统考模拟预测）统考模拟预测）在ABC中，a，b，c 分别是ABC的内角 A，B，C 所对的边，且sinsinsinsinbacACBC(1)求角 A 的大小；(2)记ABC的面积为 S，
5、若12BMMC ，求2AMS 的最小值10（2023吉林白山吉林白山统考三模）统考三模）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，cos2 3 sincosaBCcBaA.(1)求角A；(2)若ABC为锐角三角形，且外接圆的半径为3，求22bab的取值范围.11（2023云南昭通云南昭通统考模拟预测）统考模拟预测）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin3sinAB=.从23ac，31sinsincoscos32ACBC，2C，这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角A的大小；(2)点D在线段BA的延长线上，且4ACD，若2AB，求ACD的面积.12（20
6、23山西山西统考模拟预测）统考模拟预测）如图，四边形ABCD中，24ABAD，BDBC，2DBC，DAB，7sincos4.(1)求ABD的面积；(2)求线段AC的长度.13（2023河北邯郸河北邯郸统考一模）统考一模）已知函数 23sin22cos2f xxxN在4,3上单调(1)求 fx的单调递增区间；(2)若ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且3a，22Af，求ABC 周长的最大值14（2023辽宁抚顺辽宁抚顺统考模拟预测）统考模拟预测）已知ABC中，点D在边AB上，满足(0)CACBCDCACB ，且6cos23B，CAD的面积与CBD面积的比为2 6:3(1)求s
7、in A的值；(2)若5AB，求边AB上的高CE的值15（2023山东淄博山东淄博统考一模）统考一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足abcabcab(1)求角C；(2)若角C的平分线交AB于点D，且2CD，求2ab的最小值.16（2023吉林吉林统考二模）统考二模）已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos6bCcB.(1)求边a；(2)若ABC是锐角三角形，且_，求ABC的面积S的取值范围.要求：从4A，10bc从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17（2023湖北湖北校联考模拟预测
8、）校联考模拟预测）在ABC中，D 是边BC上的点，2,4ABBDCADACCD(1)求BAD；(2)若2ABAD，求ABC的面积18（2023江苏南通江苏南通海安高级中学校考一模）海安高级中学校考一模）ABC 中，D 是线段 BC 上的点，sin:sin1:3BADCAD，ADC的面积是ADB面积的 2 倍(1)求sinsinBC；(2)若1AD，22BD，求 DC 和 AB 的长19（2023山西山西校联考模拟预测）校联考模拟预测）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且3(3cossin)bcAA(1)求 C；(2)若3ABACAC，角 C 的平分线交 AB 于点 D，点
9、 E 满足DECD，求sinAEB20（2023广东汕头广东汕头统考一模统考一模）如图，在ABC中，D 是BC边上的一点，BAD，DAC(1)证明：sinsinBDABDCAC；(2)若 D 为靠近 B 的三等分点，2 7AB，2AC，90，BAC为纯角，求ACDS21（2023辽宁辽宁新民市第一高级中学校联考一模）新民市第一高级中学校联考一模）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB2，BC3，AC4，15CD，BCCD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 F(1)求ACD 的面积；(2)求sinAFE的值22（2023吉林通化吉林通化梅河口市第五中学校考二模）梅河口市第五中学校考
10、二模）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为直径的三个半圆的面积依次为1S，2S，3S(1)若132SSS，证明：2B；(2)若1328SSS，且ABC的面积为12，5coscos5AC，求 b23（2023云南红河云南红河统考二模）统考二模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinsinsinBAC(1)证明：03B；(2)求sincos2BB的最大值24（2023浙江温州浙江温州统考二模）统考二模）已知ABC满足22sin sin2sin sinsinCBAACB(1)试问：角B是否可能为直角？请说明理由；(2)若ABC为锐角三角形
