《2024年高考数学专项三角函数与解三角形大题归类 （解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项三角函数与解三角形大题归类 （解析版）.pdf（69页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 1 三角函数与解三角形大题归类目录重难点题型归纳1【题型一】恒等变形1【题型二】零点与对称性4【题型三】恒成立求参6【题型四】图像与解析式型9【题型五】利用正弦定理求角12【题型六】利用余弦定理求角型14【题型七】最值1：面积最值型16【题型八】最值2：锐钝角限制型最值18【题型九】最值3：周长最值型20【题型十】最值3：比值最值型22【题型十一】最值4：系数不一致型23【题型十二】最值5：角非对边型26【题型十三】最值6：四边形面积型28【题型十四】图形1：外接圆型29【题型十五】图形2：角平分线型32【题型十六】图形3：中线型34【题型十七】图形4：三角形高型37【题型十八】图形5：双
2、三角形型40好题演练42一、一、重难点题型归纳重难点题型归纳题型一恒等变形恒等变形【典例分析】【典例分析】1.1.已知函数 f x=2cosx sinx-cosx+1,xR(1)(1)求函数 f x的单调递增区间；(2)(2)将函数y=f x的图象向左平移4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2 2倍，纵坐标不变，得到函数y=g x的图象，求g x的最大值及取得最大值时的x的集合2024年高考数学专项三角函数与解三角形大题归类（解析版）2 2【变式演练】【变式演练】1.设函数 f(x)=32-3sin2x-sinxcosx(0)，且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
3、4，()求的值；()求 f(x)在区间,32上的最大值和最小值.题型二零点与对称性零点与对称性【典例分析】【典例分析】1.1.已知函数 f x=2sin x-3sin x+6+2 3cos2x-3-3.(1)求函数 f x的单调递增区间；(2)若函数g x=f 2x-a在区间 0,712上恰有3个零点x1,x2,x3x1x2x3，(i)求实数a的取值范围；(ii)求sin 2x1+x2-x3的值.3 3【变式演练】【变式演练】1.已知 f(x)=sin2x+1sinx+cosx+2(1)求函数 f(x)的值域；(2)若方程 f(x)=83在 0,454上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1,
4、x2,xn，求x1+2x2+2x3+2xn-1+xn的值题型三恒成立求参恒成立求参【典例分析】【典例分析】1.1.已知函数 f(x)=2sinxcos x+3+32.1求函数 f(x)的最小正周期；2若 f(x)+m0对x 0,2恒成立，求实数m的取值范围.4 4【变式演练】【变式演练】1.已知向量m=cosx2,2cosx2，n=2cosx2,3sinx2，设 f x=mn.(1 1)若 f x=2，求x x的值；(2 2)设g x=f x-1sinx-32，且 m-g x20,0,|2的部分图象如图所示(1)求函数 f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)的图象上所有的点向右平移12个单
5、位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象当x 0,136时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3x1x20,0,|2的部分图象如图所示.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向右平移4个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.当x 0,136时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根，x1,x2,x3x1x2c，求b和c的值.9 9题型七最值最值1 1：面积最值型：面积最值型【典例分析】【典例分析】1.1.在三角形ABC中，角A，
6、B，C所对应的边分别为a，b，c，且sinA=35,b=4,cba(1)从下列中选择一个证明：证明：asinA=bsinB；证明：cosA=b2+c2-a22bc(2)求三角形ABC面积的最小值【变式演练】【变式演练】1.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAcosB-sinC=33sinAsinB(1)求A；(2)若a=2 3，求三角形面积的最大值1010题型八最值最值2 2：锐钝角限制型最值锐钝角限制型最值【典例分析】【典例分析】1.1.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2b-c=2acosC.(1)求角A；(2)若ABC为锐角三角形，边c=2，求ABC面
7、积的取值范围.【变式演练】【变式演练】1.已知锐角三角形 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且满足sinAsinC-1=sin2A-sin2Csin2B，AC.(1)求1cosC+ab的取值范围；(2)若a=2，求三角形ABC面积的取值范围.1111题型九最值最值3 3：周长最值型：周长最值型【典例分析】【典例分析】1.1.已知函数 f(x)=3sinxcosx-sin2x+12，其中0，若实数x1,x2满足 f x1-f x2=2时，x1-x2的最小值为2(1)求的值及 f(x)的对称中心；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 f(A)=-1,a=3，求A
