《2024届高考数学专项解三角形与三角函数题型综合训练（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届高考数学专项解三角形与三角函数题型综合训练（解析版）.pdf（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1解三角形与三角函数题型综合训练解三角形与三角函数题型综合训练一、梳理必备知识1.1.正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R.(其中R为ABC外接圆的半径)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(边化角)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;(角化边)2.2.余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.3.3.三角形面积公式：SABC=12absinC=12bcsinA=12acsin
2、B=12a+b+cr r为三角形ABC的内切圆半径4.4.三角形内角和定理：在ABC中，有A+B+C=C=-(A+B)C2=2-A+B22C=2-2(A+B).5.5.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2=2sincoscos2=cos2sin2=2cos21=12sin2升幂公式：1+cos2=2cos21-cos2=2sin2 降幂公式：cos2=12(1+cos2)sin2=12(1-cos2)tan2=2tan1tan2.6.6.辅助角公式asinxbcosx=a2+b2sin(x)，(其中tan=ba)；求 f(x)=Asin(x+)+B解析式A,B求法方法一：代数法A+B=f(x)
3、max-A+B=f(x)min 方法二：读图法B表示平衡位置；A表示振幅2024届高考数学专项解三角形与三角函数题型综合训练（解析版）届高考数学专项解三角形与三角函数题型综合训练（解析版）2求法方法一：图中读出周期T，利用T=2求解；方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.求法方法一：将最高(低)点代入 f(x)=Asin(x+)+B求解；方法二：若无最高(低)点，可使用其他特殊点代入 f(x)=Asin(x+)+B求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.7.三角形中线问题如图在 ABC 中，D 为 CB 的中点，2AD=AC+AB，然后再两边平方，转化成数量
4、关系求解！(常用)8.8.角平分线如图，在ABC中，AD平分BAC，角A,B,C所对的边分别为a，b，c等面积法SABC=SABD+SADC12ABACsinA=12ABADsinA2+12ACADsinA2(常用)内角平分线定理：ABBD=ACDC或ABAC=BDDC边与面积的比值：ABAC=SABDSADC9.9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)ab a+b2a2+b22ab10.10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)利用正弦定理 a=2RsinA，b=2RsinB，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。【常用结论】【常用结论】在ABC中
5、，absinAsinBAB;3sin2A=sin2B,则A=B或A+B=2.在三角函数中，sinAsinBAB不成立。但在三角形中，sinAsinBAB成立二、三角函数与解三角形题型综合训练1.1.(20232023春春 福建莆田福建莆田 莆田一中校考阶段练习莆田一中校考阶段练习)已知函数 f x=Asin x+A0,0,0，0，2)的部分图象如图所示(1)求函数 f x的解析式及图中b的值；(2)将 f x的图象向左平移6个单位后得到函数y=g x的图象，求g x在 0,2上的单调减区间.3.3.(20232023春春 湖北十堰湖北十堰 校联考阶段练习校联考阶段练习)已知函数 f x=sin
6、x-3cosx(1)若x 0,2，且函数 f x=23，求cos23+x的值；(2)若将函数 f x图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得图像向左平移4个单位长度，得到g x的图像，求函数g x在 0,2上的最小值54.4.(20232023 春春 浙江宁波浙江宁波 余姚中学校考阶段练习余姚中学校考阶段练习)已知函数 f x=sinxcosx-3cos2x，将函数 f x的图象向左平移4个单位长度，可得到函数g x的图象(1)求函数g x的表达式及单调递增区间；(2)当x6,3时，af x+g xa2+12-32a+1恒成立，求正数a的取值范围5.5.(20232023春春