11、，求sinsinCA的取值范围25（2023湖南郴州湖南郴州统考三模）统考三模）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知coscos2coscos0aCcAaCcAC (1)求角C.(2)ACB的角平分线交AB于点D，且1CD，求3ab的最小值.26（2023山西太原山西太原统考一模统考一模）在ABC中，,a b c分别为内角,A B C的对边，点D在BC上，2,2BDCD AD.(1)从下面条件、中选择一个条件作为已知，求A；(2)在（1）的条件下，求ABC面积的最大值.条件：222 3sinsinsinsin sinsin3BCABCA；条件：222coscossins
12、in sinABCBC.注：若条件和条件分别解答，则按第一个解计分.27（2023山东潍坊山东潍坊统考模拟预测统考模拟预测）设钝角ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且2222abcRab，其中 R 是ABC外接圆的半径(1)若712B，求 C 的大小；(2)若2CDDA ，2CBD，证明：ABC为等腰三角形28（2023湖南常德湖南常德统考一模）统考一模）如图，在ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，角 A 的平分线交 BC 于点 D，且1AD，113bc.(1)求BAD 的大小；(2)若13BD CD，求ABC 的面积.29（2023广东广东统考一模）
13、统考一模）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知cos2cos2cos212sin sinABCAB.(1)求角C的大小；(2)求sinsinsinABC的取值范围.30（2023湖南长沙湖南长沙湖南师大附中校考一模湖南师大附中校考一模）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知7b，且sinsinsinsinabACcAB.(1)求ABC的外接圆半径R；(2)求ABC内切圆半径r的取值范围.三角函数与解三角形大题拔高练三角函数与解三角形大题拔高练-新高考数学复习新高考数学复习分层训练（新高考通用）分层训练（新高考通用）1（2023吉林通化吉林通化梅河口市第五中
14、学校考模拟预测）梅河口市第五中学校考模拟预测）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，满足coscos1coscosACA CcABCb(1)求 B；(2)若2c，点 D 在边AC上，且2ADDC，2 133BD，求 b【答案】(1)23B(2)2 7b【分析】（1）利用两角和差的余弦公式结合正弦定理边化角化简可得1cos2B ，即可求得答案;（2）在ABC和ABD中，分别利用余弦定理可得关于,a b的方程，解方程组可得答案.【详解】（1）由coscos1coscosACA CcABCb，即coscos1coscosACA CcABABb，由正弦定理可得2coscos1sin2s
15、insinsinACCABB，即(2coscos1)sin2sinsinsinACBABC，因为(0,),sin0BB，故1coscossinsin2ACAC，1cos2AC，即1cos2B ,(0,)B，故23B（2）因为2ADDC，2 133BD，2c，所以在ABC中，由余弦定理得2221422242baaaa ，在ABD和ABC中，2224524499cos222223bbaAbb ,即22320ab，联立222224320baaab，解得4a，2 7b 2（2023浙江浙江模拟预测）模拟预测）已知锐角ABC，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且2 cosaCba(1)证明：2C
16、A；(2)若CD为ACB的角平分线，交 AB 于 D 点，且3,2ACDCDS求a的值【答案】(1)证明见解析(2)6 25a【分析】（1）由正弦定理可将2 cosaCba转化为2sincossinsinACBA，结合角度关系转化得sinsinCAA，即可证得2CA；（2）由CD为ACB的角平分线，2CA，可得3ADCD，根据ACD面积公式可求得2 2sin23A，再由三角形ABC为锐角三角形可得A的范围，由平方公式二倍角公式可得sin,cosAA的值，根据和差公式得sinB的值，由余弦定理求得b，再根据正弦定理的a的值即可.【详解】（1）证明：因为2 cosaCba，由正弦定理sinsins