8、BC周长的取值范围【变式演练】【变式演练】1.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB+asinA=bsinA+csinC.(1)求角C；(2)若c=2 3，求a+b的取值范围.1212题型十最值最值3 3：比值最值型：比值最值型【典例分析】【典例分析】1.1.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2-b2c2=a2+b2-c2ab.(1)若C=4，求A，B；(2)若ABC为锐角三角形，求abcos2B的取值范围.【变式演练】【变式演练】1.在ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 a+bb=c2.(1)求证：C=2B；(2)求a+4bbc
9、osB的最小值.1313题型十一最值最值4 4：系数不一致型：系数不一致型【典例分析】【典例分析】1.1.请在向量x=c-ab+c,sinB，y=b-cc+a,sinA，且xy；3b=2csin A+3这两个条件中任选一个填入横线上并解答在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求角C；(2)若ABC的面积为2 3，求2a+b的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【变式演练】【变式演练】1.在 2c-asinC=b2+c2-a2sinBb，cos2A-C2-cosAcosC=34，3cbcosA=tanA+tanB这三个条件中，任选一个，补充在下面问
10、题中，问题：在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=2 3，(1)求角B(2)求2a-c的范围1414题型十二最值最值5 5：角非对边型：角非对边型【典例分析】【典例分析】1.1.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a-c)sinA+(2c-a)sinC=2bsinB(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c=2，求ABC周长的取值范围【变式演练】【变式演练】1.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足bsinA=asin B+3(1)设a=3，c=2，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求BE EA 的值；(2)若ABC为锐角三角形，
11、c=2，求ABC面积的取值范围1515题型十三最值最值6 6：四边形面积型：四边形面积型【典例分析】【典例分析】1.1.如图，平面四边形ABCD中，AB=BD=DA,BC=1,CD=3,BCD=.(1)若=6，求BD的值；(2)试问为何值时，平面四边形ABCD的面积最大？【变式演练】【变式演练】1.如图，在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，2bcosA=2c-a.(1)求角B；(2)若sinAsinC=sin2B，AD=CD=2，求四边形ABCD面积的最大值.1616题型十四图形图形1 1：外接圆型：外接圆型【典例分析】【典例分析】1.1.从csinC-asinA=3c-bsi
12、nB；sin2A+3cos2A=3 条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答：在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，AB=2 3.(1)求角A；(2)若ABC外接圆的圆心为O，cosAOB=1114，求BC的长.注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.【变式演练】【变式演练】1.在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 O 是 ABC 的外心，acos C-3=AO AB|AB|+AO AC|AC|(1)求角A；(2)若ABC外接圆的周长为4 3，求ABC周长的取值范围，1717题型十五图形图形2 2：角平分线型：角平分线型【典例分析】【典例分析】1.
13、1.已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，tanB+tanC-3tanBtanC+3=0(1)求角A的大小；(2)若BD=2DC，AD=2，且AD平分BAC，求ABC的面积【变式演练】【变式演练】1.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin C+6=b+c(1)求角A的大小；(2)若a=7，BA AC=-3，A的平分线交边BC于点T，求AT的长1818题型十六图形图形3 3：中线型：中线型【典例分析】【典例分析】1.1.在3(b-ccosA)sinC=3a，ab=12tanCtanB+1，csinB=bcos C-6这三个条件中任选一个，补充在下面
