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1、2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题02 三角函数与解三角形大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足(1)求B；(2)若，点D在边上，且，求b2（2023浙江模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(1)证明：；(2)若为的角平分线，交AB于D点，且求的值3（2023湖北荆州中学校联考二模）已知在中，其角、所对边分别为、，且满足(1)若，求的外接圆半径；(2)若，且，求的内切圆半径4（2023云南曲靖曲靖一中校考模拟预测）在，角，的对边分别为，.且.(1)求B；(2)若点
2、D在AC边上，满足，且，求BC边的长度.5（2023湖北武汉华中师大一附中校联考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(1)求角C；(2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长6（2023山东沂水县第一中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且(1)求的大小；(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围7（2023福建漳州统考三模）如图，平面四边形内接于圆O，内角，对角线AC的长为7，圆的半径为.(1)若，求四边形的面积；(2)求周长的最大值.8（2023广东深圳深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.(1)求角B；(2)设的角平分线交于点D，若
3、，求的面积的最小值.9（2023重庆统考模拟预测）在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且(1)求角A的大小；(2)记的面积为S，若，求的最小值10（2023吉林白山统考三模）已知的内角、所对的边分别为、，.(1)求角；(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.11（2023云南昭通统考模拟预测）已知中，角，所对的边分别为，且满足.从，这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角的大小；(2)点在线段的延长线上，且，若，求的面积.12（2023山西统考模拟预测）如图，四边形中，.(1)求的面积；(2)求线段的长度.13（2023河北邯郸统考一模）已知函数在上单调(1)求的
4、单调递增区间；(2)若ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求ABC周长的最大值14（2023辽宁抚顺统考模拟预测）已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为(1)求的值；(2)若，求边上的高的值15（2023山东淄博统考一模）在中，角，的对边分别是，满足(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.16（2023吉林统考二模）已知的三个角，的对边分别为，且.(1)求边；(2)若是锐角三角形，且_，求的面积的取值范围.要求：从，从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17（2023湖北校联考模拟预测）在中，D是
5、边上的点，(1)求；(2)若，求的面积18（2023江苏南通海安高级中学校考一模）ABC中，D是线段BC上的点，的面积是面积的2倍(1)求；(2)若，求DC和AB的长19（2023山西校联考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求C；(2)若，角C的平分线交AB于点D，点E满足，求20（2023广东汕头统考一模）如图，在中，D是边上的一点，(1)证明：；(2)若D为靠近B的三等分点，为纯角，求21（2023辽宁新民市第一高级中学校联考一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB2，BC3，AC4，BCCD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F(1)求ACD的面积；(2)求的
6、值22（2023吉林通化梅河口市第五中学校考二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为直径的三个半圆的面积依次为，(1)若，证明：；(2)若，且的面积为，求b23（2023云南红河统考二模）记的内角，的对边分别为，已知(1)证明：；(2)求的最大值24（2023浙江温州统考二模）已知满足(1)试问：角是否可能为直角？请说明理由；(2)若为锐角三角形，求的取值范围25（2023湖南郴州统考三模）在中，内角所对的边分别为，已知(1)求角.(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.26（2023山西太原统考一模）在中，分别为内角的对边，点在上，.(1)从下面条件、中选择一个条件
7、作为已知，求；(2)在（1）的条件下，求面积的最大值.条件：；条件：.注：若条件和条件分别解答，则按第一个解计分.27（2023山东潍坊统考模拟预测）设钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，其中R是外接圆的半径(1)若，求C的大小；(2)若，证明：为等腰三角形28（2023湖南常德统考一模）如图，在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，且，.(1)求BAD的大小；(2)若，求ABC的面积.29（2023广东统考一模）在中，角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.30（2023湖南长沙湖南师大附中校考一模）在中，角的对边分别
8、为，已知，且.(1)求的外接圆半径；(2)求内切圆半径的取值范围.2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题02 三角函数与解三角形大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足(1)求B；(2)若，点D在边上，且，求b【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和差的余弦公式结合正弦定理边化角化简可得，即可求得答案;（2）在和中，分别利用余弦定理可得关于的方程，解方程组可得答案.【详解】（1）由，即，由正弦定理可得，即，因为，故，即,，故（2）因为，所以在中，由余弦定理得，在和中，,即，联立，解得，2