17、inabcABC得：2sincossinsinACBA，又sinsin sinsincoscossinBACACACAC，所以2sincossincoscossinsinACACACA，整理得sinsinCAA又,0,2A C，则CAA，即2CA.（2）因为CD为ACB的平分线，且2CA，所以ACDADCB ，则3ADCD，所以113sinsin 2sin22222ACDSAD CDADCAD CDAA，可得2 2sin23A，因为ABC为锐角三角形，所以02032022ABACA，解得64A，所以2221cos21 sin 212sin2cos13AAAA，所以36sin,cos33AA，所
18、以3162 25 3sinsincoscossinsincos2cossin233339BACACAAAA，在ACD中，由余弦定理可得22222cos336cos 266cos28bACCDADCD ADADCAA，所以2 2b，由正弦定理sinsinabAB得32 2sin6 23sin55 39bAaB.3（2023湖北湖北荆州中学校联考二模荆州中学校联考二模）已知在ABC中，其角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满足cos3 sinbCbCac(1)若3b，求ABC的外接圆半径；(2)若4 3ac，且6BA BC ，求ABC的内切圆半径【答案】(1)1(2)1【分析】（1）由正弦定理、
19、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得1sin62B，即可求出3B，再由正弦定理的定义可求得ABC的外接圆半径；（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）因为cos3 sin1bCbCac，所以cos3 sin0bCbCac，所以sincos3sinsinsinsin0BCBCAC，因为ABC，所以sincos3sinsinsinsin0BCBCBCC，所以3sinsincossinsin0BCBCC，因为0,C，所以sin0C，所以1sin62B，因为0,B，所以66B，所以3B，所以外接圆半径22sinbRB所以1R.（2）因为6BA BC ，由题可知3B，所以12a
20、c，又因为2222cosbacacB，4 3ac可得2 3b，因为1sin3 32SacB由ABC的面积11sin22Sabc racB，得1r 4（2023云南曲靖云南曲靖曲靖一中校考模拟预测曲靖一中校考模拟预测）在ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且3 sincosbA bAac.(1)求 B；(2)若点 D 在 AC 边上，满足AC3AD，且3AB，2BD，求 BC 边的长度.【答案】(1)23B(2)6【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，再由两角和的正弦定理化简可得3sincos1BB，结合辅助角公式求得 B；（2）法一：由AC3AD可得2133BDBABC ，对2133B
21、DBABC 两边同时平方化简即可得出答案；法二：由已知得2DCAD，设ADx，2DCx.因为coscosADBBDC，由余弦定理代入化简即可得出答案.【详解】（1）因为3 sincosbA bAac，由正弦定理，可得3sinsinsincossinsinBABACA，即3sinsinsincossinsinBABAABA，所以3sinsincos sinsinBABAA.因为sin0A，所以3sincos1BB，即1sin62B.因为0,B，所以 7,666B，所以566B，即23B（2）法一：因为点 D 在 AC 边上，满足AC3AD，所以2133BDBABC ，所以222221414339
22、99BDBABCBABCBA BC ，因为3AB，2BD，23ABC，所以241414939992BCBC ，即260BCBC ，解得6BC ，即6BC.法二：由已知得2DCAD，设ADx，2DCx.ADBBDCcoscosADBBDC 22249442 22 2 2xxaxx ，即2261ax又120ABC229912 32axa ，即223910aax由方程解得6a，即6BC.5（2023湖北武汉湖北武汉华中师大一附中校联考模拟预测华中师大一附中校联考模拟预测）已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若5c，210cosaBb(1)求角 C；(2)若点 D 在 AB 边上，
23、且满足:3:2AD BD，当ABC的面积最大时，求 CD 的长【答案】(1)3C(2)19CD【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得1cos2C，即可求出角 C；（2）由余弦定理结合均值不等式可得25ab，可求出当ABC的面积最大值时3AD，再由余弦定理即可求出 CD 的长.【详解】（1）依题意，22 cosacBb，由正弦定理可得2sin2sincossinACBB，2sin2sincossinBCCBB，所以2sincos2cossin2sincossinBCBCCBB，则2sincossinBCB，因为0,sin0BB，化简得1cos2C 0,C，3C（2）由余弦定理得2221