14、的问题中，并解答问题在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(1)求C；(2)若ABC的面积为10 3，D为AC的中点，求BD的最小值【变式演练】【变式演练】1.在ABC中；内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b 2sinA-3cosA=asinB.(1)求A；(2)若a=2，点D为BC的中点，求AD的最大值.1919题型十七图形图形4 4：三角形高型：三角形高型【典例分析】【典例分析】1.1.从A为锐角且sinB-cosC=c2-a22ab；b=2asin C+6这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求
15、角A；(2)若b=34c且BC边上的高AD为2 3，求CD的长【变式演练】【变式演练】1.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2cosBac=cosAab+cosCbc(1)求B；(2)若b=6，BD是AC边上的高，求BD的最大值2020题型十八图形图形5 5：双三角形型：双三角形型【典例分析】【典例分析】1.1.在ABC中.AB=AC，D为BC边上的一点，DAC=90，再从下列三个条件中选择两个作为已知，求ABD的面积及BD的长.AB=6；cosBAC=-13；CD=3 6.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.【变式演练】【变式演练】1.如图，在平面四边
16、形ABCD中，BCD=2，AB=1，ABC=34.(1)当BC=2，CD=7 时，求ACD的面积；(2)当ADC=6，AD=2时，求cosACD.2121二、二、好题演练好题演练好题演练1.(2022全国统考高考真题)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1-S2+S3=32,sinB=13(1)求ABC的面积；(2)若sinAsinC=23，求b2.(2022全国统考高考真题)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 已知sinCsin A-B=sinBsin C-A(1)若A=2B，求C；(2
17、)证明：2a2=b2+c222223.(2022全国统考高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求ABC的周长4.(2023福建统考模拟预测)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csin A+6.(1)求C；(2)若c=1，D为ABC的外接圆上的点，BA BD=BA 2，求四边形ABCD面积的最大值.23235.(2023山西校联考模拟预测)已知函数 f x=Asin x+A0,0的图象是由 y=2sin x+6的图象向右平移6个单位长度
18、得到的.(1)若 f x的最小正周期为，求 f x的图象与y轴距离最近的对称轴方程；(2)若 f x在2,32上有且仅有一个零点，求的取值范围.6.(2023山东日照山东省日照实验高级中学校考模拟预测)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且3asinB=2bcos2B+C2(1)求角A的大小；(2)若BC边上的中线AD=1，求ABC面积的最大值24247.(2023陕西西安校联考一模)在ABC中，点D在边AC上，且AD=2CD,BD=AC(1)若BD平分ABC，求sinABDsinBDC的值；(2)若AB,AC,BC成递增的等比数列，AC=6，求ABC的面积8.(2023云
19、南红河统考二模)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2sinB=sinA+sinC(1)证明：0B3；(2)求sinBcos2B的最大值25259.(2023河南新乡统考二模)如图，在ABC中，D，E在BC上，BD=2，DE=EC=1，BAD=CAE(1)求sinACBsinABC的值；(2)求ABC面积的取值范围262610.(2023湖北荆门市龙泉中学校联考二模)已知在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，C=3(1)若BC边上的高等于33a，求cosA；(2)若CA CB=2，求AB边上的中线CD长度的最小值1 1 三角函数与解三角形大题归类
20、目录重难点题型归纳1【题型一】恒等变形1【题型二】零点与对称性4【题型三】恒成立求参6【题型四】图像与解析式型9【题型五】利用正弦定理求角12【题型六】利用余弦定理求角型14【题型七】最值1：面积最值型16【题型八】最值2：锐钝角限制型最值18【题型九】最值3：周长最值型20【题型十】最值3：比值最值型22【题型十一】最值4：系数不一致型23【题型十二】最值5：角非对边型26【题型十三】最值6：四边形面积型28【题型十四】图形1：外接圆型29【题型十五】图形2：角平分线型32【题型十六】图形3：中线型34【题型十七】图形4：三角形高型37【题型十八】图形5：双三角形型40好题演练42一、一、重
21、难点题型归纳重难点题型归纳题型一恒等变形恒等变形【典例分析】【典例分析】1.1.已知函数 f x=2cosx sinx-cosx+1,xR(1 1)求函数 f x的单调递增区间；(2 2)将函数y=f x的图象向左平移4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2 2倍，纵坐标不变，得到函数y=g x的图象，求g x的最大值及取得最大值时的x的集合【答案】(1)k-8，k+38(kZ)；(2)x x=2k+4(kZ)，g(x)的最大值为2.【详解】(1)先化简 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=2sin 2x-4，再由2k-22x-42k+2kZ2 2即