7、安徽滁州安徽滁州 安徽省滁州中学校考阶段练习安徽省滁州中学校考阶段练习)已知a，b，c为ABC的内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2-ab(1)求角C(2)若sinBc，求证：12bcbsinAsinBAB;3sin2A=sin2B,则A=B或A+B=2.在三角函数中，sinAsinBAB不成立。但在三角形中，sinAsinBAB成立二、三角函数与解三角形题型综合训练1.1.(20232023春春 福建莆田福建莆田 莆田一中校考阶段练习莆田一中校考阶段练习)已知函数 f x=Asin x+A0,0,2的部分图象如图所示：(1)求方程 f x=2的解集；(2)求函数g x=f x-12-f
8、 x+12的单调递增区间.【答案】(1)x x=6+k,kZ (2)k-12,k+512,kZ【分析】(1)观察图象可得周期，根据点512，0在函数图象上得；再根据点 0,1在函数图象上得A，求得解析式，进而求出解集；(2)首先将g x化简为g x=2sin 2x-3，利用三角函数单调性可得答案.【详解】(1)由图象可知，周期T=512+712=，=2=2，点512，0在函数图象上，Asin 2512+=0，sin56+=0，解得56+=+2k，=2k+6，kZ，0，0，2)的部分图象如图所示(1)求函数 f x的解析式及图中b的值；(2)将 f x的图象向左平移6个单位后得到函数y=g x的
9、图象，求g x在 0,2上的单调减区间.【答案】(1)f(x)=2sin 2x+6，1(2)0,2【分析】(1)由函数的最值可求出A=2，由图可知34T=512-3=34，再结合周期公式可求出=2，然后再512,0代入函数中可求出，从而可求出函数解析式.(2)由函数图象变换规律求出g(x)的解析式，再由2k2x+2k可求出函数的减区间.【详解】(1)由题意知，A=2，34T=512-3=34，T=,=2=2，当x=512时，由 0，可得02,tan=1a，上面的不等式可化为sin 2x-3+12，当x6,3时，32x23,02x-33,2x-3+3+，由02，有33+56，若sin 2x-3+
10、12恒成立，只需要6,3+56,可得62，又由02，有62，可得tan=1atan6，解得0a3，由上知，实数a的取值范围为 0,35.5.(20232023春春 安徽滁州安徽滁州 安徽省滁州中学校考阶段练习安徽省滁州中学校考阶段练习)已知a，b，c为ABC的内角A，B，C所对的边，7且c2=a2+b2-ab(1)求角C(2)若sinBsinC，b=4，D为BC的中点，AD=13，求ABC的面积【答案】(1)C=3；(2)6 3.【分析】(1)根据余弦定理边角互化即可求解；(2)根据余弦定理可求CD值，进而可求a，根据三角形面积公式即可求解【详解】(1)由题可得a2+b2-c2=ab，由余弦定
11、理得cosC=a2+b2-c22ab=12，因为0C，所以C=3；(2)在三角形ADC中，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosACD，即13=16+CD2-4CD，解得CD=1或CD=3，即a=2或a=6，因为sinBsinC，所以由正弦定理可得bc，故BCB，故acb，所以a=6，所以SABC=12absinC=126432=6 36.6.(20232023春春 河北唐山河北唐山 高三开滦第一中学校考阶段练习高三开滦第一中学校考阶段练习)在斜ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin2A-2 3sin2A=-2 3，AD平分BAC交BC于点D，AD=1(1)求A的大小；(2)
12、若a=2 5，求ABC的面积【答案】(1)A=23；(2)5 34.【分析】(1)根据三角恒等变换结合条件可得tanA=-3，即得；(2)由SABC=SABD+SACD利用三角形的面积公式可得bc=c+b，由余弦定理条件可求得bc的值，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)由sin2A-2 3sin2A=-2 3，可得2sinAcosA=-2 3cos2A，8又A为斜ABC的内角，cosA0，所以tanA=-3，又0AAD，所以0ACD60，所以ACD=45.13.13.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