9、（2023浙江模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(1)证明：；(2)若为的角平分线，交AB于D点，且求的值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理可将转化为，结合角度关系转化得，即可证得；（2）由为的角平分线，可得，根据面积公式可求得，再由三角形为锐角三角形可得的范围，由平方公式二倍角公式可得的值，根据和差公式得的值，由余弦定理求得，再根据正弦定理的的值即可.【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得：，又，所以，整理得又，则，即.（2）因为为的平分线，且，所以，则，所以，可得，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以，由正弦
10、定理得.3（2023湖北荆州中学校联考二模）已知在中，其角、所对边分别为、，且满足(1)若，求的外接圆半径；(2)若，且，求的内切圆半径【答案】(1)1(2)1【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定义可求得的外接圆半径；（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以外接圆半径所以.（2）因为，由题可知，所以，又因为，可得，因为由的面积，得4（2023云南曲靖曲靖一中校考模拟预测）在，角，的对边分别为，.且.(1)求B；(2)若点D在AC边上，满足，
11、且，求BC边的长度.【答案】(1)(2)6【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，再由两角和的正弦定理化简可得，结合辅助角公式求得B；（2）法一：由可得，对两边同时平方化简即可得出答案；法二：由已知得，设，.因为，由余弦定理代入化简即可得出答案.【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，即，所以.因为，所以，即.因为，所以，所以，即（2）法一：因为点D在AC边上，满足，所以，所以，因为，所以，即，解得，即.法二：由已知得，设，.，即又，即由方程解得，即.5（2023湖北武汉华中师大一附中校联考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(1)求角C；(2)若点D在AB边上，且满足，当的
12、面积最大时，求CD的长【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，即可求出角C；（2）由余弦定理结合均值不等式可得，可求出当的面积最大值时，再由余弦定理即可求出CD的长.【详解】（1）依题意，由正弦定理可得，所以，则，因为，化简得，（2）由余弦定理得，当且仅当时，等号成立此时若的面积取到最大，则，为等边三角形，由余弦定理得，6（2023山东沂水县第一中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且(1)求的大小；(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角的范围分析运算；（2）根据三角形
13、的面积关系整理得，结合基本不等式求范围.【详解】（1），由正弦定理可得，则，可得，整理得，注意到，且，则，且，可得或，解得或（舍去），故.（2）若的平分线交于点，则，则，即，整理得，则，当且仅当，即时，等号成立，故的取值范围为.7（2023福建漳州统考三模）如图，平面四边形内接于圆O，内角，对角线AC的长为7，圆的半径为.(1)若，求四边形的面积；(2)求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用余弦定理求得，从而证得为等边三角形，求得其面积，再在中利用余弦定理求得，从而利用三角形面积公式求得的面积，由此得解；（2）利用余弦定理得到，从而利用基本不等式推得，由此得解.【详解】（1
14、）如图所示，连结，在中，所以，因为，所以，则，因为，所以为等边三角形，在中，即，又，.（2）设，则在中，则，即，故，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，则，故，当且仅当时，等号成立，所以，即周长的最大值为.8（2023广东深圳深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.(1)求角B；(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）由已知及正弦定理得：，又在中，,，即，又，,又，
15、即角B的大小为.（2）.是的角平分线，而，即，.，即,当且仅当时取等号，则，即的面积的最小值为.9（2023重庆统考模拟预测）在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且(1)求角A的大小；(2)记的面积为S，若，求的最小值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；（2）根据题意可得，然后得到，再由三角形的面积公式可得，最后结合基本不等式即可得到结果.【详解】（1）因为，即由正弦定理可得，化简可得，且由余弦定理可得，所以，且，所以.（2）因为，则可得，所以且，即，当且仅当，即时，等号成立.所以10（2023吉林白山统考三模）已知的内
16、角、所对的边分别为、，.(1)求角；(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；（2）利用正弦定理得到，即可得到，由三角形为锐角三角形得到的取值范围，即可得到的取值范围，再根据对勾函数的性质计算可得.【详解】（1）解：因为，可得，则，所以，即，由正弦定理得，显然，所以，所以，因为，所以.（2）解：因为，即，所以，所以，因为为锐角三角形且，所以，所以，即，令，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，即，所以，即的取值范围为.11（2023云南昭通统考模拟预测）已