22、得 f(x)递增区间为 k-8,k+38(kZ).(2)由已知g(x)=2sin x+4解：(1)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=2sin 2x-4，当2k-22x-42k+2,(kZ)，即k-8xk+38,(kZ)，因此，函数 f(x)的单调递增区间为 k-8,k+38(kZ).(2)由已知，g(x)=2sin x+4，当4sin x+4=1时，即x+4=2k+2则x=2k+4(kZ)，g(x)max=2 当 xx=2k+4(kZ),g(x)的最大值为2.【技法指引】【技法指引】和差倍角关系cos()=cos cos sin sin；sin()=sin
23、 cos cos sin；tan()=tantan1tantan；sin 2=2sin cos ；cos 2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1；tan 2=2tan1-tan2；辅助角公式：asin x+bcos x=a2+b2sin(x+)，其中，tan=ba，|0【变式演练】【变式演练】1.设函数 f(x)=32-3sin2x-sinxcosx(0)，且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，()求的值；()求 f(x)在区间,32上的最大值和最小值.【答案】()=1()32，-1.【详解】试题分析：(1)本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把s
24、in2x化为一次形式，但角变为2x，再运用辅助角公式化为y=Asin(x+)形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为4，可知此函数的周期为4，从而利用周期公式易求出；(2)本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因3 3此用换元法只需令x+=u，利用x32求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的最值.试题解析：(1)f(x)=32-3sin2x-sinxcosx=32-31-cos2x2-12sin2x=32cos2x-12sin2x=-sin 2x-3因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为4，又0，所以22=44，因此=1.(2)由(1)知 f(x)=-sin 2x-3当x32时，532
25、x-383所以-32-sin 2x-31，因此-1 f(x)32故 f(x)在区间,32上的最大值和最小值分别为32,-1题型二零点与对称性零点与对称性【典例分析】【典例分析】1.1.已知函数 f x=2sin x-3sin x+6+2 3cos2x-3-3.(1)求函数 f x的单调递增区间；(2)若函数g x=f 2x-a在区间 0,712上恰有3个零点x1,x2,x3x1x2x3，(i)求实数a的取值范围；(ii)求sin 2x1+x2-x3的值.【答案】(1)-12+k,512+kkZ Z(2)(i)-3,0；(ii)2-64.【分析】(1)利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得
26、到 f x=2sin 2x-3；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间；(2)(i)令t=4x-3，将问题转化为y=2sint与y=a在-3,2上恰有3个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得a的取值范围；(ii)由(i)中图像可确定t2+t3=3，t3-t1=2，由此可得2t1+t2-t3=-，整理可得2x1+x2-x3=-12，由两角和差正弦公式可求得-sin12的值，即为所求结果.【详解】(1)f x=2sin x-3cos-2+x+6+3 2cos2x-3-1=2sin x-3cos x-3+3cos 2x-23=sin 2x-23+3cos 2x-23=2sin 2x-23+3
27、=2sin 2x-3；令-2+2k2x-32+2k kZ Z，解得：-12+kx512+k kZ Z，f x的单调递增区间为-12+k,512+kkZ Z.(2)(i)由(1)得：g x=2sin 4x-3-a，4 4当x 0,712时，4x-3-3,2，设t=4x-3，则g x在区间 0,712上恰有3个零点等价于y=2sint与y=a在-3,2上恰有3个不同的交点；作出y=2sint在-3,2上的图像如下图所示，由图像可知：当-3 a0时，y=2sint与y=a恰有3个不同的交点，实数a的取值范围为-3,0；(ii)设y=2sint与y=a的3个不同的交点分别为t1,t2,t3t1t2t3
28、，则t2+t3=3，t3-t1=2，2t1+t2-t3=2 t3-2+t2-t3=t2+t3-4=-，即2 4x1-3+4x2-3-4x3-3=-，整理可得：8x1+4x2-4x3=-3，2x1+x2-x3=-12，sin 2x1+x2-x3=sin-12=-sin4-6=-sin4cos6+cos4sin6=-2232+2212=2-64.【技法指引】【技法指引】三角函数图像的主要一个特征，就是轴对称与中心对称。1.与水平线相交时的零点，多以对称轴为突破点与其他函数相交时的零点，一般情况下，要看看其他函数是否具有对称中心【变式演练】【变式演练】1.已知 f(x)=sin2x+1sinx+co