24、cos22abcCab，22222ababcabc，25ab，当且仅当ab时，等号成立此时1325 3sin244ABCSabCab若ABC的面积取到最大，则5ab，ABC为等边三角形，3AD，由余弦定理得2222cos193CDACADAC AD，19CD 6（2023山东山东沂水县第一中学校联考模拟预测）沂水县第一中学校联考模拟预测）已知ABC的内角,A B C的对边分别为a，b，c，sin3cossin3cosaBBbAA，且AB(1)求C的大小；(2)若C的平分线交AB于点D，且2 3CD，求2ab的取值范围【答案】(1)3(2)4 26,【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒
25、等变换整理得sin 2sin 266AB，再根据角,A B的范围分析运算；（2）根据三角形的面积关系整理得221ab，结合基本不等式求范围.【详解】（1）sin3cossin3cosaBBbAA，由正弦定理可得sinsin3cossinsin3cosABBBAA，则22sin3sincossin3sincosAAABBB，可得1 cos231 cos23sin2sin22222ABAB，整理得sin 2sin 266AB，注意到0,A B，且AB，则112,26666AB，且2266AB，可得2266AB或22366AB，解得23AB或53AB（舍去），故3CAB.（2）若C的平分线交AB于点
26、D，则6ACDBCD，ABCACDBCDSSS，则111sinsinsin222AC BCACBAC CDACDBC CDBCD，即1311112 32 3222222a bba，整理得221ab，则224242226264 26babaababababab，当且仅当42baab，即2221ab时，等号成立，故2ab的取值范围为4 26,.7（2023福建漳州福建漳州统考三模）统考三模）如图，平面四边形ABCD内接于圆 O，内角BD，对角线 AC 的长为 7，圆O的半径为7 33.(1)若5BC，ADCD，求四边形ABCD的面积；(2)求ABC周长的最大值.【答案】(1)16 3(2)14 3
27、73【分析】（1）在AOC中利用余弦定理求得23AOC，从而证得ACD为等边三角形，求得其面积，再在ABC中利用余弦定理求得3AB，从而利用三角形面积公式求得ABC的面积，由此得解；（2）利用余弦定理得到249acac，从而利用基本不等式推得14 33ac，由此得解.【详解】（1）如图所示，连结,OA OC，在AOC中，7 33OAOC，7AC，所以222494949133cos492223OAOCACAOCOA OC，因为0AOC，所以23AOC，则3ADC，因为ADCD，所以ACD为等边三角形，211349 3sin4923224ACDSAC，ABCADC，23ABC，在ABC中，2222
28、2cos3ACBCABBC AB，即249255ABAB，又0,3ABAB，11315 3sin3 52224ABCSAB BCABC ，16 3ABCDABCACDSSS.（2）设BCa，ABc，则在ABC中，23ABC，7AC，则2249122acac，即2249acac，故249acac，因为0,0ac，所以22acac，当且仅当ac时，等号成立，所以2249492acacac，当且仅当ac时，等号成立，23()494ac，则2449()3ac，0ac，故14 33ac，当且仅当ac时，等号成立，所以14 373acAC，即ABC周长的最大值为14 373.8（2023广东深圳广东深圳深
29、圳中学校联考模拟预测）深圳中学校联考模拟预测）已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且2 cos2bAac.(1)求角 B；(2)设ABC的角平分线BD交AC于点 D，若2BD，求ABC的面积的最小值.【答案】(1)23(2)4 3【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.（2）根据三角形的面积之间的关系，即ABCABDBCDSSS，可得2acac，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）由已知及正弦定理得：2sincossin2sinBAAC，又在ABC中，sinsin()sincoscossinCABABAB,2sincossin2sin
30、cos2cossinBAAABAB，即2sincossinABA，又(0,),sin0AA，1cos2B ,又0B，23B，即角 B 的大小为23.（2）13sin24ABCSacBac.BD是ABC的角平分线，而ABCABDBCDSSS，311sin60sin60422acABBDBDBC，即33()44acBDac，acBDac.2BD，2acac，2acac，4acac，即16ac,当且仅当4ac时取等号，则13sin164 324ABCSacB，即ABC的面积的最小值为4 3.9（2023重庆重庆统考模拟预测）统考模拟预测）在ABC中，a，b，c 分别是ABC的内角 A，B，C 所对的