13、a=4，c=3，B=30(1)求b的值；(2)求sinC的值；(3)若D为边BC上一点，且cosADC=-13，求BD的长.【答案】(1)b=7(2)2114(3)12+68【分析】(1)由余弦定理即可求解.(2)由正弦定理即可求解.(3)作辅助线根据解直角三角形知识分别求出DO和BO即可.【详解】(1)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=7 b=7(2)由正弦定理：bsinB=csinC得sinC=csinBB=3 127=2114.(3)如图所示：过A作AOBC于O，在RtABO中，AB=3，B=300，AO=32，BO=32，在RtADO中，cosADO=13.sinADO=
14、2 23tanADO=2 2DO=AOtanADO=322 2=68BD=BO+DO=32+68=12+681414.14.(20222022 高三课时练习高三课时练习)如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，BCD=BAE=CDE=120，DE=11km，BC=CD=5km(1)求BE的长；(2)若sinABE=5 314，求五边形ABCDE的周长【答案】(1)14km；(2)37km.【分析】(1)由题设易得BD=5 3，BDC=30，再在直角BDE中应用勾股定理求BE的长；(2)利用正弦定理求得AE=10km且AB=283sin(60-ABE)
15、，结合差角正弦公式及同角平方关系求AB，即可求五边形ABCDE的周长【详解】(1)由BCD=120，BC=CD=5km，可得：BD=5 3，BDC=30，而CDE=120，故BDE=90，在直角BDE中DE=11km，则BE=BD2+DE2=14km.(2)由(1)知：AEsinABE=ABsinAEB=BEsinBAE=283，则AE=10km，AB=283sinAEB=283sin(60-ABE)=14cosABE-143sinABE，由sinABE=5 314且ABE(0,60)，则cosABE=1114，所以AB=6km.所以五边形ABCDE的周长AB+BC+CD+DE+AE=37km
16、.15.15.(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)已知锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 c-bsinC=acosC-bsinB+acosBsinC.(1)求角A；(2)若H为ABC的垂心，a=2，求HBC面积的最大值.【答案】(1)3(2)33【分析】(1)根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得bc=b2+c2-a2，由余弦定理即可求解，(2)根据垂直关系可得BHC=23，进而在BHC中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值.15【详解】(1)由题可得，c-bsinC=acosCsinB-bsinB+acosBsinC=asin B+C-bsi
17、nB=asinA-bsinB结合正弦定理可得 c-bc=a2-b2，即bc=b2+c2-a2，cosA=b2+c2-a22bc=12，又A 0,2，A=3.(2)设边AC，AB上的高分别为BE，CF则H为BE与CF的交点，则在四边形AFHE中，FAE+FHE+2+2=2，FAE=3，FHE=23，故BHC=23，在BHC中，SBHC=12BHHCsin23=34BHHC，BH2+HC2-2BHHCcos23=4，则4=BH2+HC2+BHHC2BHHC+BHHC，即BHHC43，当且仅当BH=HC时取等号.SBHC33，故HBC面积的最大值为33.16.16.(20222022 安徽黄山安徽黄
18、山 统考一模统考一模)如图,已知 ABC 外接圆的圆心 O 为坐标原点,且 O 在 ABC 内部,A 1,0,BOC=23.(1)求AOB=712,求AO AB;(2)求ABC面积的最大值.【答案】(1)1+6-24(2)3 34【分析】(1)由题可得外接圆半径,即 OB=OA=OC=1,用向量加减法把AB 写为OB-OA,展开代入长度和角即可求出数量积;(2)由圆心角,可求圆周角,即BAC的值,由外接圆半径为1,根据正弦定理可求a,根据余弦定理可求b,c之间等式关系,根据基本不等式可求bc的最大值,根据三角形面积公式,即可求出其最大值.【详解】(1)解:由题知A 1,0,故圆的半径为1,16
