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1、第四周星期一(三角)2023年_月_日1.在ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin Aacos.(1)求B；(2)若c5，b7，求ABC的周长.解(1)由bsin Aacos及正弦定理，得sin Bsin Asin Acos.因为sin A0，所以sin Bcos，即sin Bcos Bsin B，故sin0.因为0B，所以Bb0)，左焦点F(1，0)，点M(0，2)在椭圆E外部，点N为椭圆E上一动点，且NMF的周长最大值为24.(1)求椭圆E的标准方程；(2)点B，C为椭圆E上关于坐标原点对称的两个点，A为左顶点，若直线AB，AC分别与y轴交于P，Q两点，试判断以P
2、Q为直径的圆是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.解(1)由题知当NMF的周长取得最大值时，直线MN经过椭圆右焦点.设NMF的周长为C，CNMF22a24，解得a2.又c1，b，椭圆E的标准方程为1.(2)由对称性可知，如果存在定点满足题设条件，则该定点必在x轴上，设定点T(t，0).B，C两点关于坐标原点对称，设点B(x0，y0)，C(x0，y0)(x02)，直线lAB：y(x02)y0(x2)，P，同理可得Q.点T在以PQ为直径的圆上，PTQT.代入可得t2t20.又点B，C在椭圆上，y3，代入t20可得t23，该圆过定点(，0)或(，0).星期六(函数与导数)2023
3、年_月_日6.已知函数f(x)2xaln x4a(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)令g(x)f(x)sin x，若存在x1，x2(0，)，且x1x2时，g(x1)g(x2)，证明：x1x20；当a0时，由f(x)0得x；由f(x)0得0x0时，f(x)在上单调递减；在上单调递增.(2)证明g(x)2xaln xsin x4a.因为g(x1)g(x2)，由题意知，2x1aln x1sin x12x2aln x2sin x2，所以a(ln x1ln x2)2(x1x2)(sin x1sin x2).令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在(0，)上单调递增.不
4、妨设x1x20，因为h(x1)h(x2)，所以x1sin x1x2sin x2，所以(sin x1sin x2)x2x1，所以2(x1x2)(sin x1sin x2)2(x1x2)(x2x1)x1x2，所以a(ln x1ln x2)x1x2，所以a.要证x1x2a2，即证.令t(t1)，只需证，只需证ln t0.设m(t)ln t(t1)，则m(t)0，所以m(t)在(1，)上单调递增，所以m(t)m(1)0，即成立，所以a，即x1x2f(1)，求实数x的取值范围；(2)f(x)(m0，n0)对任意的xR都成立，求证：mn.(1)解f(x)f(1)，即2|x1|2x1|5.当x时，2(x1)(2x1)5，得x1；当1x时，2(x1)(2x1)5，得35，不成立；当x5，得x0，n0时，2，当且仅当mn时，等号成立，所以23，得，所以mn2.