31、边，且sinsinsinsinbacACBC(1)求角 A 的大小；(2)记ABC的面积为 S，若12BMMC ，求2AMS 的最小值【答案】(1)3A(2)839【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；（2）根据题意可得，1233AMACAB ，然后得到2AM，再由三角形的面积公式可得S，最后结合基本不等式即可得到结果.【详解】（1）因为sinsinsinsinbacACBC，即sinsinsinsinBCacACb由正弦定理可得，bcacacb，化简可得222abcbc，且由余弦定理可得，2222cosabcbcA，所以1cos2A，且0,A，所以3A
32、.（2）因为12BMMC ，则可得1233AMACAB ，所以222212144cos33999AMACABACACABAAB 22142999bcbc且13sin24SbcAbc，即22214242899999393344bcbcbcbcAMSbcbc，当且仅当1233bc，即2bc时，等号成立.所以2min839AMS 10（2023吉林白山吉林白山统考三模）统考三模）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，cos2 3 sincosaBCcBaA.(1)求角A；(2)若ABC为锐角三角形，且外接圆的半径为3，求22bab的取值范围.【答案】(1)3(2)6,4 3【分析】（1
33、）利用和差角的余弦公式得到sin sin3 sin cosaBCcBA，再由正弦定理将边化角，即可求出tanA，从而得解；（2）利用正弦定理得到3a，2 3sinbB，即可得到2232 3 sin4sinbaBbB，由三角形为锐角三角形得到B的取值范围，即可得到sinB的取值范围，再根据对勾函数的性质计算可得.【详解】（1）解：因为cos2 3 sincosaBCcBaA，可得coscos2 3 sin cosaBCaAcBA，则coscos2 3 sin cosaBCaBCcBA，所以cos cossin sincos cossin sin2 3 sin cosaBCaBCaBCBCcBA，
34、即sin sin3 sin cosaBCcBA，由正弦定理得sinsin sin3sinsin cosABCCBA，显然sin0C，sin0B，所以sin3cosAA，所以tan3A，因为0,A，所以3A.（2）解：因为2 3sinsinabAB，即2 3sinsin3abB，所以3a，2 3sinbB，所以2223 332 3sin2 3 sin2sin4sinbaabBBbbBB，因为ABC为锐角三角形且23BC，所以022032BB，所以62B，即1sin,12B，令 34f xxx，1,12x，根据对勾函数的性质可知函数 34f xxx在13,22上单调递减，在3,12上单调递增，且1
35、22f，332f，714f，所以 3,2fx，即3sin3,24sinBB，所以32 3 sin6,4 34sinBB，即22bab的取值范围为6,4 3.11（2023云南昭通云南昭通统考模拟预测）统考模拟预测）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin3sinAB=.从23ac，31sinsincoscos32ACBC，2C，这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角A的大小；(2)点D在线段BA的延长线上，且4ACD，若2AB，求ACD的面积.【答案】(1)3(2)334【分析】(1)运用正弦定理或余弦定理求解；(2)根据条件和（1）的结果，运用余弦定理求出 b，
36、c，再用正弦定理求出 DA，运用面积公式求解.【详解】（1）由sin3sinAB=得：3ab=；若选23ac，则有23cbab，由余弦定理得2222222431cos,0,2423bcabbbAAAbcb；若选31sinsincoscos32ACBC，由sin3sinAB=代入上式，得：111sinsincoscos,cos,cos,2223BCBCBCAA；若选2C，则ABC为直角三角形，22224,2cabbcb，3sin,0,223aAAAc；综上，3A；（2）由（1）知3A，3ab=，2c，由余弦定理得：222222cos,342,210,1abcbcA bbb bbb，22,3334