19、所以 OB=OA=OC=1,所以AO AB=AO OB-OA=-OA OB+OA 2=1-11cosAOB=1-cos712=1-cos3+4=1-1222-3222=1+6-24(2)由(1)知,外接圆的半径为1,因为BOC=23,所以BAC=3在ABC中,由正弦定理可得:asin3=asinBAC=2,解得:a=3,在ABC中,由余弦定理可得:cosBAC=b2+c2-a22bc=12,化简可得:b2+c2=3+bc,由基本不等式可知b2+c22bc,即3+bc2bc,所以解得bc3,当且仅当b=c=3 时取等,所以SABC=12bcsinBAC=34bc3 34.故ABC面积的最大值为3
20、 34.17.17.(20232023 高三课时练习高三课时练习)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足a2+c2=b2-ac(1)求角B的大小；(2)若b=2 3，求ABC的面积的最大值【答案】(1)120(2)3【分析】(1)利用余弦定理求B即可；(2)利用基本不等式得到ac4，然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可.【详解】(1)因为a2+c2-b2=-ac，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=-12，又B 0,，所以B=120.(2)因为b=2 3，由(1)得a2+c2=12-ac2ac，当且仅当a=c=2时取等号，所以ac4，面积S=12acsinB=3
21、4ac3所以三角形面积的最大值为318.18.(20232023 春春 河北邢台河北邢台 高三邢台市第二中学校考阶段练习高三邢台市第二中学校考阶段练习)在四边形 ABCD 中，A,B,C,D 四点共圆，AB=5，BC=3，cosABC=-3517(1)若sinACD=2 55，求AD的长；(2)求四边形ABCD周长的最大值【答案】(1)65(2)8+2 65【分析】(1)由四点共圆求出cosADC=-cosABC=35，在ABC中，由余弦定理求出AC=2 13，在ADC中，由正弦定理求出AD=65；(2)在第一问的基础上，结合余弦定理和基本不等式得到AD+CD2 65，从而得到周长的最大值.【
22、详解】(1)因为A,B,C,D四点共圆，所以ABC+ADC=，因为cosABC=-35，所以cosADC=-cosABC=35，因为ADC 0,，故sinADC=1-cos2ADC=45，在ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=25+9-30-35=52，故AC=2 13，在ADC中，由正弦定理得：ADsinACD=ACsinADC，即AD2 55=2 1345，解得：AD=65；(2)由(1)知：AC=2 13，cosADC=35，在ADC中，由余弦定理得：cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD=AD2+CD2-522ADCD=35，整理得：AD2+
23、CD2=65ADCD+52，故 AD+CD2-52=165ADCD，其中ADCDAD+CD22，故 AD+CD2-52=165ADCD45AD+CD2，解得：AD+CD2 65，当且仅当AD=CD=65 时，等号成立，故四边形ABCD周长的最大值为AB+BC+AD+CD8+2 65.19.19.(20222022春春 广东潮州广东潮州 饶平县第二中学校考阶段练习饶平县第二中学校考阶段练习)在锐角ABC中，已知asinB=3bcosA.(1)求角A；(2)若a=2，求ABC周长的取值范围.【答案】(1)3(2)(2 3+2,6【分析】(1)用正弦定理的边化角即可.(2)用第一问结论，结合正弦定理
24、得，在锐角ABC中，bsinB=18csinC=asinA=2sin3=4 33，表示出b,c两条边长，就可以求出ABC周长,再根据B的取值范围，求得周长的取值范围.【详解】(1)asinB=3bcosA，由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA，又sinB0，sinA=3cosA即tanA=3，又0A2，A=3.(2)在锐角ABC中，由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=2sin3=4 33，b=4 33sinB,c=4 33sinC，C=23-B，且0B2023-B2，故6B2，b+c=4 33sinB+sin23-B=4 3332sinB+32cosB=4sin B+6
25、，又3B+623，32sin B+61，故2 3 b+c4，2 3+2a+b+c6，即ABC周长的取值范围是(2 3+2,6.20.20.(20222022 秋秋 广东广东 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)在 m=2a-c,b，n=cosC,cosB，m n；bsinA=acos B-6；a+ba-b=a-cc 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求B；(2)若b=2，求ABC周长的取值范围.【答案】(1)B=3(2)4,6【分析】(1)选：根据向量平行