17、知中，角，所对的边分别为，且满足.从，这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角的大小；(2)点在线段的延长线上，且，若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】(1)运用正弦定理或余弦定理求解；(2)根据条件和（1）的结果，运用余弦定理求出b，c，再用正弦定理求出DA，运用面积公式求解.【详解】（1）由 得： ；若选 ，则有 ，由余弦定理得 ；若选 ，由 代入上式，得： ；若选 ，则 为直角三角形， ， ；综上， ；（2）由（1）知 ， ，由余弦定理得： ， ，在 中，由正弦定理得： ， ， ， ；综上， .12（2023山西统考模拟预测）如图，四边形中，.(1)求的面积；(2)求线段的长度
18、.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可求解；（2）根据（1）的结论及余弦定理，利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解.【详解】（1）因为，所以，即.因为为的内角，所以.又，所以，联立，得，所以的面积为.（2）由（1）知,，由余弦定理，得.设,由正弦定理,得，即，所以.在中，由余弦定理,得，所以.13（2023河北邯郸统考一模）已知函数在上单调(1)求的单调递增区间；(2)若ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求ABC周长的最大值【答案】(1)(2)9【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可得，再根
19、据在上单调，可得，从而可求得，再根据正弦函数的单调性即可得解；（2）先根据求出，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，即可得解.【详解】（1）由题意可得，因为在上单调，所以，解得，因为，所以，即，令，解得，即的单调递增区间是；（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，由余弦定理可得，即，即，因为，当且仅当时，等号成立，所以，解得，则，即ABC周长的最大值为914（2023辽宁抚顺统考模拟预测）已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为(1)求的值；(2)若，求边上的高的值【答案】(1)(2)【分析】（1）由得为的平分线，再根据正弦定理得，从而解得；（2）由已知及（1）可得，再由余弦定理
20、求得的长，最后根据求得结果.【详解】（1），为的平分线，在与中，根据正弦定理可得：两式相比可得：又的面积与面积的比为，即，且，由得，且为锐角，故答案为：（2）由（1）知为锐角，且，因此，又，所以在中由余弦定理得，解得：，故答案为：15（2023山东淄博统考一模）在中，角，的对边分别是，满足(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；(2)利用正弦定理得到，然后利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由可得：，由余弦定理知，又因此.（2）在中，由，得，在中，由，可得，所以；在中，由，得，解得，所以，因为，所以，当且仅当
21、时取等号，因此的最小值为.16（2023吉林统考二模）已知的三个角，的对边分别为，且.(1)求边；(2)若是锐角三角形，且_，求的面积的取值范围.要求：从，从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）解法一，利用余弦定理将角化边；解法二，利用正弦定理将边化角；（2）若选择，利用正弦定理得到，则，将其转化为关于的三角函数，结合是锐角三角形，求出范围，再结合正弦函数的性质求出的面积的取值范围；若选择，依题意可得，由三角形为锐角三角形利用余弦定理求出的取值范围，利用余弦定理表示出，即可得到，将转化为关
22、于的函数，结合二次函数的性质计算可得.【详解】（1）解法一：因为，由余弦定理，得；解法二：因为，由正弦定理，得，即.（2）选择：因为所以，所以因为是锐角三角形，所以，又，所以，所以.所以，所以，所以，所以.选择：因为，则，因为是锐角三角形，所以，即，所以，因为，所以，所以，由二次函数的性质可得，当时，函数取最大值，当时，又，所以，即，所以，所以.17（2023湖北校联考模拟预测）在中，D是边上的点，(1)求；(2)若，求的面积【答案】(1)(2)【分析】（1）在和中分别利用正弦定理可得和，结合条件化简可得，判断的取值可得答案.（2）结合（1）的结论推出是等腰三角形，过C作于E，求出三角形的高，
23、利用三角形面积公式即可求得答案.【详解】（1）在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因为，所以，故相比可得，由及，得因为，所以或当时，不满足，舍；当时，满足题意，综上，（2）在中，故，进而是等腰三角形过C作于E，则，所以，故的面积为18（2023江苏南通海安高级中学校考一模）ABC中，D是线段BC上的点，的面积是面积的2倍(1)求；(2)若，求DC和AB的长【答案】(1)(2)，【分析】（1）由面积公式可得，利用正弦定理即可求解，（2）根据余弦定理联立方程即可求解.【详解】（1）设，则由，的面积是面积的2倍，可得，求得在中，由正弦定理可得，中，由正弦定理可得由于和互补，故，由求得（2）的
24、面积是面积的2倍，设，则，中，由余弦定理可得，中，由余弦定理可得，由求得，19（2023山西校联考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求C；(2)若，角C的平分线交AB于点D，点E满足，求【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件和正弦定理边化角即可求得结果；（2）根据正弦定理和余弦定理结合条件求解即可.【详解】（1）由条件和正弦定理得，所以，展开后整理得因为，所以，所以，又，所以（2）如图所示，因为，所以，又因为CD为的平分线，所以因为，所以在中，又，所以为等边三角形，所以在中，由余弦定理可得，即，在中，由正弦定理可得，即，得20（2023广东汕头统考一模）如图，在中
25、，D是边上的一点，(1)证明：；(2)若D为靠近B的三等分点，为纯角，求【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）在和中分别用正弦定理表示出，相比即可证明结论；（2）利用（1）的结论可求得，继而由余弦定理求得的长，即可得长，从而求得的长，即可求得答案.【详解】（1）证明：在中，在中，,由于,故，所以.（2）因为，故，由为纯角，故为锐角，又，且D为靠近B的三等分点，故，故,故，则,故.21（2023辽宁新民市第一高级中学校联考一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB2，BC3，AC4，BCCD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F(1)求ACD的面积；(2)求的值【答案】(1)；(2).【