37、12ACADD，在ADC中，由正弦定理得：2,sinsin2sin12DAACDADACD，62sinsin12344，2 23162DA，133sin24ACDSDA ACDAC；综上，3A，334ACDS.12（2023山西山西统考模拟预测）统考模拟预测）如图，四边形ABCD中，24ABAD，BDBC，2DBC，DAB，7sincos4.(1)求ABD的面积；(2)求线段AC的长度.【答案】(1)752(2)2 14【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可求解；（2）根据（1）的结论及余弦定理，利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解
38、.【详解】（1）因为7sincos4，所以27sincos16，即92sincos016.因为为ABD的内角，所以sin0,cos0.又225sincos12sincos16，所以5sincos4，联立，得75sin8，75cos8，所以ABD的面积为17521sin4 227528ABDSAB AD .（2）由（1）知75cos8,75sin8，由余弦定理，得22222cosBCBDADABAD AB227242 4 2753028.设ABD,由正弦定理,得sinsinADBD，即2sinsinBD，所以2sincoscossin2ABCBD .在ABC中，由余弦定理,得2222cosACA
39、BBCAB BCABC2sin16302 72 4 BDBD 462 716sin466175582 76，所以2 14AC.13（2023河北邯郸河北邯郸统考一模）统考一模）已知函数 23sin22cos2f xxxN在4,3上单调(1)求 fx的单调递增区间；(2)若ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且3a，22Af，求ABC 周长的最大值【答案】(1),63kkkZ(2)9【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可得 2sin 216f xx，再根据 fx在4,3上单调，可得124223，从而可求得，再根据正弦函数的单调性即可得解；（2）先根据22Af求出A，再利用余
40、弦定理结合基本不等式求得bc的最大值，即可得解.【详解】（1）由题意可得 3sin2cos212sin 216f xxxx，因为 fx在4,3上单调，所以124223，解得3322，因为N，所以1，即3sin2cos212sin 216xxx，令2 22 262kxkkZ，解得63kxkkZ，即 fx的单调递增区间是,63kkkZ；（2）因为22Af，所以2sin126A，所以1sin62A，因为0A，所以5666A，所以3A，由余弦定理可得2222cosabcbcA，即229bcbc，即239bcbc，因为22bcbc，当且仅当bc时，等号成立，所以22394bcbc，解得6bc，则9abc
41、，即ABC 周长的最大值为 914（2023辽宁抚顺辽宁抚顺统考模拟预测）统考模拟预测）已知ABC中，点D在边AB上，满足(0)CACBCDCACB ，且6cos23B，CAD的面积与CBD面积的比为2 6:3(1)求sin A的值；(2)若5AB，求边AB上的高CE的值【答案】(1)3sin3A(2)2 2【分析】（1）由(0)CACBCDCACB 得CD为ACB的平分线，再根据正弦定理得sin2 6sin3BCAADACBBD，从而解得3sin3A；（2）由已知及（1）可得6coscos()9CAB，再由余弦定理求得BC的长，最后根据sinCEBCB求得结果.【详解】（1）(0)CACBC
42、DCACB ，CD为ACB的平分线，在CAD与CBD中，根据正弦定理可得：sinsinsinsinACADADCDCABCBDBDCDCB两式相比可得：ACADBCBD又CAD的面积与CBD面积的比为2 6:3，2 63CADCBDSCAADSCBBD，即sin2 6sin3BCAACB，且BA，由6cos23B得21cos2cos123BB ，2 2sin3B 且B为锐角，3sin3A 故答案为：3sin3A（2）由（1）知A为锐角，且26cos1 sin3AA，因此6coscos()(coscossinsin)9CABABAB ，又2 63ACBC，所以在ABC中由余弦定理得22222 6
43、2 6625339BCBCBCBCAB，解得：3BC，CEAB2 2sin32 23CEBCB 故答案为：2 2CE 15（2023山东淄博山东淄博统考一模）统考一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足abcabcab(1)求角C；(2)若角C的平分线交AB于点D，且2CD，求2ab的最小值.【答案】(1)23(2)64 2【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；(2)利用正弦定理得到sin2 1sinAaB，sin21sinBbA，然后利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由abcabcab可得：222abcab，由余弦定理知，2221cos222abcabCab