26、得到 2a-ccosB-bcosC=0，结合正弦定理和正弦和角公式得到cosB=12，结合B 0,，求出B=3；选：由正弦定理和余弦差角公式，辅助角公式得到sin B-3=0，结合B 0,，求出B=3；选：由余弦定理得到cosB=12，结合B 0,，求出B=3；(2)由余弦定理和基本不等式，结合三角形两边之和大于第三边，得到2a+c4，得到周长的取值范围.【详解】(1)若选：因为m=2a-c,b，n=cosC,cosB，mn，19所以 2a-ccosB-bcosC=0，由正弦定理得 2sinA-sinCcosB-sinBcosC=0，即2sinAcosB-sinCcosB+sinBcosC=0
27、，所以2sinAcosB=sin B+C=sinA，因为A 0,，所以sinA0，所以cosB=12，因为B 0,，所以B=3，若选：由正弦定理得sinBsinA=sinAcos B-6，故sinBsinA=sinA32cosB+12sinB=32sinAcosB+12sinAsinB，所以12sinBsinA=32sinAcosB，因为A 0,，sinA0，所以12sinB-32cosB=sin B-3=0，因为B 0,，所以B=3；若选：由 a+ba-b=a-cc得a2+c2-b2=ac，由余弦定理得：cosB=a2+b2-c22ac=ac2ac=12，因为B 0,，所以B=3.(2)由(
28、1)可知，B=3，a2+c2-b2=ac，又b=2，所以a2+c2=ac+4，由基本不等式得：a2+c22ac，即ac+42ac，所以ac4，当且仅当a=c=2时，等号成立.又 a+c2=a2+c2+2ac=3ac+416，即02，所以2a+c4，所以4b2+ab，这与b2+ab=c2矛盾，舍去.所以，A=6.(2)22若选，由(1)知，A=B=6，C=23.由正弦定理可得a:b:c=sinA:sinB:sinC=1:1:3，又ABC周长为2+3，所以a=b=1，c=3，则ABC存在且唯一确定.设BC中点为D，则CD=12BC=12，在ACD中，有C=23，AC=1，CD=12，由余弦定理可得
29、，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=12+122-2112-12=74，所以，AD=72；.若选，即a=1，由(1)知，A=B=6，C=23.则b=1，根据正弦定理asinA=csinC，可得c=asinCsinA=13212=3，则ABC存在且唯一确定.设BC中点为D，则CD=12BC=12，在ACD中，有C=23，AC=1，CD=12，由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=12+122-2112-12=74，所以，AD=72；.若选，即ABC面积为3 34.由(1)知，A=B=6，C=23，则a=b.SABC=12absinC=12a232=3 34，所以a
30、2=3，则a=3，所以b=3，根据正弦定理asinA=csinC，可得c=asinCsinA=3 3212=3，则ABC存在且唯一确定.设BC中点为D，则CD=12BC=32，在ACD中，有C=23，AC=3，CD=32，由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=32+322-23 32-12=214，所以，AD=212；.若选c=2a.23由(1)知，A=B=6，C=23.根据正弦定理asinA=csinC，可得c=asinCsinA=32a12=3a，与c=2a矛盾，所以，不存在这样的ABC.24.24.(20232023春春 湖南衡阳湖南衡阳 衡阳市八中校考阶段练习衡阳
31、市八中校考阶段练习)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b,2sinA=3sin2C.(1)求cosC；(2)若ABC的面积为3 72，求AB边上的中线CD的长.【答案】(1)24(2)7【分析】(1)根据二倍角的正弦公式，结合余弦定理进行求解即可；(2)根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】(1)因为2sinA=3sin2C，所以2sinA=6sinCcosC，所以2a=6ccosC，即a=3ccosC，所以cosC=a3c，由余弦定理及c=2b得：cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-4b22ab=a2-3b22ab，又cosC=a