29、sx+2(1)求函数 f(x)的值域；(2)若方程 f(x)=83在 0,454上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1,x2,xn，求x1+2x25 5+2x3+2xn-1+xn的值【答案】(1)0,2+2(2)115【分析】(1)首先利用二倍角的正弦公式化简，以及换元得函数g(t)=t2t+2,t-2,2，再利用导数求函数的值域；(2)首先由方程得sin x+4=-2 23，再利用三角函数的对称性，得 xi+xi+1iN*,i10是等差数列，再求和.【详解】(1)f(x)=sin2x+1sinx+cosx+2=(sinx+cosx)2sinx+cosx+2令t=sinx+cosx=2sin
30、 x+4,xR，则g(t)=t2t+2,t-2,2，g(t)=t2+4t(t+2)2=(t+4)t(t+2)2,t-2,2，gt=0，得t=0，当t-2,0，gt0，g t单调递增。所以 f(x)min=g(t)min=g(0)=0，g(2)=22+2=2-2,g(-2)=22-2=2+2所以 f(x)max=g(t)max=2+2，f(x)的值域是 0,2+2(2)由已知得2sin2x+42sin x+4+2=833sin2x+4-4 2sin x+4-4(2)2=0，解得sin x+4=-2 23或sin x+4=2 2(舍去)，由x+4=k+2x=k+4(kZ)得函数y=sin x+4图
31、象在区间 0,454且确保sin x+4=-2 23成立的，对称轴为x=k+4kN*,k10,sin x+4=-2 23在 0,454内有11个根，x1,x2,x11数列 xi+xi+1iN*,i10构成以x1+x2=254=52为首项，2为公差的等差数列所以x1+2x2+2x3+2xn-1+xn=5210+129102=115.题型三恒成立求参恒成立求参【典例分析】【典例分析】1.1.已知函数 f(x)=2sinxcos x+3+32.1求函数 f(x)的最小正周期；2若 f(x)+m0对x 0,2恒成立，求实数m的取值范围.【答案】1；2(-,-1【分析】(1)首先利用三角函数关系式的恒等
32、变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期(2)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果【详解】解:1因为 f x=2sinxcos x+3+32=2sinx cosxcos3-sinxsin3+326 6=2sinx12cosx-32sinx+32=sinxcosx-3sin2x+32=12sin2x+32cos2x=sin 2x+3所以 f x的最小正周期为T=22=2“f x+m0对x 0,2恒成立”等价于“f xmax+m0”因为x 0,2所以2x+33,43当2x+3=2，即x=12时 f x的最大值为 f12=1.所以1+m0，【技法指引】恒等变
33、形化简：(1)化简的基本原则是：切化弦：公式tan x=sinxcosx；降次数：公式cos2=1+cos22，sin2=1-cos22；(2)和积转换法：运用公式(sin cos)2=12sin cos 解决sin cos 与sin cos关系的变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=sin2 1+1tan2=tan4；(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2=(+)+(-)，=(+)-，=+2-2等【变式演练】【变式演练】1.已知向量m=cosx2,2cosx2，n=2cosx2,3sinx2，设 f x=mn.(1 1)若 f
34、x=2，求x x的值；(2 2)设g x=f x-1sinx-32，且 m-g x2g x+3对任意的x-4,4均成立，求实数mm的取值范围.【答案】(1)x=2k或2k+23(kZ)；(2)-1m114.【分析】(1)根据向量数量积的坐标表示，以及三角恒等变换，将解析式化为 f x=2sin x+6+1，再由正弦函数的性质，即可得出结果；(2)先由(1)，根据三角恒等变换，得到g x=sin 2x-3，由正弦函数的性质，求出g x-1,12，t=g x-1,12，将不等式在给定区间恒成立问题，转化为 t2-t-3maxmt2+t+3min对任意的t-1,12恒成立；结合二次函数的性质，即可求
35、出结果.【详解】(1)由题意，f x=mn=2cos2x2+2 3sinx2cosx2=1+cosx+3sinx=2sin x+6+1，7 7若 f x=2，则sin x+6=12，所以x+6=2k+6或x+6=2k+56，kZ，因此x=2k或2k+23(kZ)；(2)由(1)得g x=f x-1sinx-32=cosx+3sinxsinx-32=12sin2x+3 2sin2x-12=12sin2x-32cos2x=sin 2x-3，若x-4,4，则2x-3-56,6，因此g x=sin 2x-3-1,12，令t=g x-1,12，则不等式 m-g x2g x+3对任意的x-4,4均成立，可
36、化为 m-t2t+3对任意的t-1,12恒成立；即-t-3m-t2t+3对任意的t-1,12恒成立；即t2-t-3mt2+t+3对任意的t-1,12恒成立；只需 t2-t-3maxm t2+t+3min对任意的t-1,12恒成立；因为函数y=t2-t-3是开口向上，且对称轴为t=12的二次函数，所以y=t2-t-3在t-1,12上单调递减，因此当t=-1时，y=t2-t-3取最大值为y=1+1-3=-1；又函数y=t2+t+3是开口向上，且对称轴为t=-12的二次函数，所以当t=-12时，y=t2+t+3取得最小值为y=14-12+3=114，所以-1m0,0,|2的部分图象如图所示(1)求函