26、分析】（1）在中用余弦定理求出，再利用诱导公式及三角形面积公式求解作答.（2）利用余弦定理求出，由正弦定理求出，然后利用和差角及二倍角的三角函数公式求解作答.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，由得：，所以的面积.（2）在中，由（1）知，由余弦定理得，由正弦定理，得，而，即是锐角，则，在中，因此，在中，即，而是锐角，解得，在中，所以.22（2023吉林通化梅河口市第五中学校考二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为直径的三个半圆的面积依次为，(1)若，证明：；(2)若，且的面积为，求b【答案】(1)证明过程见详解(2)1【分析】（1）根据题意可得到，从而可得到，则结论
27、即可证明；（2）根据余弦定理，三角形的面积公式，结合题意得到，再根据余弦的和差公式可得到，再结合正弦定理即可得到，进而即可求解b【详解】（1）由题意知，因为，即，所以，所以（2）因为，即，由余弦定理，得又的面积为，即，可得，则，又因为，而，所以由正弦定理，得，则，则，23（2023云南红河统考二模）记的内角，的对边分别为，已知(1)证明：；(2)求的最大值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式求出的范围，即可得的范围，即可得证；（2）根据二倍角的余弦公式可得，设，构造函数，利用导数求出函数的最值即可.【详解】（1）因为，所以，因为，即，当
28、且仅当时，等号成立，又因为，所以；（2），设，则，因为，所以，设，由，得，当，单调递增；当，单调递减，当时，取得最大值为，所以的最大值为.24（2023浙江温州统考二模）已知满足(1)试问：角是否可能为直角？请说明理由；(2)若为锐角三角形，求的取值范围【答案】(1)角不可能为直角，理由见解析(2)【分析】（1）使用反证法，假设角为直角，根据题目条件证明假设不成立，得到角不可能为直角；（2）将的取值范围转化为的取值范围，通过为锐角三角形，列出关于的不等式，进而求得结果.【详解】（1）假设角为直角，则，所以，因为，所以，所以，所以，显然，所以矛盾，故假设不成立，所以角不可能为直角（2）因为，所以
29、，由正弦定理，得，由余弦定理化简，得，因为为锐角三角形，所以令，则有，所以的取值范围为25（2023湖南郴州统考三模）在中，内角所对的边分别为，已知(1)求角.(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理得到，化简得到，计算得到，得到答案.（2）根据面积公式得到，变换，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1），故，即，故，故，.（2），的平分线交于点，故，由三角形的面积公式可得，化简得，又，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为.26（2023山西太原统考一模）在中，分别为内角的对边，点在上，.(1)从下面条件、中选择一个条件作为已知，求；(2
30、)在（1）的条件下，求面积的最大值.条件：；条件：.注：若条件和条件分别解答，则按第一个解计分.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选：利用正弦定理化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；选：利用同角三角函数的基本关系、正弦定理以及余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由已知得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量数量积的运算性值结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】（1）解：选择条件：，由题意可得，由正弦定理得，由余弦定理可得，因为，则，故；选择条件：，由题意可得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，.（2）解
31、：由（1）得，则，即，当且仅当时，的面积取最大值.27（2023山东潍坊统考模拟预测）设钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，其中R是外接圆的半径(1)若，求C的大小；(2)若，证明：为等腰三角形【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）应用正余弦边角关系及三角形内角性质得，即可求C的大小；（2）由（1）及题设易知，则有，应用余弦定理可得，进而确定三角形形状.【详解】（1）因为，由余弦定理得：，所以，由正弦定理得：，所以，又，所以，又，所以（2）由题意得，由（1）知：，所以，所以，则，即，即，在中，在中，所以，解得，故，又，故，所以为等腰三角形28（2023湖南常德统考一模）如图
32、，在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，且，.(1)求BAD的大小；(2)若，求ABC的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，则，则BAC=2，根据，得到，结合，得到，即可求解；（2）在ABD、ADC和ABC中，分别由余弦定理得到、和，从而得到，结合条件求出，即可求解.【详解】（1）设，则，则BAC=2，由，得：，即，化简得，解得：，又，即.（2）在ABD中，由余弦定理有，在ADC中，由余弦定理有，在ABC中，由余弦定理有，得，又，又，即，代入上式可解得，.29（2023广东统考一模）在中，角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范
33、围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，求出；（2）由三角函数和差公式求出，由求出取值范围.【详解】（1）因为，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以.（2）在中，因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.30（2023湖南长沙湖南师大附中校考一模）在中，角的对边分别为，已知，且.(1)求的外接圆半径；(2)求内切圆半径的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.【详解】（1）由正弦定理，可得再由余弦定理，又，所以.因为，所以.（2）由（1）可知：，则.则.在中，由正弦定理，所以，则，又，所以，所以，所以.