32、3c=a6b，所以a2-3b22ab=a6b2a2=9b2，即a=3 22b，所以cosC=a6b=24；(2)由SABC=12absinC=12 ab 144=3 72，所以ab=6 2，由(1)a=3 22b，所以b=2,a=3 2，因为CD为AB边上的中线，所以CD=12CA+CB，所以 CD 2=14CA 2+CB 2+2CA CB=14 b2+a2+2abcosC=144+18+223 2 24=7，所以 CD=7，所以AB边上的中线CD的长为：7.25.25.(20222022 浙江浙江 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=12cos4x-sinxcosx-12sin4x(
33、1)求 f x的最小正周期及单调减区间；(2)在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 fA2=-22，BC边上的中线AD=2，求b2+c2的最大值【答案】(1)最小正周期为；单调减区间为 k-8,k+38,kZ；(2)8 2+2【分析】(1)先运用平方差公式化简，然后再用辅助角公式，就可以求最小正周期及单调减区间；24(2)先求出A=34，再根据向量及基本不等式即可求出最大值.【详解】(1)函数 f x=12cos4x-sinxcosx-12sin4x=12cos4x-sin4x-12sin2x=12cos2x-sin2xcos2x+sin2x-12sin2x=12cos2x-si
34、n2x-12sin2x=12cos2x-sin2x=22cos 2x+4所以最小正周期为T=，当2k2x+4+2k，kZ，解得k-8xk+38，kZ所以单调减区间为 k-8,k+38,kZ.(2)fA2=22cos A+4=-22，cos A+4=-1，A=34，AB+AC=2AD，b2+c2+2bccos34=42，b2+c2-2bc=8，b2+c2-8=2bc2b2+c22，1-22b2+c28，b2+c2162-2=8 2+2，当且仅当b=c时，取等号所以(b2+c2)max=8(2+2).26.26.(20232023春春 广东广州广东广州 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)在ABC中
35、，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，且sinC=3sinA(1)求cosC；(2)若角B的角平分线交AC于点D，BD=2，求ABC的面积【答案】(1)cosC=-714(2)SABC=16 39【分析】(1)由题意可得sinC=3sinA=3sin23-C，进而得tanC=-3 3 结合C 0,23即可求cosC；(2)由题意SABC=SBCD+SABD=2a，再应用三角形面积公式列方程求a，即可得结果.【详解】(1)由A、B、C成等差数列且A+B+C=，则A+C=2B=23，所以A=23-C，故sinC=3sinA=3sin23-C=3 32cosC+32sin
36、C，且C 0,23，所以3 32cosC+12sinC=0，则tanC=-3 3，故C2,23，则cosC=-714.25(2)由(1)知：B=3，则CBD=ABD=6，而BD=2，故D到BC,BA距离h=1，所以SABC=SBCD+SABD=12h(AB+BC)=12h(c+a)，而sinC=3sinA，即c=3a，所以SABC=2a.SABC=12acsinABC=3 34a2,SBCD+SABD=2a，即3 34a2=2a，得a=8 39，所以SABC=16 39.27.27.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=2
37、3，sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B，(1)求角B的大小；(2)若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长【答案】(1)23；(2)6【分析】(1)根据正弦定理先角化边，然后由余弦定理即可解出；(2)由(1)知，B=23，根据三角形的面积公式S=12acsinB可知，当ac最大时，ABC面积最大，由余弦定理可得a2+c2+ac=12，根据基本不等式即可求出ac的最大值，从而求出AD的长【详解】(1)因为sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=-12，又B 0,