37、数 f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)的图象上所有的点向右平移12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象当x 0,136时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3x1x2x3，求实数a的取值范围和x1+2x2+x3的值8 8【答案】(1)f(x)=2sin 2x+3+3(2)4，3+3，x1+2x2+x3=103【分析】(1)根据图示，即可确定A和B的值，再由周期确定，最后将点12,5带入 f x；即可求出答案.(2)先根据题意写出y=g x，再根据x的取值范围求出x+6的取值范围.即可根据y=sinx的对称性
38、求出x1+x2与x2+x3的值.即可求出答案.(1)解：由图示得：A=5-12=2,B=5+12=3，又T2=712-112=2，所以T=，所以=2T=2，所以 f(x)=2sin(2x+)+3，又因为 f(x)过点12,5，所以5=2sin 212+3，即sin6+=1，所以6+=2+2k,kZ，解得=3+2k,kZ，又|2，所以=3，所以 f(x)=2sin 2x+3+3；(2)解：由已知得g(x)=2sin x+6+3，当x 0,136时，x+66,73，令t=x+66,73，则2sin x+6+3=2sint+3，令h(t)=2sint+3，则h6=2sin6+3=4，h2=2sin2
39、+3=5，h32=2sin32+3=1，h73=2sin73+3=3+3，所以a 4，3+3，因为h(t)-a=0有三个不同的实数根t1,t2,t3t1t20，0)的步骤和方法：(1)观察确定A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A=M-m2，b=M+m2.(2)通过周期公式求：即=2T.(3)特殊点代入求：通常代入“最值点”或“零点”；即整体思想，对于函数y=Asin(x+)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=x+，将其转化为研究y=sin t的性质【变式演练】【变式演练】9 91.已知函数 f(x)=Asin(x+)+B A0,0,|2的部分图象如图所示
40、.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向右平移4个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.当x 0,136时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根，x1,x2,x3x1x2x3，求实数a的取值范围以及x1+2x2+x3的值.【答案】(1)f(x)=2sin 2x+3+3(2)a2,3，x1+2x2+x3=143【分析】(1)由三角函数图象的最大值与最小值，求出A=2,B=3，得到最小正周期，求出=2T=2，再代入特殊点的坐标，求出=3，得到函数解析式；(2)先根据平移变换和伸缩变换得到g(x)=2
41、sin x-6+3，令t=x-6-6,2，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到a2,3，再根据对称性得到t1+t2=22=,t2+t3=232=3，相加后得到 x1-6+2 x2-6+x3-6=4，求出答案.【详解】(1)由图示得：A+B=5-A+B=1，解得：A=5-12=2,B=5+12=3，又T2=712-112=2，所以T=，所以=2T=2，所以 f(x)=2sin(2x+)+3.又因为 f(x)过点12,5，所以5=2sin 212+3，即sin6+=1，所以6+=2+2k,kZ Z，解得=3+2k,kZ Z，又|2，所以=3，所以 f(x)=2sin 2x+3+3.(2)
42、y=f(x)图象上所有的点向右平移4个单位长度，得到 f(x)=2sin 2 x-4+3+3=2sin 2x-6+3，将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)=2sin x-6+3，当x 0,136时，x-6-6,2，令t=x-6-6,2，则2sin x-6+3=2sint+3，1010令h(t)=2sint+3，在t-6,2上单调递增，在t2,32上单调递减，在t32,2上单调递增，且h-6=2sin-6+3=2,h2=2sin2+3=5，h32=2sin32+3=1,h(2)=2sin2+3=3,所以a2,3时，.当x 0,136时，方程g(x)-a=0恰有三
43、个不相等的实数根.因为h(t)-a=0有三个不同的实数根t1,t2,t3t1t2t3，且t1,t2关于t=2对称，t2,t3关于t=32对称，则t1+t2=22=,t2+t3=232=3，两式相加得：t1+2t2+t3=4，即 x1-6+2 x2-6+x3-6=4，所以x1+2x2+x3=143.题型五利用正弦定理求角利用正弦定理求角【典例分析】【典例分析】1.1.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba=2cos3-C(1)求A；(2)若ABC的面积为3 32，b=2，求a【答案】(1)A=6(2)a=13【分析】(1)化简得到b=3asinC+acosC，根据正弦定理得到