44、ab ，又0,C因此23C.（2）在ACD中，由sinsin3CDADA，得3sinADA，在BCD中，由sinsin3CDBDB，可得3sinBDB，所以33sinsincADBDAB；在ABC中，由sinsinsinabcABC，得33sinsinsinsin32abABAB，解得sin2 1sinAaB，sin21sinBbA，所以2sinsin22 3sinsinABabBA，因为sin0A，sin0B，所以2sinsin22 322 32 264 2sinsinABabBA，当且仅当222sinsinAB时取等号，因此2ab的最小值为64 2.16（2023吉林吉林统考二模）统考二模
45、）已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos6bCcB.(1)求边a；(2)若ABC是锐角三角形，且_，求ABC的面积S的取值范围.要求：从4A，10bc从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)6a(2)答案见解析【分析】（1）解法一，利用余弦定理将角化边；解法二，利用正弦定理将边化角；（2）若选择，利用正弦定理得到6 2sinbB，6 2sincC，则1sin2ABCSbcA，将其转化为关于B的三角函数，结合ABC是锐角三角形，求出B范围，再结合正弦函数的性质求出ABC的面积的取值范围；若选择，
46、依题意可得10cb，由三角形ABC为锐角三角形利用余弦定理求出b的取值范围，利用余弦定理表示出cosC，即可得到sinC，将ABCS转化为关于b的函数，结合二次函数的性质计算可得.【详解】（1）解法一：因为coscos6bCcB，由余弦定理，得222222622abcacbbcaabac；解法二：因为coscos6bCcB，由正弦定理，得2(sincossincos)6RBCCB，2sin()6RBC，2 sin6RA，即6a.（2）选择：因为66 2sinsinsinsin4abcABC所以6 2sinbB，6 2sincC，所以1sin18 2sinsin18 2sinsin24ABCSb
47、cABCBB2218 2sincossin22BBB218sincos18sinBBB9sin299cos2BB 9 2sin 294B因为ABC是锐角三角形，所以0202BC，又34CB，所以023042BB，所以42B.所以32444B，所以2sin 2124B，所以99 2sin 29 24B，所以189 29ABCS.选择：因为10bc，则10cb，因为ABC是锐角三角形，所以222222222cos02 cos02cos02bcaAbcacbBacabcCab，即222222222222222(10)36036(10)036(10)0bcabbacbbbabcbb，所以163455b
48、，因为222516cos23abcbCabb，所以24(2)(8)sin1 cos3bbCCb，所以4(2)(8)1sin323ABCbbSabCbb241016bb，163455b由二次函数 22101659g xxxx 163455x的性质可得，当5x 时，函数取最大值 max9g x，当165x 时，14425g x，又34155555，所以 144,925g x，即261441,90251bb，所以2115102,36bb，所以48125ABCS.17（2023湖北湖北校联考模拟预测）校联考模拟预测）在ABC中，D 是边BC上的点，2,4ABBDCADACCD(1)求BAD；(2)若2
49、ABAD，求ABC的面积【答案】(1)6(2)23【分析】（1）在ACD和ABD中分别利用正弦定理可得sinsinCDCADACADC和sinsinBDBADABADB，结合条件化简可得1sin2BAD，判断BAD的取值可得答案.（2）结合（1）的结论推出ABC是等腰三角形，过 C 作CEAB于 E，求出三角形的高CE，利用三角形面积公式即可求得答案.【详解】（1）在ACD中，由正弦定理，得sinsinCDCADACADC，在ABD中，由正弦定理，得sinsinBDBADABADB，因为ADCADB，所以sinsinADCADB，故相比可得sinsinAB CDCADAC BDBAD，由2AB
50、BDACCD及2sinsin42CAD，得1sin2BAD因为(0,)BAD，所以6BAD或56BAD当56BAD时，不满足BADCADBAC，舍；当6BAD时，满足题意，综上，6BAD（2）在ABD中，,6ABADBAD，故512ADBABD，进而5,12ABCBACCACBABC 是等腰三角形过 C 作CEAB于 E，则3tantan15463tantan23124631tantan1463CEAE，所以112(23)2322ABCSAB CE，故ABC的面积为2318（2023江苏南通江苏南通海安高级中学校考一模）海安高级中学校考一模）ABC 中，D 是线段 BC 上的点，sin:sin