38、，所以B=23(2)在ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，则12=a2+c2-2accos23，即a2+c2+ac=12.a0，c0，a2+c2+ac=123acac4，当且仅当a=c=2时，acmax=4，所以 SABCmax=12acsinB=124sin23=3.此时，BAC=C=12-23=6.在ABD中，ADB=6+12=4，26由正弦定理得ADsin23=2sin4AD=23222=6.28.28.(20232023春春 陕西西安陕西西安 西北工业大学附属中学校考阶段练习西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且在tan
39、A+tanC-3=-3tanAtanC；2SABC=-3BA BC；bcos2-C=-3ccosB.这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答(1)求角B的大小；(2)若角B的内角平分线交AC于D，且BD=1，求a+4c的最小值【答案】(1)B=23(2)9【分析】(1)若选：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得tan A+C，由tanB=-tan A+C可求得tanB，进而得到B；若选：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得tanB，进而得到B；若选：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得tanB，进而得到B；(2)根据SABC=SABD+SBCD，利用三
40、角形面积公式化简可得1a+1c=1，由a+4c=a+4c1a+1c，利用基本不等式可求得最小值.【详解】(1)若选条件，由tanA+tanC-3=-3tanAtanC得：tanA+tanC=3 1-tanAtanC，tanA+tanC1-tanAtanC=3，即tan A+C=3，则tanB=tan-A+C=-tan A+C=-3，又B 0,，B=23.若选条件，由2SABC=-3BA BC 得：acsinB=-3accosB，sinB=-3cosB，则tanB=-3，又B 0,，B=23.若选条件，bcos2-C=-3ccosB，则bsinC=-3ccosB，由正弦定理得：sinBsinC=
41、-3sinCcosB，C 0,，sinC0，sinB=-3cosB，则tanB=-3，又B 0,，B=23.(2)SABC=SABD+SBCD，12acsin23=12cBDsin3+12aBDsin3，27即34ac=34c+34a，a+c=ac，a+cac=1a+1c=1，a+4c=a+4c1a+1c=5+ac+4ca5+2ac4ca=9(当且仅当ac=4ca，即a=2c=3时取等号)，a+4c的最小值为9.29.29.(20232023春春 浙江浙江 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答3csinA-acosC-2a=0；cos
42、A+(cosB+3sinB)cosC=0；tanCtanB=-b-2ab；已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为AB边上的一点，(1)求角C；(2)若CD为角平分线，且CD=1，求a+b最小值【答案】(1)C=23(2)4【分析】(1)若选根据条件得到3sinC-cosC=2sin C-6=2，结合C取值范围即可求得C=23；若选，根据三角形内角和定理以及和角公式可得sinC+3cosC=2sin C+3=0，再结合C取值范围即可求得C=23；若选，先将切化弦，然后利用两角和的正弦公式，再结合C取值范围即可求得C=23；(2)结合(1)的结论，利用余弦定理和角平分线的性质可得
43、1a+1b=1，然后利用基本不等式中“1”的代换即可求解.【详解】(1)选3sinCsinA-sinAcosC-2sinA=0，因为A(0,)，所以sinA0，则有3sinC-cosC=2sin C-6=2sin C-6=1，C 0,，C-6=2，即C=23.选：因为A+B+C=，则A=-(B+C)，所以cosA=cos-(B+C)=-cos(B+C)，则有-cos B+C+cosBcosC+3sinBcosC=0-cosBcosC+sinBsinC+cosBcosC+3sinBcosC=sinB sinC+3cosC=0sinC+3cosC=2sin C+3=0，C 0,C+3=，即C=23