44、cosA=3sinA，得到答案.(2)根据面积公式得到c=3 3，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】(1)2cos3-C=2cos3cosC+2sin3sinC=cosC+3sinC，所以ba=cosC+3sinC，故b=3asinC+acosC由正弦定理得sinB=3sinAsinC+sinAcosC，又B=-A+C，所以sinB=sin-A+C=sin A+C=3sinAsinC+sinAcosC，故sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+3sinAsinC，C 0,，sinC0，所以cosA=3sinA，即tanA=33，A 0,，故A=6(2)SABC=12bcsinA
45、=122c12=3 32，所以c=3 3由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=4+27-223 3 32=13，所以a=13【技法指引】【技法指引】正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R，其中R为 外接圆半径；注意：正弦定理变式与性质：边化正弦：a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C；1111正弦化边：sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；abc=sin_Asin_Bsin_C；a+b+csinA+sinB+sinC=2R；+c)r(r是切圆的半径)【变式演练】【变式演练】1.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c
46、，且1+tanCtanA=2ba(1)求角C；(2)若cosA=210，b=2，求ABC的面积【答案】(1)C=4(2)SABC=74【分析】(1)由正弦定理结合弦化切化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；(2)利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，利用两角和的正弦公式可求得sinB的值，利用正弦定理求出a的值，然后利用三角形的面积公式可求得ABC的面积.【详解】(1)解：由正弦定理可得2ba=2sinBsinA，1+tanCtanA=1+sinCcosAcosCsinA=sinAcosC+sinCcosAcosCsinA=sin C+AcosCsinA=sinBcos
47、CsinA，sinBcosCsinA=2sinBsinA0A，0B，sinB0，sinA0，cosC=22，又0C，C=4(2)解：cosA=210，0A，sinA=1-cos2A=1-2102=7 210，又A+B+C=，sinB=sin A+C=sinAcosC+cosAsinC=7 21022+21022=45由正弦定理可得asinA=bsinB，即a=bsinAsinB=7 24，SABC=12absinC=127 24222=74.题型六利用余弦定理求角型利用余弦定理求角型【典例分析】【典例分析】1.1.记锐角ABC的内角为A,B,C，已知sin2A=sinBsinC.(1)求角A的
48、最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cosB+cosC的取值范围.1212【答案】(1)3(2)32,3【分析】(1)利用正弦定理将角的关系化为边的关系，根据余弦定理和基本不等式求cosA的范围，再由余弦函数的性质求角A的最大值；(2)根据内角和关系，结合两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，将目标函数转化为关于角B的函数，再结合余弦函数的性质求其范围.【详解】(1)因为sin2A=sinBsinC，所以由正弦定理可得a2=bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-bc2bc2bc-bc2bc=12，当且仅当b=c时等号成立，所以cosA=b2+c2-bc2bc2bc-bc2bc
49、=12，又A 0,，所以0A3，所以角A的最大值为3；(2)因为A=3，所以2cosB+cosC=2cosB+cos23-B=2cosB-12cosB+32sinB=32cosB+32sinB=3sin B+3，因为ABC为锐角三角形，所以0B2,2A+B,所以6Bc，求b和c的值.【答案】(1)3(2)b=5,c=31313【分析】(1)根据三角恒等变换，结合正弦定理边角互化得b+c=2a，再根据余弦定理与基本不等式得cosA12，进而得答案；(2)根据面积公式，余弦定理，并结合(1)求解得bc=15，再解方程即可得答案.【详解】(1)因为sinB 1+cosA=sinA 2-cosB，所以
50、sinB+cosAsinB=2sinA-sinAcosB，又因为C=-A+B，所以sinC=sin A+B=sinAcosB+cosAsinB，所以sinB+sinC=2sinA，所以，由正弦定理得b+c=2a.所以cosA=b2+c2-a22bc=4b2+4c2-(b+c)28bc=3b2+3c2-2bc8bc32bc-2bc8bc=12，当且仅当b=c时等号成立，因为A 0,，所以A0,3，所以，角A的最大值为3.(2)解：由(1)得b+c=8，由余弦定理得2bccosA=b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-a2=48-2bc，因为ABC的面积SABC=12bcsinA=6，所以2bc