44、28选：sinCcosBcosCsinB=-sinB-2sinAsinBsinCcosB=-sinBcosC-2sinAcosCsin B+C=sinA=-2sinAcosCcosC=-12，C 0,，C=23(2)由余弦定理得：AD2=b2+1-b，BD2=a2+1-a由角平分线定理得：AD2BD2=b2+1-ba2+1-a=b2a2，得ab=a+b则1a+1b=1，a+b=a+b1a+1b=2+ab+ba4当且仅当a=b=2时，等号成立.30.30.(20232023春春 辽宁沈阳辽宁沈阳 高三沈阳市第十一中学校联考阶段练习高三沈阳市第十一中学校联考阶段练习)已知ABC的内角A，B，C的对
45、边分别为a，b，c，满足sinAsinB+sinC+bsinBbsinA+csinB=1(1)求角C；(2)CD是ACB的角平分线，若CD=4 33，ABC的面积为2 3，求c的值.【答案】(1)C=3；(2)c=2 3【分析】(1)先由正弦定理得ab+c+b2ba+cb=1，化简整理得a2+b2-c2=ab，再由余弦定理求得cosC，即可求解；(2)先由面积求得ab=8，再由角平分线得ADBD=ba，结合平面向量得CD=aa+bCA+ba+bCB，平方整理求得a+b=6，再由(1)中a2+b2-c2=ab即可求出c的值.【详解】(1)由正弦定理得ab+c+b2ba+cb=1，即ab+c+ba
46、+c=1，整理得a a+c+b b+c=a+cb+c，化简得a2+b2-c2=ab，由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=12，又C 0,，则C=3；(2)由面积公式得12absinC=12ab32=2 3，解得ab=8，又CD是ACB的角平分线，则SACDSBCD=2912CACDsin612CBCDsin6=CACB=ADBD，即ADBD=ba，则CD=CA+AD=CA+ba+bAB=CA+ba+bCB-CA=aa+bCA+ba+bCB，所以CD 2=aa+bCA+ba+bCB 2=a2a+b2CA 2+2aba+b2CA CB+b2a+b2CB 2，即163=a2b2a+b2+2
47、aba+b2ab12+a2b2a+b2，整理得163=3a2b2a+b2，又ab=8，解得a+b=6，则a2+b2=a+b2-2ab=20，由(1)知c2=a2+b2-ab=20-8=12，则c=2 3.31.31.(20232023 春春 广东揭阳广东揭阳 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c，且12sin2BcosC+cos2BsinC-sinA2cosA2=0(1)求B；(2)若ABC外接圆的半径为3，点D为AC边的中点，证明：BD=2a2+2c2-92【答案】(1)3(2)证明见解析【分析】(1)对式子先用倍角公式和半角公式换为
48、关于角A,B,C的等式，再将cosB提出后，括号内的用两角和的正弦公式，最后用三角形中角之间的关系及诱导公式进行化简求值即可；(2)根据(1)的结论和正弦定理即可得b，根据D为AC边的中点，可得三角形中长度关系，根据BDA+BDC=，即cosBDA+cosBDC=0在两个小三角形中分别用余弦定理建立等式即可解得BD.【详解】(1)解：因为12sin2BcosC+cos2BsinC-sinA2cosA2=0，即sinBcosBcosC+cos2BsinC=12sinA，即cosB sinBcosC+cosBsinC=12sinA，即cosBsin B+C=12sinA，因为ABC，所以B+C=-
49、A，且A 0,sinA0，所以等式可化为cosBsin-A=12sinA，即cosBsinA=12sinA，即cosB=12，因为B 0,，所以B=3；30(2)解：由(1)知B=3，因为ABC外接圆的半径为3，所以ABC中，由正弦定理知：bsinB=2R=2 3，即b32=2 3，解得b=3，因为点D为AC边的中点，所以AD=CD=b2=32，因为BDA+BDC=，所以cosBDA+cosBDC=0，在BDA,BDC分别由余弦定理可得：cosBDA=BD2+AD2-AB22BDAD,cosBDC=BD2+CD2-BC22BDCD，代入cosBDA+cosBDC=0中可得：BD2+AD2-AB
50、22BDAD+BD2+CD2-BC22BDCD=0，即BD2+322-c22BD32+BD2+322-a22BD32=0，即2BD2+92-c2-a23BD=0，即BD2=c2+a2-922，故BD=2c2+2a2-92，得证.32.32.(20222022 秋秋 湖南长沙湖南长沙 高三雅礼中学校考阶段练习高三雅礼中学校考阶段练习)在ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c，若A+C2B(1)求证：B3；(2)对nN N*，请你给出一个n的值，使不等式an+cn2bn成立或不成立，并证明你的结论【答案】(1)证明见解析(2)n=5；证明见解析【分析】(1)根据三角形的内角和即可求解，(2